Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Projekt AS KOMPETENCJI jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego Program Operacyjny Kapitał Ludzki.

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "Projekt AS KOMPETENCJI jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego Program Operacyjny Kapitał Ludzki."— Zapis prezentacji:

1 Projekt AS KOMPETENCJI jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego Program Operacyjny Kapitał Ludzki CZŁOWIEK – NAJLEPSZA INWESTYCJA Publikacja jest współfinansowana przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego Prezentacja jest dystrybuowana bezpłatnie

2 Dane informacyjne Nazwa szkoły: Zespół Szkół Technicznych w Kole ID grupy: 97/78_MF_G1 Opiekun: Małgorzata Gralak Kompetencja: matematyczno-fizyczna Temat projektowy: Kombinatoryka w rachunku prawdopodobieństwa Semestr/rok szkolny: semestr piąty / 2011/2012

3 Kombinatoryka w rachunku prawdopodobieństwa

4 Plan prezentacji 1.Cele projektu 2.Kombinatoryka permutacje wariacje kombinacje 3.Rachunek prawdopodobieństwa prawdopodobieństwo klasyczne własności prawdopodobieństwa drzewo prawdopodobieństwa 4.Zadania różne

5 Cele projektu 1.Poznanie definicji głównych pojęć kombinatorycznych wraz ze wzorami do ich obliczania oraz przykładami ich stosowania 2.Opracowanie zestawu zadań ilustrujących metody kombinatoryczne oraz zastosowanie metod kombinatorycznych w różnych sytuacjach w rachunku prawdopodobieństwa

6 Kombinatoryka

7 Kombinatoryką nazywamy dział matematyki zajmujący się zbiorami skończonymi oraz odwzorowaniami między nimi. Kombinatoryka jest sztuką liczenia - zajmuje się wyznaczaniem liczby elementów zbiorów skończonych utworzonych zgodnie z określonymi zasadami.

8 Kombinatoryka c.d. Kombinatoryka powstała dzięki grom hazardowym, a swój rozwój zawdzięcza głównie rachunkowi prawdopodobieństwa, gdzie znajduje szerokie zastosowanie przy wyznaczaniu ilości zdarzeń elementarnych.

9 Symbol silnia Dla n > 1 symbol n! (n silnia) oznacza iloczyn kolejnych liczb naturalnych od 1 do n: n! = n Przyjmujemy również, że 0! = 1 i 1! = 1. Przykłady 2! = 1 2 = 2 3! = = 6 4! = = 24 5! = = 120 6! = = 720

10 Permutacje Permutacją n -elementowego zbioru A nazywamy każdy n - wyrazowy ciąg utworzony ze wszystkich elementów tego zbioru. Wszystkich permutacji zbioru n-elementowego jest P n = n! Przykład 1 Podaj wszystkie permutacje zbioru A = {a, b, c}. Rozwiązanie {a, b, c}, {a, c, b}, {b, a, c}, {b, c, a}, {c, a, b}, {c, b, a}. Jest ich P 3 = 3! = 6.

11 Przykład 2 1)W urnie mamy kule ponumerowane od 1 do 5. 2) Jeżeli wyjmiemy z urny wszystkie kule i ułożymy je w rzędzie, to otrzymamy ich permutację.

12 Permutacje z powtórzeniami Permutacją z powtórzeniami zbioru n-elementowego, nazywamy każdy ciąg n-wyrazowy utworzony z elementów tego zbioru, wśród których pewne elementy się powtarzają. Przykład 1 Jeżeli spośród elementów: a, b i c, element a weźmiemy dwa razy, element b jeden raz i element c jeden raz, możemy utworzyć następujące permutacje z powtórzeniami. {a, a, b, c}, {a, a, c, b},{a, b, a, c}, {a, b, c, a}, {a, c, a, b}, {a, c, b, a}, {b, a, a, c}, {b, a, c, a}, {b, c, a, a}, {c, a, a, b}, {c, a, b, a}, {c, b, a, a}.

13 Wariacje bez powtórzeń Każdy k-wyrazowy ciąg utworzony z różnych elementów n- elementowego zbioru A, gdzie k n, nazywamy k- elementową wariacją bez powtórzeń zbioru A. Liczba k-elementowych wariacji bez powtórzeń zbioru n- elementowego jest równa:

14 1)W urnie mamy kule ponumerowane od 1 do 5. 2) Wybraliśmy z urny 3 kule, które ułożyliśmy w pewnej kolejności. Tak ułożone kule są wariacją zbioru kul. Przykład 1 3) Gdy zmienimy kolejność wybranych kul, to otrzymamy kolejna wariację tego zbioru.

15 Pewien kod tworzymy z trzech liter wybranych spośród następujących: A, B, C, D, E, F, G, H, przy czym litery nie mogą się powtarzać. Ile jest takich kodów? Rozwiązanie Przykład 2

16 Wariacje z powtórzeniami Każdy k-wyrazowy ciąg, w którym wyrazy mogą się powtarzać, utworzony z elementów zbioru A, nazywamy k-elementową wariacją z powtórzeniami zbioru A. Ze zbioru n-elementowego można utworzyć różnych k-elementowych wariacji z powtórzeniami.

17 Przykład 1 Z urny, gdzie znajduje się pięć ponumerowanych kul losujemy kolejno 3 kule ze zwracaniem. Po każdym losowaniu zapisujemy wyniki, w kolejności losowania.

18 Losowanie 1 Losowanie 2 W pierwszym losowaniu wybraliśmy kulę z numerem 5. Zapisujemy wynik, a kulę zwracamy do urny. W drugim losowaniu wybraliśmy kulę z numerem 4. Zapisujemy wynik, a kulę zwracamy do urny.

19 Losowanie 3 Otrzymaliśmy trzyelementową wariację z powtórzeniami W trzecim losowaniu, ponownie wybraliśmy kulę z numerem 4. Tak jak poprzednio zapisujemy jom jako wynik losowania

20 Przykład 2 Ze schroniska na szczyt pewnej góry prowadzą 4 szlaki, którymi można wchodzić i schodzić. Na ile sposobów można przebyć trasę schronisko – szczyt – schronisko, jeśli: a)możemy wracać tym samym szlakiem, b)nie możemy wracać tym samym szlakiem?

21 Rozwiązanie a) b)

22 Kombinacje Każdy k-elementowy podzbiór zbioru n-elementowego A (k n ) nazywamy k-elementową kombinacją tego zbioru. Przykład Podaj wszystkie 2 -elementowe kombinacje zbioru A = {a,b,c,d}. Rozwiązanie {a,b}, {a,c}, {a,d}, {b,c}, {b,d}, {c,d}

23 Liczba wszystkich k-elementowych kombinacji zbioru n- elementowego (k n) jest równa: Liczbę k-elementowych kombinacji zbioru n-elementowego oznacza się również symbolem (czytaj: n nad k), zwanym symbolem Newtona. Kombinacje c.d.

24 Każde k wybranych elementów można ustawić w ciąg na k! sposobów. Każdy taki ciąg jest k-elementową wariacją bez powtórzeń. Zatem: czyli skąd otrzymujemy: Dowód

25 Przykład 1 Ile trójkątów można utworzyć, łącząc trzy punkty wybrane spośród rozmieszczonych na okręgu punktów: P 1, P 2,..., P 10 ? Rozwiązanie Takich trójkątów jest tyle ile kombinacji

26 Zestawienie wzorów WzórOpis Kolejność elementów Liczba permutacji zbioru n-elementowego istotna Liczba k-elementowych wariacji bez powtórzeń zbioru n-elementowego istotna Liczba k-elementowych wariacji z powtórzeniami zbioru n-elementowego istotna Liczba k-elementowych kombinacji zbioru n-elementowego nieistotna

27 Rachunek prawdopodobieństwa

28 Rachunek prawdopodobieństwa to dział matematyki zajmujący się zdarzeniami jakie zachodzą, gdy przeprowadzamy doświadczenia losowe. A doświadczenie jest losowe, jeżeli można je wielokrotnie powtarzać w tych samych warunkach i wyniku doświadczenia nie potrafimy z góry przewidzieć. Przykładem takich doświadczeń jest rzut monetą, rzut kostką do gry, losowanie karty z talii kart, itp.

29 Przestrzeń zdarzeń elementarnych Poszczególne wyniki doświadczenia losowego nazywamy zdarzeniami elementarnymi, a ich zbiór – przestrzenią zdarzeń elementarnych lub krótko przestrzenią, którą oznaczamy literą omega – Ω. Przykład Przestrzeń zdarzeń elementarnych: a)rzutu kostką: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} b)rzutu najpierw monetą, a następnie kostką: Ω = {(r, 1), (r, 2), (r, 3), (r, 4), (r, 5), (r, 6), (o, 1), (o, 2), (o, 3), (o, 4), (o, 5), (o, 6)}

30 Zdarzenia losowe Zdarzeniem losowym nazywamy dowolny podzbiór przestrzeni zdarzeń elementarnych Ω. Mówimy, że zdarzenia A i B są rozłączne lub wykluczają się, jeśli część wspólna tych zdarzeń jest zdarzeniem niemożliwym. Zdarzenie nazywamy zdarzeniem przeciwnym do zdarzenia.

31 Prawdopodobieństwo klasyczne Jeżeli Ω jest zbiorem skończonym i niepustym, to prawdopodobieństwem zdarzenia nazywamy liczbę: gdzie |A| oznacza liczbę elementów zbioru A.

32 Przykład 1 Jakie jest prawdopodobieństwo otrzymania sumy oczek większej od 10 przy dwukrotnym rzucie symetryczną kostką?

33 Rozwiązanie Przestrzeń zdarzeń elementarnych ma 36 elementów: Ω= {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)} Zdarzenie, którego prawdopodobieństwo chcemy obliczyć, ma 3 elementy: A = {(5, 6), (6,5), (6,6)}. Zatem:

34 Własności prawdopodobieństwa Niech Ω będzie zbiorem zdarzeń elementarnych, a P prawdopodobieństwem określonym na zdarzeniach. Wówczas: Jeśli 4.

35 Przykład 1 Student zna odpowiedź na 8 spośród 20 pytań egzaminacyjnych. Na egzamin losuje 3 pytania i musi odpowiedzieć na co najmniej 1 z nich, żeby zdać egzamin. Jakie jest prawdopodobieństwo zdania egzaminu? Rozwiązanie Wynikiem doświadczenia są 3 pytania wylosowane spośród 20. Zatem:

36 Niech: A - oznacza zdarzenie polegające na tym, że student wylosował 3 pytania, wśród których było przynajmniej 1 spośród 8, na które potrafi odpowiedzieć A – oznacza zdarzenie przeciwne do zdarzenia A - polegające na wylosowaniu 3 pytań spośród 12, na które student nie zna odpowiedzi Zatem: Stąd:

37 Przykład 2 Z liczb od 1 do 20 losowo wybieramy jedną liczbę. Niech A oznacza zdarzenie polegające na wylosowaniu liczby podzielnej prze 2, a B – podzielnej przez 3. a)Uzupełnij diagram. b)Oblicz: c) Sprawdź, czy: Ω 11 B A

38 Rozwiązanie b),,, c) a) Ω 11 B A

39 Drzewo prawdopodobieństwa Gdy doświadczenie losowe jest wieloetapowe można się wówczas przy obliczaniu prawdopodobieństwa posłużyć grafem, tak zwanym drzewem stochastycznym (probabilistycznym, prawdopodobieństwa). Krawędzie tego grafu odpowiadają zdarzeniom losowym, a wierzchołki poszczególnym etapom. Przy krawędziach zapisuje się prawdopodobieństwa poszczególnych zdarzeń, których suma na krawędziach wchodzących w skład jednego wierzchołka jest równa 1.

40 Prawdopodobieństwo zdarzenia reprezentowanego przez daną gałąź drzewa jest równe iloczynowi prawdopodobieństw przyporządkowanym krawędziom, z których składa się dana gałąź (reguła iloczynów). Natomiast prawdopodobieństwo danego zdarzenia losowego opisanego przez kilka gałęzi drzewa jest równa sumie prawdopodobieństw tych gałęzi (reguła sum). Drzewo prawdopodobieństwa c.d.

41 Przykład 1 Z pudełka, w którym jest 6 cukierków czekoladowych i 4 krówki losujemy kolejno bez zwracania 2 cukierki. Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania a)2 krówek b)2 cukierków o różnych smakach? Rozwiązanie Niech: C - oznacza wylosowanie cukierka czekoladowego, K - krówki. Mamy tu dwa etapy: I - losujemy jednego cukierka, II -losujemy drugiego cukierka. Ponieważ nie zwracamy cukierków do pudełka po wylosowaniu mamy następujące drzewo stochastyczne:

42 Jak obliczono poszczególne prawdopodobieństwa? W pudełku mamy 10 cukierków: 6 czekoladowych i 4 krówki. Prawdopodobieństwo wylosowania cukierka czekoladowego za pierwszym razem wynosi 6/10, natomiast krówki 4/10. Po pierwszym losowaniu zostaje 9 cukierków. A ile jest wśród nich krówek i czekoladowych? To zależy od tego, czy za pierwszym razem wylosowano krówkę, czy cukierka czekoladowego, stąd 4 różne przypadki. a) Mamy obliczyć prawdopodobieństwo wylosowania dwóch krówek (zdarzenie A). Zobaczmy na nasze drzewko i zastosujmy regułę iloczynów :

43 b) Mamy obliczyć prawdopodobieństwo wylosowania cukierków o różnych smakach (zdarzenie B). Zobaczmy na nasze drzewko. Dwie gałęzie odpowiadają naszemu zdarzeniu. Obliczamy prawdopodobieństwo każdej z gałęzi i potem stosujemy regułę sum:

44 Zadania różne

45 Zadanie 1 Jakie jest prawdopodobieństwo trafienia szóstki w losowaniu sześciu liczb spośród 49, jeśli kupujemy jeden zakład? Rozwiązanie:

46 Jakie jest prawdopodobieństwo trafienia piątki w losowaniu sześciu liczb spośród 49, jeśli kupujemy jeden zakład? Rozwiązanie: Zadanie 2

47 Zadanie 3 Rozwiązanie: I II Rzucając czworościenną symetryczną kostką, możemy otrzymać jedną z liczb 1,2,3 lub 4 (liczba przy wierzchołku). Gracz rzucający dwukrotnie taką kostką, jeśli suma wyrzuconych oczek jest większa od 5. Oblicz prawdopodobieństwo wygranej.

48 Zadanie 4 a)Wpuszczony do labiryntu szczur, dochodząc do rozwidlenia dróg, dwa razy częściej skręca w lewo niż w prawo. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że dotrze do pokarmu(oznaczonego na rysunku literą P) Wejście PP

49 PP Rozwiązanie

50 b) Inny szczur wpuszczony do tego samego labiryntu, dochodząc do rozwidlenia dróg, skręca w prawo w x% przypadków. Oblicz x, jeśli prawdopodobieńst wo tego, że dotrze do pokarmu, jest równe Wejście PP

51 Rozwiązanie Wejście PP

52 Zadanie 5 Z talii 52 kart losujemy 3 karty. Ile jest możliwych wyników losowań, tak aby wśród wylosowanych były co najwyżej 2 piki. Rozwiązanie Możliwości wylosowania 3 kart spełniających warunki: losujemy 2 spośród 13 (piki) oraz losujemy 1 spośród 39 (pozostałe), lub losujemy 1 spośród 13 oraz losujemy 2 spośród 39 (pik + dwie jakieś), lub nie mamy żadnych pików oraz losujemy 3 spośród 39 (co spełnia warunek 'nie więcej niż 2 piki').

53 Zadanie 6 Rozwiązanie Liczba jest podzielna przez 25 jeśli kończy się cyframi: 00, 25, 50 lub 75. Tylko dwie z nich możemy uzyskać w tym zadaniu: 25 i 50. Rozpatrzmy je oddzielnie. Ile liczb 6-cyfrowych można utworzyć z cyfr 0, 1, 2, 3, 4 i 5, tak aby liczba ta była podzielna przez 25?

54 1.Liczba z końcówką 25: pierwszą cyfrę wybieramy spośród 3 cyfr (bez 2, 5, 0), następną spośród 3 cyfr (bez 2, 5 i bez pierwszej), potem spośród 2 cyfr oraz 1 następną, po której następuje końcówka Liczba z końcówką 50: pierwszą cyfrę wybieramy spośród 4 cyfr (bez 0, 5), drugą spośród 3 pozostałych, następną spośród 2 oraz 1 ostatnią, przed końcówką 50. Wynik:

55 Zadanie 7 Rozwiązanie Zacznijmy od tego, jakie kule mogą nam się trafić, aby spełnione były warunki zadania. Są 2 przypadki, rozpatrzymy je oddzielnie (i zsumujemy wyniki): 1) 2 czarne oraz inna kula 2) 3 czarne kule W urnie jest 20 kul, w tym 6 czarnych. Na ile sposobów można wybrać 3 kule, tak aby były wśród nich przynajmniej 2 czarne?

56 Przypadek 1) Wybieramy 2 czarne kule spośród zbioru 6 kul czarnych oraz 1 kulę innego koloru spośród 14 pozostałych: Przypadek 2) Wybieramy 3 kule spośród 6 czarnych kul: Razem mamy = 230 sposobów.

57 Zadanie 8 W urnie są 2 kule białe i 4 czarne. Losujemy 2 kule bez zwracania. Co jest bardziej prawdopodobne, wyciągnięcie kul a)tego samego koloru; b)różnych kolorów ? Rozwiązanie Rozrysujmy drzewko. Kolorem czerwonym oznaczone są kule tego samego koloru P(A), kolorem niebieskim różnego koloru P(B).

58 Źródła W. Babiański, L. Chańko, J. Czarnowska, J. Wesołowska, Matematyka, Nowa Era, Warszawa pl.wikibooks.org

59 Projekt AS KOMPETENCJI jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego Program Operacyjny Kapitał Ludzki CZŁOWIEK – NAJLEPSZA INWESTYCJA Publikacja jest współfinansowana przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego Prezentacja jest dystrybuowana bezpłatnie


Pobierz ppt "Projekt AS KOMPETENCJI jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego Program Operacyjny Kapitał Ludzki."

Podobne prezentacje


Reklamy Google