Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Metody analizy decyzji Wykład 6 – wybór w warunkach ryzyka.

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "Metody analizy decyzji Wykład 6 – wybór w warunkach ryzyka."— Zapis prezentacji:

1 Metody analizy decyzji Wykład 6 – wybór w warunkach ryzyka

2 Cele dzisiejszego wykładu Metody wyboru w warunkach ryzyka: – dominacja stochastyczna – maksymalizacja wartości oczekiwanej i maksymalizacja oczekiwanej użyteczności – awersja do ryzyka 2

3 Ryzyko a niepewność Czym jest prawdopodobieństwo: – sprzyjające zdarzenia – częstościowe – aksjomatyczne – subiektywne 3

4 Wybór w warunkach ryzyka – słownik Wariantom decyzyjnym odpowiada kilka możliwych konsekwencji Dla każdego wariantu można określić rozkład prawdopodobieństwa na zbiorze możliwych konsekwencji Każdemu wariantowi można przypisać rozkład prawdopodobieństwa ocen 4

5 Wybór w warunkach ryzyka – model Przyjmijmy skończoną liczbę konsekwencji dla każdego wariantu Każdy wariant można utożsamić z loterią, tj. dyskretnym rozkładem prawdopodobieństwa na zbiorze ocen (wypłat) Sposoby zapisu: 0, ,5 0,2 (5, 50%; 10, 30%; 20, 20%) WypłataPrawdopodobieństwo 550% 1030% 2020% 5

6 Redukcja loterii złożonych Możemy redukować loterie złożone – tj. loterie, których wynikiem są loterie, zapisać bezpośrednio jako loterie na zbiorze wypłat 0,8 0, ,6 0,4 0,48 0,32 0, ,3 0,7 10 0,5 0,15 0, ,15 0,

7 Wybór wariantu – przykłady WypłataPr. 150% 230% 320% WypłataPr. 410% 550% 640% WypłataPr. 150% 230% 320% WypłataPr. 140% 230% 3 WypłataPr. 150% 230% 320% WypłataPr. 250% 330% 420% WypłataPr. 150% 230% 320% WypłataPr. 140% 235% 325% 7

8 Dominacja stochastyczna pierwszego rzędu (FOSD) WypłataPr. 150% 230% 320% WypłataPr. 410% 550% 640% t cdf 1 1 WypłataPr. 150% 230% 320% WypłataPr. 140% 235% 325% t cdf 1 1 8

9 Dominacja stochastyczna pierwszego rzędu Rozkład prawdopodobieństwa zmiennej X dominuje rozkład prawdopodobieństwa zmiennej Y w sensie dominacji stochastycznej pierwszego rzędu (first order stochastic dominance – FOSD), jeśli: – dla każdej wartości t zachodzi F X (t) F Y (t) – dla pewnej wartości t zachodzi F X (t)

10 Porównaj poniższe pary rozkładów ze względu na FOSD WypłataPr. 150% 230% 320% WypłataPr. 140% 250% 310% WypłataPr. 150% 230% 320% WypłataPr. 140% 230% 3 WypłataPr. 150% 230% 320% WypłataPr. 290% 35% 4 WypłataPr. 110% 270% 320% WypłataPr. 030% 255% 415% 10

11 Porównywanie wartości oczekiwanych? Możesz zagrać w następującą grę: – rzucasz symetryczną monetą do pierwszego wyrzucenia orła – oznacz przez n numer rzutu, w którym po raz pierwszy wyrzucisz orła – otrzymujesz wypłatę 2 n PLN Ile jesteś skłonny maksymalnie zapłacić za możliwość jednokrotnego wzięcia udziału w takiej grze? Policz samodzielnie wartość oczekiwaną wypłaty Dlaczego wolisz skończoną, niewielką kwotę niż loterię? 11

12 Funkcja użyteczności Funkcja użyteczności rosnąca i często wklęsła (malejąca użyteczność krańcowa) Dla dowolnej rosnącej funkcji użyteczności rozkład dominujący w sensie FOSD zapewnia większą oczekiwaną użyteczność Numer rzutu Wypłata Użyteczność ln(wypłata) 120,69 241,39 382, , ,47 12

13 Funkcja użyteczności a awersja do ryzyka 0,

14 Awersja do ryzyka a wybór Awersja do ryzyka: – decydent zawsze preferuje wartość oczekiwaną wypłat niż (niezdegenerowaną) loterię o tej wartości oczekiwanej Awersja do ryzyka wklęsła funkcja użyteczności Czy istnieje sposób porównywania rozkładów uwzględniający awersję do ryzyka (może wybór oczywisty nawet bez FOSD)? 14

15 Dominacja stochastyczna drugiego rzędu (second-order stochastic dominance) WypłataPr. 150% 220% 330% WypłataPr. 130% 260% 310% t cdf 1 1 t 1 1 tF(x)Całka 10,30 20,90,3 311,2 412,2 tF(x)Całka 10,50 20,70,5 311,2 412,2 15

16 Dominacja stochastyczna drugiego rzędu Rozkład prawdopodobieństwa zmiennej X dominuje rozkład prawdopodobieństwa zmiennej Y w sensie dominacji stochastycznej drugiego rzędu (second order stochastic dominance – SOSD), jeśli: – dla każdej wartości t zachodzi – dla pewnej wartości t zachodzi Rozkład dominujący w sensie SOSD zapewnia większą wartość oczekiwaną każdej rosnącej, wklęsłej funkcji użyteczności 16

17 Porównaj pary zmiennych ze względu na FOSD i SOSD WypłataPr. 130% 240% 330% WypłataPr. 140% 215% 345% WypłataPr. 150% 230% 320% WypłataPr. 160% 210% 330% WypłataPr. 110% 250% 340% WypłataPr. 130% 215% 355% WypłataPr. 115% 245% 340% WypłataPr. 120% 240% 3 17

18 Jeśli decydent cechuje się awersją wobec ryzyka, to: – jeśli E(X)=E(Y) – i 0=Var(X)

19 Ekwiwalent pewności i premia za ryzyko 0, ,

20 Ćwiczenie Wyliczmy ekwiwalent pewności dla loterii Bernoulliego i użyteczności u(x)=ln(x) Numer rzutu Wypłata Użyteczność ln(wypłata) 120,69 241,39 382, , ,47

21 Kwantyfikacja awersji do ryzyka O sile awersji do ryzyka świadczy wielkość premii za ryzyko – wypłaty, której odjęcie jest równoważne (w sensie preferencji) dodaniu ryzyka Wielkość tej premii zależy od kształtu funkcji użyteczności – im bardziej wklęsła funkcja, tym większa premia Ilościowo mierzy to współczynnik awersji do ryzyka Arrowa-Pratta ARA to miara lokalna – jej wartość zależy od x – uszeregowanie funkcji użyteczności może zależeć od punktu odniesienia 21

22 Interpretacja ARA x 0 – wypłata początkowa (liczba) l – loteria o zerowej wartości oczekiwanej (zmienna losowa) d – premia za ryzyko (liczba) 22

23 Przykłady funkcji użyteczności u(x) ARA ln(x+a), a>0(x+a) -1 -(x+a) -2 1/(x+a) ax-bx 2, a,b>0a-2bx-2b2b / (a-2bx) -e -ax, a>0ae -ax -a 2 e -ax a x a, 00ax -a-1 -a(a+1)x -a-2 (a+1)/x 23

24 https://www.bbc.co.uk/labuk/experiments/ris k/ Sprawdź się! 24

25 Podsumowanie Prawdopodobieństwa można zdefiniować obiektywnie lub subiektywnie Metody porównywania rozkładów: – dominacja stochastyczna pierwszego rzędu – maksymalizacja wartości oczekiwanej – maksymalizacja oczekiwanej użyteczności – dominacja stochastyczna drugiego rzędu Decydenci często cechują się awersją do ryzyka – wklęsłą funkcją użyteczności – stopień awersji do ryzyka można mierzyć 25

26 Materiały Uzupełnienia do dzisiejszego wykładu dla chętnych: – R. Keeney i H. Raiffa (1993): Decisions with Multiple Objectives. Preferences and Value Tradeoffs, rozdz. 4 – J. Pratt (1964): Risk Aversion in the Small and in the Large, Econometrica, 32(1/2), ss

27 Dziękuję! 27


Pobierz ppt "Metody analizy decyzji Wykład 6 – wybór w warunkach ryzyka."

Podobne prezentacje


Reklamy Google