Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

1 Tomasz Szumlak, WFiIS, 15/03/2013. 2 P(a < X < b) = F(b) – F(a)

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "1 Tomasz Szumlak, WFiIS, 15/03/2013. 2 P(a < X < b) = F(b) – F(a)"— Zapis prezentacji:

1 1 Tomasz Szumlak, WFiIS, 15/03/2013

2 2 P(a < X < b) = F(b) – F(a)

3 3 Rozważania na temat Z.L oraz R.G.P. można łatwo rozszerzyć na dwa, trzy itd. wymiary. Skupimy się na przypadkach dwuwymiarowych (ten sam typ zmiennych – obie ciągłe lub dyskretne, można wyobrazić sobie R.G.P. mieszane…) Rozważmy dwie Z.L. dyskretne X oraz Y, R.G.P. dwóch Z.L. to: P(X = x, Y = y) = f(x, y) jeżeli spełnione są warunki: 1) 2) Mamy np. dla wybranej wartości x j (y k )

4 4 Rozkłady brzegowe (R.G.P. 1D!) Podobnie jak dla R.G.P. jednej zmiennej, możemy użyć tabelki:

5 5 Rozkłady brzegowe (R.G.P. 1D!) Podobnie jak dla R.G.P. jednej zmiennej, możemy użyć tabelki:

6 6 Na zakończenie, do kompletu, zdefiniujemy jeszcze dystrybuantę Np.– sumujemy przyczynki dla

7 7 Analogicznie postępujemy dla Z.L. ciągłych Jeżeli X i Y są ciągłymi Z.L., to R.G.P. dla tych zmiennych musi: 1) 2)

8 8 Dystrybuantą dwóch Z.L. ciągłych, nazywamy funkcję: Podobnie jak w przypadku jednej Z.L., mamy: R.G.P. dla dwóch Z.L. ciągłych można dostać różniczkując dystrybuantę Brzegowe R.G.P.

9 9

10 10 Użyteczne jest również zdefiniowanie dystrybuant brzegowych dla dwóch ciągłych Z.L. jak następuje

11 11 Pojęcie niezależności Z.E. może zostać przeniesiona na Z.L. Mówimy, że Z.L. są niezależne gdy: czyli: Z.L. są niezależne, gdy można R.G.P. przedstawić jako iloczyn dwóch funkcji zależnych, odpowiednio, tylko od x oraz tylko od y Inaczej, mówimy, że funkcję f(x,y) możemy sfaktoryzować Podobnie, można zdefiniować R.G.P. warunkowego: i dalej, mamy dla prob. całkowitego:

12 12 Jeżeli zdefiniujemy pewną Z.L. X, to dowolna funkcja typu: jest również Z.L. Możemy łatwo wyobrazić sobie zastosowanie takiego odwzorowania! Typowe pytanie jakie pojawia się w związku z tym to: mamy Z.L X oraz jej R.G.P., jeżeli wiemy, że Y jest funkcją X to czy istnieje ogólny sposób wyrażenia R.G.P. dla Z.L. Y przez f(x)? TAK – dzięki ogólnym regułom dotyczącym zamiany zmiennych! Popatrzmy na następujący przykład: oblicz całkę:

13 13 Wygodnie jest dokonać zamiany zmiennych! i dalej: zobaczyliśmy tu kilka ciekawych rzeczy: 1)Zmiana skali!, jeżeli wyobrazimy sobie, że u i x wyrażają długość, to u jest 3xwiększe niż x 2)Aby dostać ten sam wynik poprawka na zmianę skali, stąd czynnik 1/3 przed całką! 3) W tym przypadku, zmiana skali jest stała na danym przedziale (może oczywiście też być funkcją)

14 14 Podobnie dla funkcji o większej liczbie zmiennych f(x,y)… Np. wyznacz pole powierzchni figury zdefiniowanej jak na rysunku: Całka, lub geometrycznie (łatwo…) Czy można uprościć całkowanie poprzez zamianę zmiennych? Jak zmieni się obszar całkowania? Wprowadźmy np., lub równoważnie:

15 15 Możemy wrócić do starych zmiennych Zmiana kształtu obszaru opisana przez Jakobian przekształcenia

16 16 Wracamy do funkcji Z.L., nasze oryginalne pytanie: Pamiętając o poprzednich rozważaniach, wymagam aby: Normalizacja! Zamiana dla dwóch Z.L

17 17 Zdarzenie elementarne -> Z.E. Przestrzeń zdarzeń elementarnych -> P.Z.E. Funkcja prawdopodobieństwa (prawdopodobieństwo) -> prob. Zmienna losowa (zmienna stochastyczna, funkcja losowa) -> Z.L. Rozkład gęstości prawdopodobieństwa (funkcja prawdopodobieństwa) -> R.G.P. Lub - rozkład gęstości prawdopodobieństwa -> P.D.F. (to ostatnie szczególnie popularne w problemach dopasowania modelu do kolekcji punktów pomiarowych)


Pobierz ppt "1 Tomasz Szumlak, WFiIS, 15/03/2013. 2 P(a < X < b) = F(b) – F(a)"

Podobne prezentacje


Reklamy Google