Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Publikacja jest współfinansowana przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego Prezentacja jest dystrybuowana bezpłatnie Projekt.

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "Publikacja jest współfinansowana przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego Prezentacja jest dystrybuowana bezpłatnie Projekt."— Zapis prezentacji:

1 Publikacja jest współfinansowana przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego Prezentacja jest dystrybuowana bezpłatnie Projekt Z FIZYKĄ, MATEMATYKĄ I PRZEDSIĘBIORCZOŚCIĄ ZDOBYWAMY ŚWIAT !!! jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego Program Operacyjny Kapitał Ludzki CZŁOWIEK – NAJLEPSZA INWESTYCJA

2 DANE INFORMACYJNE Nazwa szkoły: Gimnazjum nr 2 im. Mikołaja Kopernika w Gryficach ID grupy: 98/18_MF_G2 Opiekun: Alina Zielnica Kompetencja: Matematyczno- fizyczna Temat projektowy: Liczby wymierne są ok. Semestr/rok szkolny: III / 2010/2011

3

4 LICZBY RZĄDZĄ ŚWIATEM Pitagoras Pitagoras (ok p.n.e), filozof grecki. Pochodził z wyspy Samos, Samos, czyli wschodniej kolonii jońskiej. W roku 529 p.n.e., założył w Krotonie szkołę pitagorejczyków, drug drugą po założonej wcześniej na Samos. Pitagorejczycy szczególne znaczenie przypisywali liczbom. Zajmowali się liczbami doskonałymi, to jest takimi, których suma - dzielników od niej mniejszych jest równa danej liczbie. - Takimi liczbami są np. 6, 28, 496, Szukali także par liczb zaprzyjaźnionych, tj. takich, których suma dzielników jednej z nich jest równa drugiej np. 220 i 284.

5 SYSTEMY LICZBOWE - SPOSOBY ZAPISYWANIA I NAZYWANIA LICZB. Pozycyjny system liczbowy Liczbę przedstawia się jako ciąg cyfr, a wartość poszczególnych znaków cyfrowych zależy od ich położenia względem sąsiednich znaków cyfrowych. np. dziesiątkowy system liczbowy, dwójkowy system liczbowy (binarny) Addytywny system liczbowy Wartość przedstawionej liczby jest sumą wartości jej znaków cyfrowych. np. rzymski system liczbowy, hieroglificzny system liczbowy

6 LICZBY WYMIERNE LICZBY WYMIERNE To podstawowe pojęcie matematyczne, które powstało i ukształtowało się w wyniku praktycznej działalności człowieka, głównie dzięki mierzeniu i stąd nazwa LICZBY WYMIERNE. Zostały one zdefiniowane na przełomie XIX i XX wieku. Zbiór liczb wymiernych oznacza się symbolem W. Zbiór liczb wymiernych jest zbiorem nieskończonym, ponadto nie ma w nim liczby najmniejszej, ani największej. Podzbiorem zbioru liczb wymiernych jest zbiór liczb całkowitych.

7 LICZBĄ WYMIERNĄ NAZYWAMY TAKĄ LICZBĘ, KTÓRĄ MOŻNA PRZEDSTAWIĆ W POSTACI NIESKRACALNEGO UŁAMKA. p i q są liczbami całkowitymi oraz q jest różne od zera Przykłady: ; ; - ; ; - ; 7,34 ; 0,572 Zbiór liczb wymiernych oznaczamy przez W. Każda liczba naturalna jest liczbą wymierną. Każda liczba całkowita jest liczbą wymierną.

8 UŁAMKI ZWYKŁE kreska ułamkowa licznik mianownik Ułamki zwykłe dzielimy na : - właściwe, gdy licznik jest mniejszy od mianownika np: ; ; - niewłaściwe, gdy licznik jest większy od mianownika np: ; ; Ułamki niewłaściwe możemy zapisać w postaci liczby mieszanej np: = 3 = 7

9 CIEKAWOSTKI HISTORYCZNE Ogólne pojęcie stosunku dwóch liczb zostało wprowadzone przez pitagorejczyków w VI w. p.n.e. Poprzedzający ich Babilończycy i Egipcjanie używali jedynie ułamków z licznikiem 1. ułamki to liczby złamane. Słowo ułamek pochodzi od wywodzącego się z łaciny fractio, przekładu z arabskiego kasr - złamany, a zatem ułamki to liczby złamane. Współczesny sposób zapisu ułamków pochodzi od matematyków hinduskich, zapisywali oni licznik i mianownik, nie używając jednak kreski rozdzielającej. Dodanie kreski rozdzielającej zawdzięczamy Arabom tłumaczącym dzieła Hindusów. W Europie jako pierwszy w swoich pracach znane do dziś oznaczenie ułamków publikuje włoski matematyk Fibonacci.

10 ZASADY DZIAŁAŃ NA UŁAMKACH ZWYKŁYCH Dodawanie : dla b 0 i d 0 Odejmowanie : dla b 0 i d 0 Mnożenie : dla b 0 i d 0 Dzielenie : dla b 0 i c 0 i d 0

11 UŁAMKI DZIESIĘTNE ułamkami dziesiętnymi. Ułamki o mianownikach 10,100,1000,… nazywamy ułamkami dziesiętnymi. Ułamki te zapisujemy również w postaci dziesiętnej, oddzielając przecinkiem ich część całkowitą od części ułamkowej, np: Ułamek zwykły możemy zamienić na ułamek dziesiętny, dzieląc jego licznik przez mianownik, np: rozwinięcie dziesiętne skończone rozwinięcie dziesiętne nieskończone okresowe

12

13 ZADANIE Pierwszy złoty medal na igrzyskach olimpijskich zdobyła dla Polski Halina Konopacka. W 1928 roku na igrzyskach w Amsterdamie ustanowiła rekord świata w rzucie dyskiem. Oblicz wartość wyrażenia, a dowiesz się, jaki uzyskała wówczas wynik: 24,5 + [3 (0,8 + 1,4) + 2,25 ] : 0,5- 2,58 = ? ROZWIĄZANIE : 24,5 + [32,2 + 2,25 ] : 0,5- 2,58= =24,5 + [6,6 + 2,25] : 0,5 – 2,58= =24,5 + 8,85 : 0,5 – 2,58= =24,5 + 17,7 – 2,58= =42,2 – 2,58 = 39,62 Odp: Halina Konopacka uzyskała wynik 39,62 m.

14 ZADANIE Czy żyje wielki Baublis, w którego ogromie wiekami wydrążonym, jakby w dobrym domie, Dwunastu ludzi mogło wieczerzać za stołem? Baublis, o którym wspomina Adam Mickiewicz w IV księdze Pana Tadeusza, to stary dąb na Żmudzi, ścięty w 1812 r. Było to pierwsze drzewo opisane w Polsce jako pomnik przyrody. Obliczając wartość wyrażenia, dowiesz się, jaki obwód (w metrach) miał pień Baublisa. 2,505:0,3+3,61,2-1,17=?

15 ROZWIĄZANIE - Jako pierwsze działania wykonujemy dzielenie i mnożenie 2,505 : 0,3 = 25,05 : 3 = 8,35 3,6 1,2 = 4,32 - Teraz wyrażenie ma postać 8,35 + 4,32 – 1,17= - Wykonujemy działania po kolei od lewej strony 12,67 – 1,17 = 11,5 Odp: Pień Baublisa miał obwód 11,5 metra.

16 ZADANIE Każda liczba w cegle piramidy jest różnicą dwóch liczb położonych bezpośrednio pod nią. Wynik obliczeń to rok powstania we Włoszech Legionów Dąbrowskiego. Uzupełnij piramidę. Rozwiązanie: Odp: Legiony Dąbrowskiego powstały we Włoszech w 1797r

17 ALGORYTM ZAMIANY UŁAMKÓW OKRESOWYCH NA UŁAMKI ZWYKŁE PRZYKŁAD 1 0,(7)=0,777… x to szukany ułamek zwykły x=0,777… mnożymy stronami przez 10 10x=7,777… mnożymy stronami przez -1 -x=-0,777… odejmujemy stronami 10x-x=7,777…-0,777… rozwiązujemy równanie 9x=7 to x= otrzymujemy 0,(7) =

18 PRZYKŁAD 2 0,(23)=0,2323… x to szukany ułamek zwykły x=0,232323… mnożymy stronami przez x=23,232323… mnożymy stronami przez -1 -x= - 0,232323… odejmujemy stronami 100x-x=23,2323…- 0,2323… rozwiązujemy równanie 99x=23 to x= otrzymujemy 0,(23) =

19 PRZYKŁAD 3 0,42(6)=0,42666… przekształcamy 0,42666…=0,42+0,00666…= =0,42+0,010,666…=0,42+0,01x zapisujemy x=0,666… mnożymy stronami przez 10 10x=6,666… mnożymy stronami przez -1 -x=- 0,666… odejmujemy stronami 10x-x=6,666…-0,666… rozwiązujemy równanie 9x=6 to x= dodajemy 0,42+0,01x otrzymujemy 0,42(6)=

20 ZADANIE - CIEKAWOSTKA Która z liczb: 1 czy jest większa? Aby to sprawdzić zamieńmy ułamek okresowy 0.(9) na ułamek zwykły. Niech x = Obie strony tego równania mnożymy przez 10. Otrzymujemy 10x = Mamy zatem prosty układ równań: 10x = i x = Kiedy odejmiemy od pierwszego równania drugie, otrzymamy: 9x = , czyli 9x = 9. Dzieląc obie strony równania przez 9 otrzymujemy wynik: x = 1. Ale przecież na początku zapisaliśmy, że x = ! Wnioskujemy więc że liczby te są równe!: 1 = Oczywiście nie mamy tutaj do czynienia z żadnym przybliżeniem. Każdy ułamek dziesiętny, mający okres 9 można zastąpić ułamkiem dziesiętnym skończonym. A więc dla przykładu: 0.8(9) = = 2 0.1(9) = i to po prostu różny sposób zapisu tej samej liczby.

21 ROZWIĄZYWANIE ZADAŃ NIE ZAWSZE BYŁO ŁATWE

22 Leonardo z Pizy czyli Fibonacci, często mylony ze swoim synem Filiusem, był włoskim matematykiem żyjącym w okresie około 1175–1250 r. n.e. Podczas swoich częstych podróży, mógł poznać wiele wynalazków kultur azjatyckich i egipskich. Był wybitnym matematykiem również dlatego, że swą naukę zaczął jako dziecko. Napisał szereg prac z których większość zaginęła. Do naszych czasów zachowały się takie dzieła jak: - Liber Abaci gdzie wyłożył podstawy arytmetyki - Practica Geometriae czyli polaczenie algebry i geometrii - Filos - Liber Quadratorum Leonardo opisał wiele matematycznych problemów. W Liber Abaci opisał sławny Ciąg Fibonacciego oraz bardzo ważne zasady zaokrąglania liczb którym warto poświęcić więcej uwagi.

23 ZAOKRĄGLANIE LICZB Liczby często zaokrąglamy, to znaczy odrzucamy część cyfr końcowych (lub zastępujemy zerami). Zaokrągleń używamy w życiu codziennym. Dla przykładu jeżeli cena towaru wynosi 12 zł 02 gr, często powiemy, że coś kosztuje po prostu 12 złotych, uznając 2 grosze za mało istotne. Zaokrąglenia stosujemy w księgowości, kiedy musimy prawidłowo wyrazić kwotę w pełnych złotych, lub złotych i groszach, a kalkulator wynik działania podaje z dokładnością do więcej niż dwóch miejsc po przecinku. Zaokrąglenia są bardzo istotne w pomiarach różnych wielkości fizycznych i chemicznych. Stosujemy ściśle określone metody zaokrąglania liczb. Jeżeli odrzucaną cyfrą (zastępowaną zerem) jest 0,1,2,3,4, to ostatnia zachowana cyfra nie zmienia się. Jeżeli odrzucaną cyfrą (zastępowaną zerem) jest 5,6,7,8,9, to ostatnia zachowana cyfra jest zwiększana o 1. Przy zaokrąglaniu znak równości zmienia się na znak zaokrąglenia ""

24 PRZYKŁADY ZAOKRĄGLEŃ 482,45 482, , ,899 12, , , Zaokrąglania nie stosujemy, kiedy liczba posiada już tylko jedną cyfrę znaczącą. Cyfra znacząca jest to cyfra 1,2,3,...,9 i 0 w przypadku, gdy znajduje się pomiędzy wymienionymi wcześniej cyframi lub na końcu, gdy oznacza brak jednostek odpowiedniego rzędu. Zer początkowych, ani zer końcowych napisanych w wyniku zaokrąglenia lub w celu zapełnienia miejsca nie zaliczamy do cyfr znaczących.

25 PRZYKŁADY ZAOKRĄGLEŃ - CYFRY ZNACZĄCE Liczba 534,21 ma 5 cyfr znaczących. Liczba 5001 ma 4 cyfry znaczące. Liczba 5001,00 ma 4 cyfry znaczące Liczba 0,231 ma 3 cyfry znaczące. Liczba 0,001 ma 1 cyfrę znaczącą. Zaokrąglenie do n cyfr znaczących polega na takim zaokrągleniu liczby, aby w efekcie miała n cyfr znaczących. np: zaokrąglenie do 5 cyfr znaczących 4005, ,8.

26 RZĄD ZAOKRĄGLEŃ Możemy zaokrąglić liczbę określając jej rząd. Jeżeli mówimy, że chcemy zaokrąglić liczbę do części: liczby całkowiteliczby całkowite - dziesiątych, to pozostawiamy tylko jedną cyfrę po przecinku (po zaokrągleniu) - setnych, to pozostawiamy 2 cyfry po przecinku - tysięcznych, to pozostawiamy 3 cyfry po przecinku i tak dalej. Jeżeli chcemy zaokrąglić do pełnych dziesiątek, setek, tysięcy i tak dalej, to zaokrąglamy tak, aby otrzymać liczby całkowite o minimum 1, 2, 3,... zerach "na końcu" po zaokrągleniu. liczby całkowite

27 PRZYKŁADY ZAOKRĄGLEŃ – RZĄD ZAOKRĄGLEŃ Zaokrąglenia do tysięcy: Zaokrąglenia do setnych części: 246, ,45 0,(64) = 0, ,65 154, ,43 0,0191 0,02

28 SZACOWANIE WARTOŚCI Opisując liczbowo pewne zjawiska, często nie posługujemy się dokładnymi wartościami, a jedynie pewnymi przybliżeniami. Np. mówi się, że koncert obejrzało około dwa tysiące osób, czasami musimy umieć ocenić, czy 50zł wystarczy na zrobienie zaplanowanych zakupów itp. Warto umieć szacować różne wielkości, gdyż jest to bardzo wygodne i praktyczne.

29 ZADANIE Kotka Oli zjada codziennie 75g suchej karmy, którą Ola odmierza specjalną miarką. Czy zapas 590g wystarczy jej jeszcze na tydzień? Rozwiązanie: a) Można pomnożyć 775 i wtedy odpowiedzieć na pytanie b) Można zauważyć, że 75 to mniej niż 80, a 780 obliczone w pamięci to 560 Wynik ten, otrzymany z oszacowania z nadmiarem, jest mniejszy od 590. Odp: Zapas karmy dla kotki wystarczy na cały kolejny tydzień.

30 SYSTEM RZYMSKI ZAPISU LICZB Rzymski system zapisywania liczb powstał ponad dwa tysiące lat temu. Używano go powszechnie jeszcze w piętnastym wieku. Obecnie cyfry rzymskie stosuje się rzadko. Służą do zapisywania dat, oznaczania numerów pięter, rzędów w kinie itp. Przy zapisie liczby w systemie rzymskim, jej wartość określa się na podstawie sumy wartości jej znaków cyfrowych. Wyjątkiem od tej zasady są liczby 4, 9, 40, 90, 400, 900, do ich zapisu używa się odejmowania.

31 REGUŁY ZAPISU LICZB W SYSTEMIE RZYMSKIM 1. Podczas zapisywania liczb w systemie rzymskim należy zawsze dążyć do tego, aby używać jak najmniejszej liczby znaków. 2. Obok siebie nie mogą stać dwa jednakowe znaki spośród V, L, D 3. Obok siebie mogą stać co najwyżej trzy jednakowe znaki spośród I, X, C, M 4. Bezpośrednio przed znakiem oznaczającym liczbę większą może stać tylko jeden znak symbolizujący liczbę mniejszą. Tym znakiem może być jedynie I, X, C

32 PRZYKŁADY MMCDLXXXIX = = = = (50-10)+21MDCCCXLII

33 WYDARZENIA Z HISTORII POLSKI Zapis rzymskiWydarzenieZapis arabski CMLXVIChrzest Polski966 MCDXBitwa pod Grunwaldem1410 MDXCVIPrzeniesienie stolicy z Krakowa do Warszawy1596 MDCCXCIUchwalenie Konstytucji 3 Maja1791 MCMXVIIIOdzyskanie przez Polskę niepodległości1918 MCMXXXIXWybuch II wojny światowej1939 MCMLXXVIIIWybór Kardynała Karola Wojtyły na papieża1978 MCMXCIPierwsze wolne wybory w Polsce1991

34 Każdą liczbę wymierną można zaznaczyć na osi liczbowej.

35 OŚ LICZBOWA OŚ LICZBOWA OŚ LICZBOWA jest to prosta, na której wyróżniono kierunek, punkt zerowy oraz jednostkę. Początkiem osi liczbowej jest punkt 0. Półprostą dodatnią osi liczbowej jest zbiór liczb nieujemnych, półprostą ujemną- zbiór liczb niedodatnich. Na osi liczbowej każdemu punktowi jest przyporządkowana tylko jedna liczba i każdej liczbie jest przyporządkowany tylko jeden punkt.

36 OŚ LICZBOWA – PRZEDZIAŁY LICZBOWE Nawiasy przy zawsze są okrągłe Nx X > 2 Rozwiązaniem tej nierówności jest każda liczba większa od 2 Liczba 2 zaznaczona na osi pustym kółkiem nie spełnia tej nierówności X < 4 Rozwiązaniem tej nierówności jest każda liczba mniejsza od 4 Liczba 4 zaznaczona na osi pustym kółkiem nie spełnia tej nierówności

37 X - 3 Rozwiązaniem tej nierówności jest każda liczba większa od – 3 lub równa – 3 Liczba – 3 zaznaczona na osi zamalowanym kółkiem spełnia tę nierówność X - 1 Rozwiązaniem tej nierówności jest każda liczba mniejsza od – 1 lub równa – 1 Liczba – 1 zaznaczona na osi zamalowanym kółkiem spełnia tę nierówność

38 System dwójkowy (BINARNY) Cyframi są wtedy tylko 0 i 1 np. liczba 5 zapisana w tym systemie ma postać (101) bo: (101) = 12°+02 ¹+12²= = 5 System trójkowy Cyframi są wtedy tylko 0, 1 i 2 np. liczba 47 zapisana w tym systemie ma postać (1202) bo: (1202) = 23°+03 ¹+23²+13 = =47 System piątkowy Cyframi są wtedy tylko 0, 1, 2, 3, 4 np. liczba 204 zapisana w tym systemie ma postać (1304) bo: (1304) = 45°+05 ¹+35²+15³= =204 NIEDZIESIĄTKOWE SYSTEMY LICZBOWE

39

40 Źródła z których korzystaliśmy : - INTERNET - ENCYKLOPEDIA MATEMATYKI - PODRĘCZNIK DO MATEMATYKI - SŁOWNIK MATEMATYCZNY

41

42 Publikacja jest współfinansowana przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego Prezentacja jest dystrybuowana bezpłatnie Projekt Z FIZYKĄ, MATEMATYKĄ I PRZEDSIĘBIORCZOŚCIĄ ZDOBYWAMY ŚWIAT !!! jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego Program Operacyjny Kapitał Ludzki CZŁOWIEK – NAJLEPSZA INWESTYCJA


Pobierz ppt "Publikacja jest współfinansowana przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego Prezentacja jest dystrybuowana bezpłatnie Projekt."

Podobne prezentacje


Reklamy Google