Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

MODELOWANIE ZMIENNOŚCI CEN AKCJI MODEL ADDYTYWNY MODEL MULTIPLIKATYWNY.

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "MODELOWANIE ZMIENNOŚCI CEN AKCJI MODEL ADDYTYWNY MODEL MULTIPLIKATYWNY."— Zapis prezentacji:

1 MODELOWANIE ZMIENNOŚCI CEN AKCJI MODEL ADDYTYWNY MODEL MULTIPLIKATYWNY

2 Modele zmienności z czasem dyskretnym / Modele zmienności aktywów z czasem dyskretnym / Model addytywny Przyjmijmy następujące oznaczenia: S(0) - cena początkowa akcji S(k) - cena akcji w k-tym momencie (etapie). u(k), k= 0,1,2,…n ciąg niezależnych zmiennych losowych o jednakowej wartości oczekiwanej μ oraz o tej samej wariancji równej σ 2. Będziemy go interpretować jako losowe fluktuacje.

3 Model addytywny Rozważmy model ceny aktywu postaci (1)S(k+1) = a S(k) + u (k) Gdzie u(k) – losowe fluktuacje, k=0,1,2,... zaś a jest pewną dodatnią liczbą rzeczywistą, decydującą o trendzie głównym. Dla a > 1 trend główny jest wzrostowy. Znając wartości u(0),...,u(n) można wyznaczyć S(1), S(2), …,S(n). W tym modelu cena akcji w dowolnym momencie zależy wyłącznie od ceny w momencie go poprzedzającym i od losowej fluktuacji.

4 Model addytywny Ze wzoru (1) otrzymujemy S(1) = aS(0) + u(0), S(2) = aS(1) + u(1) = a[aS(0) + u(0)] + u(1)= = a 2 S(0) + au(0) + u(1) S(3) = aS(2)+u(2) = a [a 2 S(0) + au(0) + u(1)] +u(2)= = a 3 S(0) + a 2 u(0) + au(1) + u(2) Uwaga 1. Można pokazać, że dla każdego k: (2) S(k) = a k S(0) + a k-1 u(0) + a k-2 u(1) +…+a u(k-2) + u(k-1).

5 Model addytywny Rzeczywiście, dla k = 1 wzór jest prawdziwy (z definicji modelu). Zakładając prawdziwość dla k, z ciągu równości : S(k+1) = a S(k) + u (k)= a[a k S(0) + a k-1 u(0) + a k-2 u(1) +… +a u(k-2) + u(k-1)] + u (k)= = a k+1 S(0) + a k u(0) + a k-1 u(1) +…+a 2 u(k-2) + au(k-1) + u (k) oraz indukcji matematycznej wynika prawdziwość wzoru (2)

6 Model addytywny. Wartość oczekiwana Wartość oczekiwana zmiennej S(k). Z elementarnych własności wartości oczekiwanej oraz z założenia E[u(k)] = μ dla każdego k mamy E[S(k)] = E( a k S(0) + a k-1 u(0) + a k-2 u(1) +…+ au(k-2) + u(k-1))= = a k E[S(0)] + a k-1 E[u(0)] + a k-2 E[u(1)] +…+aE[u(k-2)]+E[u(k-1)] = a k S(0) + a k-1 μ + a k-2 μ +…+a μ + μ E[S(k)] = a k S(0) + μ(1-a k )/(1-a), o ile a jest różne od 1 albo E[S(k)] = S(0) + k μ, gdy a = 1

7 Model addytywny. Wariancja ceny Korzystając z podstawowych własności wariancji oraz założenia niezależności zmiennych losowych otrzymujemy Var [S(k)] = Var [a k S(0) + a k-1 u(0) + a k-2 u(1) +…+ u(k-1)] = = Var [a k-1 u(0) + a k-2 u(1) +…+ u(k-1)] = = Var [a k-1 u(0)] + Var[a k-2 u(1)] +…+Var[u(k-1)] = = (a k-1 ) 2 Var [u(0)]+ (a k-2 ) 2 Var [u(1)]+…+ a 2 Var [u(k-2)] + +Var [u(k)] = = a 2(k-1) σ 2 + a 2(k-2) σ 2 +…+a 2 σ 2 +σ 2 = = (1+a 2 +a 4 +…+a 2k-2 ) σ 2 = σ 2 (1- a 2k ) / (1- a 2 ), gdy a różne od 1 Var [S(k)] = k σ 2, dla a = 1

8 Model addytywny. Przykład Rozważmy 300 – etapową symulację w modelu addytywnym. Cena początkowa akcji: 100 zł, a =1, fluktuacje w każdym etapie są liczbami losowymi z przedziału (-5 zł, 5 zł).

9 Model addytywny. Przykład symulacji

10

11 Model addytywny. Przykłady symulacji

12 Jednakowe prawdopodobieństwa wzrostu i spadku. Losowe wahanie z przedziału (0;1) o przeciętnej wartości równej 0,5

13 Jednakowe prawdopodobieństwa wzrostu i spadku. Losowe wahanie z przedz. (0;2)

14 Jednakowe prawdopodobieństwa wzrostu i spadku. Losowe wahanie z przedz. (0; 2) Histogram częstości

15 Prawdopodobieństwo wzrostu 1,5 raza większe niż spadku. Losowe wahanie z przedziału (0; 1)

16 Prawdopodobieństwo wzrostu 1,5 raza większe niż spadku. Losowe wahanie z przedziału (0; 1) Wykres oczekiwanej wartości – czerwona prosta

17

18

19

20

21 Model addytywny (przypadek a=1). Zmienne losowe u(k) o rozkładzie dwupunktowym S(k+1) = S(k) + u (k) u(k) mają rozkład dwupunktowy, k=0,1,2,...tzn. u(k) = σ lub u(k) = - σ, ( σ > 0 ) z jednakowymi prawdopodobieństwami S(n) = S(0) + u (0) + u (1) +…+ u (n-1) S n = u (0) + u (1) +…+ u (n-1) S(n) = S(0) + S n S n wyraża zmianę ceny po n etapach Wtedy: E[u (i)] = 0 Var [u (i)] = 0,5( σ -0) 2 + 0,5(- σ -0) 2 = σ 2 E[S n ]= 0 Var S n = Ʃ n i=1 Var [u (i)] = n σ 2 Wzór na wariancję wynika z niezależności ciągu zmiennych losowych (u(i)). Z elementarnych własności wartości oczekiwanej i wariancji otrzymujemy E[S(n)]= S(0) Var S(n) = n σ 2 Oznaczając przez σ n odchylenie standardowe zmiennej S n, mamy σ n = σ  n

22 Model addytywny. Uwagi Mimo swej prostoty i łatwości stosowania model addytywny nie zawsze nadaje się do stosowania go w rzeczywistości. Zmienne u(k) mogą przyjmować wartości ujemne, co oznacza, że model dopuszcza ujemne wartości cen akcji, co jest niemożliwe. Model ten nadaje się do analizy w krótkich okresach i stał się podstawą do zbudowania wielu innych modeli.

23 Model multiplikatywny Rozważmy model zmienności cen aktywów w którym „nowa” cena powstaje ze „starej” przez pomnożenie przez pewien losowy czynnik. (3) (3) S(k+1) = u(k)S(k) dla k = 0, 1,..., n – 1. Zakładamy, że dana jest cena początkowa S(0) oraz że zmienne losowe u(k), k = 0, 1,...,n - 1, są dodatnie, mają jednakowe wartości oczekiwane oraz jednakowe wariancje.

24 Model multiplikatywny Logarytmując (3) stronami: ln S(k+l) = ln S(k) + ln u(k) dla k = 1, 2,..., n - 1. Uwaga. Uzyskana postać jest jedną z form modelu addytywnego - wartości ln S(k) są modelowane addytywnie ze stałą a = 1 Oznaczmy w(k) = ln u(k) Losowe fluktuacje są wyrażone w formie logarytmu naturalnego z u(k). Załóżmy dalej, że ciąg { w(k)} jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych o jednakowych rozkładach. Niech wartość oczekiwana każdej z nich wynosi μ zaś wariancja σ 2.

25 Model multiplikatywny Korzystając z modelu (3) cena aktywa w chwili k dana jest wzorem S(k) = u(k-1)u(k-2)…u(0)S(0). Po zlogarytmowaniu obu stron

26 Model multiplikatywny Jeśli wszystkie zmienne w(i) mają tę samą wartość oczekiwaną μ i wariancję σ 2 oraz są niezależne, to korzystając z własności wartości oczekiwanej i wariancji sumy niezależnych zmiennych losowych możemy zapisać: E [ln S(k)] = ln S(0) + μk Var [lnS(k)] = k σ 2. Łatwo zauważyć, że zarówno wartość oczekiwana jak i wariancja rosną proporcjonalne do k.

27 Model multiplikatywny, dwumianowy   Zakładamy, że w każdym okresie cena akcji może obniżyć się lub wzrosnąć, zawsze w tej samej proporcji, czyli przy czym pierwsza z tych wartości jest przyjmowana z prawdopodobieństwem p a druga z (1-p)

28 Drzewo cen w modelu multiplikatywnym, dwumianowym (4 etapy, S – cena początkowa)

29 Ceny końcowe w modelu multiplikatywnym dwumianowym, n-etapowym Ze wzoru (3) wynika, że możliwe ceny końcowe muszą mieć postać S u k d n-k, gdzie k = 0,1,…,n. Na drzewie cenowym istnieje różnych dróg prowadzących do węzła identyfikowanego z ceną Su k d n-k, gdyż każda droga jest jednoznacznie scharakteryzowana przez n-wyrazowy ciąg (u,u,d,u,…,d,u), zawierający k liter u oraz (n-k) liter d.

30 Ceny końcowe w modelu multiplikatywnym dwumianowym, n-etapowym   Prawdopodobieństwo każdej takiej drogi – jako koniunkcji zdarzeń niezależnych - wynosi   p k (1-p) n-k Zatem prawdopodobieństwo ceny końcowej Su k d n-k wynosi  

31 Przykład modelu multiplikatywnego, dwumianowego

32 Drzewo cen akcji w modelu multiplikatywnym, dwumianowym (10 etapów)

33 Ceny akcji w modelu multiplikatywnym, dwumianowym (10 etapów)

34 Ceny końcowe akcji w modelu 10-etapowym oraz prawdopodobieństwo ich uzyskania

35

36

37 Model dwumianowy Symulacja

38 Model dwumianowy. Symulacja ceny dla 304 etapów. Różne prawdopodobieństwa wzrostu i spadku

39 Oczekiwana wartość ceny w (n+1)- szym kroku   S 0 =100 (cena początkowa)   ES n - oczekiwana wartość ceny po n – tym krokach   ES n+1 = (1,1 ES n ) 0,6 + (0,9 ES n ) 0,4 = = 1,02 ES n   Ciąg (ES n ) jest ciągiem geometrycznym o ilorazie 1,02

40 Model dwumianowy. Symulacja ceny

41

42

43

44

45 Model dwumianowy. Rozkład prawdopodobieństwa ceny końcowej dla 304 etapów

46

47

48


Pobierz ppt "MODELOWANIE ZMIENNOŚCI CEN AKCJI MODEL ADDYTYWNY MODEL MULTIPLIKATYWNY."

Podobne prezentacje


Reklamy Google