Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Modelowanie pojedynczej populacji. W pierwszej części wykładu przedstawimy podstawowe modele opisujące ekosystem, w którym występuje tylko jedna populacja.

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "Modelowanie pojedynczej populacji. W pierwszej części wykładu przedstawimy podstawowe modele opisujące ekosystem, w którym występuje tylko jedna populacja."— Zapis prezentacji:

1 Modelowanie pojedynczej populacji. W pierwszej części wykładu przedstawimy podstawowe modele opisujące ekosystem, w którym występuje tylko jedna populacja i opiszemy dynamikę takiej populacji w zależności od przyjętego modelu heurystycznego i formalizmu matematycznego.

2 Model Malthusa 1789 Założenia: w środowisku występuje jeden gatunek zasoby są nieograniczone populacja jest jednorodna osobniki nie umierają każdy osobnik wydaje na świat potomstwo co Ƭ jednostek czasu, Ƭ jest ustalone i jednakowe dla wszystkich osobników zawsze jeden rodziciel rodzi λ dojrzałych potomków momenty rozmnażania są w dowolnym przedziale czasu rozłożone jednostajnie Thomas Robert Malthus ( ) – ekonomista i duchowny anglikański, który prowadził badania z pogranicza ekonomii i socjologii. Zajmował się teorią ludności oraz problemami płac i pieniądza. W 1805 roku został pierwszym w Anglii profesorem ekonomii politycznej.

3 Równanie. Równanie opisujące średnią liczebność populacji N(t) w chwili t. Załóżmy że znamy liczebność w pewnej ustalonej chwili t i chcemy obliczyć N(t + Δt) po upływie czasu Δt. Zauważmy, ze w przedziale czasu (t, t + Δt) jest Δt Ƭ = p momentów rozmnażania. Każdy rodzic ma w tym przedziale czasu średnio pλ potomków. Liczba osobników zdolnych do rozmnażania w chwili t wynosi N(t), zatem przyrost liczebności w przedziale czasu (t, t + Δt) możemy przybliżyć równaniem N (t +Δt ) = N (t) + pλN (t). Dzieląc stronami przez Δt i przechodząc do granicy otrzymujemy lim N(t+Δt)-N(t) = d λ λ Δ t 0 Δt dt N(t) = Ƭ N(t) Ƭ = r gdzie r nazwiemy współczynnikiem rozrodczości populacji P. Równanie wzrostu wykładniczego; N' (t) = rN (t)

4 Model ciągły i dyskretny. Równanie postaci N' (t) = rN (t) jest modelem ciągłym tzn. zmienna czasowa t zmienia się w sposób ciągły. Jeśli założymy, ze Δt = 1, gdzie 1 oznacza ustalona jednostkę czasu i zastosujemy oznaczenie N(t) = Nt 0, to równanie Δt N (t +Δt ) = N (t) + Ƭ * λN (t) możemy zapisać jako N t+1 = (1 + r)N t, otrzymujemy model dyskretny (zmienna czasowa zmienia się w sposób dyskretny, najczęściej t Є N, a liczebność populacji opisana jest za pomocą równania rekurencyjnego).

5 Rozwiązanie równania rozrostu wykładniczego; N'(t) = rN(t) Warunek początkowy: N(0) =N 0 dN / dt = rN ʃ dN / N = ʃ rdt Ln|N| = rt+c 1 N(t) = ce rt N(0) = ce 0 = c Rozwiązanie równania Malthusa ; N(t)= N 0 e rt

6 Konsekwencje modelu Malthusa. N(t)=N 0 e rt r>0 "przeludnienie" r<0 "wyginięcie r=0 "stabilizacja"

7 Procesy rozrodczości i śmiertelności. Założenia: w środowisku występuje jeden gatunek P zasoby są nieograniczone populacja jest jednorodna osobniki umierają każdy osobnik wydaje na świat potomstwo co Ƭ jednostek czasu, każdy osobnik umiera co Ƭ * jednostek czasu, zawsze jeden rodziciel rodzi λ dojrzałych potomków każdorazowo umiera λ * ogólnej liczby osobników N(t) momenty rozmnażania i umierania są w dowolnym przedziale czasu rozłożone jednostajnie

8 Zapis równania. Kierując się równaniem z modelu Malthusa N (t +Δt) = N (t) + pλN (t) otrzymujemy N (t +Δt) = N (t) + pλN (t)- p * λ * N (t) Δt Δt gdzie p = Ƭ zaś p * = Ƭ *

9 Uproszczenie równania N (t +Δt) = N (t) + pλN (t)- p * λ * N (t) r - współczynnik rozrodczości populacji P, s- współczynnik śmiertelności populacji P, r n = r - s współczynnik rozrodczości,,netto, czyli różnicę między współczynnikiem rozrodczości a śmiertelności. N (t +Δt) – N(t) = rΔtN (t) – sΔtN (t) N (t +Δt) – N(t) = (r-s)ΔtN (t) N (t +Δt) – N(t) = r n Δt N (t)

10 Model ciągły Skorzystamy z uproszczonej postaci równania N (t +Δt) – N(t) = r n Δt N (t) Dzieląc stronami przez Δt i przechodząc do granicy otrzymujemy lim N(t+Δt)-N(t) d Δ t 0 Δt = dt N(t) = r n N(t) Ostatecznie otrzymujemy interesujący nas model który ma postać: N'(t) = r n N(t)

11 Rozwiązanie równania. Otrzymujemy N' (t) = r n N(t), rozwiązanie takiego równania znamy z poprzedniego modelu. Wystarczy zastosować metodę rozdzielania zmiennych i otrzymamy ; N(t)= C e r n t

12 Model dyskretny. Korzystamy z równania wyjściowego N (t +Δt) = N (t) + pλN (t)- p * λ * N (t) N (t +Δt) = (1+ pλ - p * λ * ) N (t) Jeśli założymy, ze Δt = 1, gdzie 1 oznacza ustalona jednostkę czasu i zastosujemy oznaczenie N(t) = Nt 0, to otrzymamy model dyskretny postaci: N t+1 = a * N t gdzie t = 0,1, 2,….,n a * = 1 + λp - λ * p * = 1+r n a * >0 lub a * Є (0,1) a * - nie może być ujemne bo np. N t = a * N 0 <0, co oznaczałoby ze umiera więcej osobników niż ich jest.

13 Analiza modelu rozrodczości i śmiertelności. N(t)= C e r n t r n = r-s r-s>0 rozrodczość przewyższa śmiertelność r-s=0 rozrodczość jest równa śmiertelności r-s<0 śmiertelność przewyższa rozrodczość

14 Dziękuję za uwagę. Literatura: -Urszula Foryś Modelowanie matematyczne w biologii i medycynie Uniwersytet Warszawski 2011r. Wykonawca prezentacji: Anna Ositek.


Pobierz ppt "Modelowanie pojedynczej populacji. W pierwszej części wykładu przedstawimy podstawowe modele opisujące ekosystem, w którym występuje tylko jedna populacja."

Podobne prezentacje


Reklamy Google