Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Trend wykładniczy dr Małgorzata Radziukiewicz. Funkcja wykładnicza Funkcją wykładniczą jest funkcja postaci: gdzie a>0 jest ustaloną liczbą

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "Trend wykładniczy dr Małgorzata Radziukiewicz. Funkcja wykładnicza Funkcją wykładniczą jest funkcja postaci: gdzie a>0 jest ustaloną liczbą"— Zapis prezentacji:

1 Trend wykładniczy dr Małgorzata Radziukiewicz

2 Funkcja wykładnicza Funkcją wykładniczą jest funkcja postaci: gdzie a>0 jest ustaloną liczbą

3 Funkcja wykładnicza Funkcja ta znajduje najczęściej zastosowanie jako model ekonometryczny, w którym występuje tylko jedna zmienna objaśniająca X: Rys.1a. Funkcja wykładnicza parametr α 0 interpretowany jest jako poziom zmiennej Y, gdy zmienna objaśniająca X przyjmie wartość zero α 1 nazywane jest stopą wzrostu, tzn. wzrost wartości zmiennej objaśniającej X o jednostkę powoduje zmianę poziomu zmiennej objaśnianej Y o (α 1 – 1) 100%. Y X α0α0 0<α 1 <1 α 1 >1 α 1 =1

4 Funkcja wykładnicza Większe od jedności wartości parametru α 1 oznaczają wzrost wartości zmiennej objaśnianej Y np. gdy α 1 =1,15, wzrost X o jednostkę spowoduje wzrost Y o (1,15 - 1) 100% = 15% Mniejsze od jedności (ale zawsze większe od zera) wartości parametru α 1 świadczą o spadku wartości zmiennej objaśnianej Y np. dla α 1 =0,94, wzrost X o jednostkę spowoduje wzrost Y o (0,94 - 1) 100% = -6%, zatem spadek

5 Model wykładniczy Model wykładniczy: Aby oszacować parametry modelu wykładniczego MNK model musi być sprowadzony do postaci liniowej; Model wykładniczy (nieliniowy ze względu na zmienną) sprowadza się do postaci liniowej poprzez logarytmowanie; Logarytmujemy obie strony równania (3), w wyniku czego otrzymujemy: gdzie: logarytm naturalny, którego podstawa e= …

6 Trend wykładniczy Funkcja wykładnicza znajduje najczęściej zastosowanie jako model tendencji rozwojowej (w którym występuje tylko jedna zmienna objaśniająca – zmienna czasowa t): parametr α 0 interpretowany jest jako średni poziom zmiennej Y w roku poprzedzającym badanie (t=0) α 1 nazywane jest średnioroczną stopą wzrostu (spadku) badanego zjawiska w przedziale czasu [1, n], tzn. co roku wartość Y wzrasta (spada) średnio o (α 1 – 1) 100%.

7 Trend wykładniczy model musi być sprowadzony do postaci liniowej poprzez logarytmowanie; otrzymujemy wówczas: przy sprowadzeniu do postaci liniowej została przekształcona jedynie zmienna Y, ( nie została przekształcona zmienna t ) a więc

8 Trend wykładniczy dane niezbędne do obliczeń : X – macierz wartości zmiennej czasowej; - wektor zaobserwowanych wartości zmiennej Y po przekształceniu

9 Trend wykładniczy wektor ocen parametrów modelu trendu wykładniczego (modelu sprowadzonego do postaci liniowej) obliczamy ze wzoru:

10 Trend wykładniczy Mamy wówczas: Po wykonaniu obliczeń model ma postać liniową (6); Dla modelu w postaci liniowej obliczamy parametry struktury stochastycznej; Pozytywna weryfikacja modelu pozwala powrócić do postaci pierwotnej funkcji trendu, tzn. do funkcji wykładniczej przez odlogarytmowanie: czyli

11 Prognozowanie na podstawie trendu wykładniczego Sposób obliczenia prognozy punktowej: stąd

12 Prognozowanie na podstawie trendu wykładniczego Ocena ex ante średniego błędu prognozy logarytmu zmiennej Y: oznaczenia: jest wariancją resztową z modelu liniowego otrzymanego po transformacji prognozowanej zmiennej Średni błąd ex ante prognozy dla zmiennej Y (pierwotnej):

13 Prognozowanie na podstawie trendu wykładniczego Przykład 3. Wartość produkcji (Y t w mld zł) w pewnym przedsiębiorstwie w latach 1993 – 2002 kształtowała się następująco: a) oszacować parametry strukturalne i parametry struktury stochastycznej funkcji trendu; b) wyznaczyć prognozę kształtowania się wartości produkcji w kolejnych latach 2003, 2004 i 2005; c) ocenić dokładność dokonanej predykcji. lata Produ kcja w mld zł ,5 3,5 4,1 5,0 7,6 11,0 16,1 15,5 21,0 26,4

14 Postać modelu trendu wykładniczego na podstawie analizy graficznej (a także na podstawie analizy przyrostów) dla danych produkcji najbardziej odpowiednia będzie funkcja wykładnicza postaci: gdzie: t - zmienna czasowa (t=1,2,…10) Parametry tej funkcji można oszacować MNK po uprzednim sprowadzeniu jej do postaci liniowej poprzez logarytmowanie:

15 Estymacja parametrów strukturalnych modelu trendu wykładniczego wektor ocen parametrów modelu trendu wykładniczego (modelu sprowadzonego do postaci liniowej) obliczamy ze wzoru: lub ze wzorów:

16 Estymacja parametrów strukturalnych modelu trendu wykładniczego Tablica 1. Obliczenia pomocnicze lataNakład (Y)ln YtlnY· tt2t ,51, ,51, , ,11, , , , ,62, , ,02, , ,12, , ,52, , ,03, , ,43, , ,722, ,

17 Estymacja parametrów strukturalnych modelu trendu wykładniczego

18 Weryfikacja modelu trendu wykładniczego Parametry struktury stochastycznej obliczamy dla modelu w postaci liniowej. Całość wyników (obliczenia w Excel) można zapisać następująco: Model jest dobrze dopasowany do danych empirycznych (parametry strukturalne są statystycznie istotne, współczynniki φ 2 i V przyjmują wartości stosunkowo małe). Stwierdzenie to pozwala powrócić do postaci pierwotnej funkcji trendu, tzn. do funkcji wykładniczej przez odlogarytmowanie.

19 Postać modelu trendu wykładniczego otrzymamy wówczas: czyli funkcję wykładniczą postaci: Interpretacja: Można zatem stwierdzić, iż średni poziom produkcji w badanym przedsiębiorstwie w 1992 roku (t=0) wynosił 2,47 mld zł, a w rozpatrywanym okresie średnioroczna stopa wzrostu wynosiła 1,266; czyli co roku wartość produkcji wzrastała średnio o 26,6%.

20 Prognozowanie na podstawie trendu wykładniczego Sposób obliczenia prognozy punktowej: Stąd Produkcja w latach będzie wynosiła kolejno 33,2, 42,1 oraz 53,3 mld zł.

21 Prognozowanie na podstawie trendu wykładniczego Ocena ex ante średniego błędu logarytmu zmiennej Y: oznaczenia: jest wariancją resztową z modelu liniowego otrzymanego po transformacji prognozowanej zmiennej. Średni błąd prognozy dla zmiennej Y:

22 Prognozy produkcji


Pobierz ppt "Trend wykładniczy dr Małgorzata Radziukiewicz. Funkcja wykładnicza Funkcją wykładniczą jest funkcja postaci: gdzie a>0 jest ustaloną liczbą"

Podobne prezentacje


Reklamy Google