Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Poprzedni wykład: Fale Fale podłużne a fale poprzeczne Równanie falowe, fala harmoniczna Prędkość fazowa i grupowa Jak pokonać prędkość światła Opis fal.

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "Poprzedni wykład: Fale Fale podłużne a fale poprzeczne Równanie falowe, fala harmoniczna Prędkość fazowa i grupowa Jak pokonać prędkość światła Opis fal."— Zapis prezentacji:

1 poprzedni wykład: Fale Fale podłużne a fale poprzeczne Równanie falowe, fala harmoniczna Prędkość fazowa i grupowa Jak pokonać prędkość światła Opis fal przy pomocy liczb zespolonych Fala płaska Równania Maxwella Fale świetlne Fotony Spin Ciśnienie światła; wiatr słoneczny Chłodzenie atomówZadania

2 Fale podłużne a fale poprzeczne zaburzenie, które się rozprzestrzenia się w czasie i przestrzeni. Poprzeczna podłużna drgania odbywają się w kierunku równoległym do kierunku jej rozchodzenia (np. fala dźwiękowa, fale gęstości, fale trzęsień Ziemi, fale p) kierunek drgań jest prostopadły do kierunku rozchodzenia się fali (np. fala elektromagnetyczna) poprzeczne poprzeczne : podłużne podłużne :

3 Równanie falowe Jednowymiarowe skalarne równanie falowe (wyprowadzimy je z równań Maxwella) funkcji f : Fale elektromagnetyczne (w tym pole elektryczne E fali świetlnej) w próżni są rozwiązaniem równania falowego z v = c. Skalarne równanie różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu, opisujące propagację różnorodnych fal (elektromagnetycznych, dźwiękowych, fal powierzchniowych).

4 Fala płaska: Fala płaska niesie więc nieskończoną energię. Fala taka nie istnieje realnie! Płaszczyzny frontów falowych fal elektromagnetycznych wędrują w próżni z prędkością światła. Jest to fala o stałej częstotliwości, której powierzchnie falowe (powierzchne jednakowej fazy) tworzą równoległe do siebie płaszczyzny. Wypełniają one całą przestrzeń.

5 Obwiednia rozchodzi się z prędkością grupową. Fala nośna rozchodzi się z prędkością fazową. Dla fali harmonicznej o zmieniającej się (modulowanej) amplitudzie prędkość grupowa jest prędkością obwiedni fali nośnej. Prędkość grupowa v g vpvp v g d /dk

6 Czy można: zatrzymać światło? przyspieszyć światło?!?

7 1.Wykaż, że gdy funkcja f (x) spełnia równanie falowe, funkcja f (x ± vt) również spełnia równanie falowe. 2.Sprawdź poprawność związków między prędkością fazową i prędkością grupową: Przedyskutuj ten związek dla ośrodków posiadających dyspersję czasową (w ośrodkach takich częstość zależy od długości fali ). Zadania:

8 Odpowiedź 1. (z wykładu 02 Fale) Zapiszmy f (x ± vt) jako f (u), gdzie u = x ± vt. Podstawiając do równania falowego: c.b.d.o.

9 Równania Maxwella Wyprowadzenie równania falowego z równań Maxwella Dlaczego fale świetlne w próżni (powietrzu) są falami poprzecznymi Gęstość energii fali świetlnej Wektor Poyntinga Irradiancja (natężenie światła) Irradiancja superpozycji fal świetlnych Skąd się bierze światło? Wielkości częstości oscylacji atomowych i cząsteczkowych Zadania Wykład 3 Równania Maxwella a fale świetlne

10 Wektorowe równanie falowe posiada rozwiązanie w postaci: Teraz mamy strzałkę nad E. lub: zespolona amplituda Są to trzy niezależne równania falowe; każde z nich dotyczy składowych x, y, i z wektora E.

11 Wektorowe równanie falowe (3D) posiada rozwiązanie w postaci: Teraz mamy strzałkę nad E. lub: zespolona amplituda

12 Fale wyrażone przez zespolone amplitudy wektorowe Pola zespolone, a więc i ich amplitudy są teraz wektorami: Zespolone amplitudy zapisane są więc przy pomocy aż sześciu liczb, które trzeba znać, by te amplitudy w pełni określić!!! składowa x składowa y składowa z

13 Różniczkowy operator wektorowy nabla : Gradient funkcji skalarnej f : - jest wektorem, wskazuje kierunek, w jakim wzrost funkcji f jest największy. Dywergencja – operator różniczkowy, który funkcji wektorowej przypisuje wielkość skalarną Powtórzenie; operatory różniczkowe

14 Laplacian funkcji skalarnej: Laplacian funkcji wektorowej: (działa na każdą ze składowych funkcji wektorowej) Laplacian mówi nam o zakrzywieniu funkcji wektorowej Powtórzenie; operatory różniczkowe Laplacian: operator różniczkowy drugiego rzędu,który można zdefiniować za pomocą operatorów gradientu i dywergencji:

15 tworzy pole wektorowe wskazujące wirowanie (gęstość cyrkulacji) pola wyjściowego. Rotacja może być zapisana przy pomocy wyznacznika: Rotacja funkcji wektorowej Powtórzenie; operatory różniczkowe Jeżeli rotacja danego pola wektorowego jest równa zero (wektorem zerowym), to pole to jest bezwirowe. Pole bezwirowe posiada potencjał (i odwrotnie: pole posiadające potencjał jest polem bezwirowym). W notacji Einsteina:

16 Można z nich wyprowadzić znane dawniej prawa empiryczne takie, jak prawo Faradaya czy prawo Ampera. Po odpowiednim ich przekształceniu otrzymujemy równanie falowe, a prędkość opisywanej przez nie fali równa jest prędkości światła w próżni: Równania Maxwella Podstawowe równania elektromagnetyzmu i optyki. Opisują własności pola elektrycznego i magnetycznego oraz zależności między tymi polami. W próżni (w powietrzu):

17 Równania Maxwella Równania Maxwella opisują również fale elektromagnetyczne, których nie widzimy. telefony komórkowe, radio, telewizja, łączność satelitarna, nawigacja morska i lotnicza, systemy radiolokacji …

18 Równania Maxwella - natężenie pola elektrycznego, [ V / m ], - indukcja magnetyczna, [T = Vs /m 2 ], 0 - przenikalność elektryczna próżni, 0 - przenikalność magnetyczna, - operator dywergencji, [1/m], - operator rotacji, [1/m]. Z równań Maxwella można wyprowadzić równanie falowe fali elektromagnetycznej. Podstawowe równania elektromagnetyzmu i optyki. Opisują własności pola elektrycznego i magnetycznego oraz zależności między tymi polami. W próżni (w powietrzu): E zmienne H H zmienne E

19 Równania Maxwella - natężenie pola elektrycznego, [ V / m ], - indukcja magnetyczna, [T = Vs /m 2 ], 0 - przenikalność elektryczna próżni, 0 - przenikalność magnetyczna, - operator dywergencji, [1/m], - operator rotacji, [1/m]. Podstawowe równania elektromagnetyzmu i optyki. Opisują własności pola elektrycznego i magnetycznego oraz zależności między tymi polami. W próżni (w powietrzu): H H H H EEE

20 Wyprowadzenie równania falowego z równań Maxwella Weźmy : Zmieńmy kolejność różniczkowania zgodnie z regułą RHS: Podstawiając za: mamy:, lub: i są stałe w czasie: 0 (RM)

21 Wyprowadzenie równania falowego z równań Maxwella Weźmy : Zmieńmy kolejność różniczkowania zgodnie z regułą RHS: Podstawiając za: mamy:, lub: i są stałe w czasie: 0 (RM)

22 Wyprowadzenie równania falowego z równań Maxwella Weźmy : Zmieńmy kolejność różniczkowania zgodnie z regułą RHS: Podstawiając za: mamy:, lub: i są stałe w czasie: 0 (RM)

23 Wyprowadzenie równania falowego z równań Maxwella Weźmy : Zmieńmy kolejność różniczkowania zgodnie z regułą RHS: Podstawiając za: mamy:, lub: i są stałe w czasie: 0 (RM)

24 Skorzystamy teraz z lematu ( do wykazania w domu ): Wyprowadzenie równania falowego z równań Maxwella Wówczas: Ponieważ nigdzie nie mamy żadnej gęstości ładunku (próżnia), = 0, otrzymaliśmy równanie falowe, o ile : 1/ v 2 = Fala elektromagnetyczna propaguje się w próżni z prędkością v = c : 0. (RM)

25 Skorzystamy teraz z lematu ( do wykazania w domu ): Wyprowadzenie równania falowego z równań Maxwella Wówczas: Ponieważ nigdzie nie mamy żadnej gęstości ładunku (próżnia), = 0, otrzymaliśmy równanie falowe, o ile : 1/ v 2 = Fala elektromagnetyczna propaguje się w próżni z prędkością v = c : 0. (RM) 0

26 Skorzystamy teraz z lematu ( do wykazania w domu ): Wyprowadzenie równania falowego z równań Maxwella Wówczas: Ponieważ nigdzie nie mamy żadnej gęstości ładunku (próżnia), = 0, otrzymaliśmy równanie falowe, o ile : 1/ v 2 = Fala elektromagnetyczna propaguje się w próżni z prędkością v = c : 0. (RM) 0

27 Skorzystamy teraz z lematu ( do wykazania w domu ): Wyprowadzenie równania falowego z równań Maxwella Wówczas: Ponieważ nigdzie nie mamy żadnej gęstości ładunku (próżnia), = 0, otrzymaliśmy równanie falowe, o ile : 1/ v 2 = Fala elektromagnetyczna propaguje się w próżni z prędkością v = c : 0. (RM) 0

28 Skorzystamy teraz z lematu ( do wykazania w domu ): Wyprowadzenie równania falowego z równań Maxwella Wówczas: Ponieważ nigdzie nie mamy żadnej gęstości ładunku (próżnia), = 0, 0. (RM) 0 otrzymaliśmy równanie falowe, o ile: : Fala elektromagnetyczna propaguje się w próżni z prędkością v = c :

29 Skąd wiadomo, że fala elektromagnetyczna w próżni jest falą poprzeczną? Niech fala rozchodzi się wzdłuż osi x. Pole fali jest wówczas funkcją x i t, tak więc wszystkie pochodne względem y i z są r ó wne zero: W ośrodku bez ładunków swobodnych: a więc : Tak więc mamy: Tak więc nie ma propagujących się fal podłużnych. i(RM) i

30 Tak więc mamy: Tak więc nie ma propagujących się fal podłużnych. i(RM) i Skąd wiadomo, że fala elektromagnetyczna w próżni jest falą poprzeczną? Niech fala rozchodzi się wzdłuż osi x. Pole fali jest wówczas funkcją x i t, tak więc wszystkie pochodne względem y i z są r ó wne zero: W ośrodku bez ładunków swobodnych: a więc :

31 Niech fala rozchodzi się wzdłuż osi x. Pole fali jest wówczas funkcja x i t, tak więc wszystkie pochodne względem y i z są r ó wne zero: W ośrodku bez ładunków swobodnych: a więc : Tak więc mamy: Tak więc w próżni 3D nie ma propagujących się fal podłużnych. i(RM) i Skąd wiadomo, że fala elektromagnetyczna w próżni jest falą poprzeczną?

32 Niech fala rozchodzi się wzdłuż osi x i jej pole elektryczne skierowane jest wzdłuż osi y [tak więc E x = E z = 0 i E y = E y (x,t) ]. Tak w ięc : Pole indukcji magnetycznej jest prostopadłe do pola elektrycznego. Wektory tworzą układ prawoskrętny. (RM) (istnieje tylko składowa z obu wektorów) Czyli pole magnetyczne wskazuje kierunek z. Jaki jest kierunek pola magnetycznego (indukcji magnetycznej)?

33 Niech fala rozchodzi się wzdłuż osi x i jej pole elektryczne skierowane jest wzdłuż osi y [tak więc E x = E z = 0 i E y = E y (x,t) ]. Tak w ięc : Pole indukcji magnetycznej jest prostopadłe do pola elektrycznego. Wektory tworzą układ prawoskrętny. (RM) (istnieje tylko składowa z obu wektorów) Czyli pole magnetyczne wskazuje kierunek z. Jaki jest kierunek pola magnetycznego (indukcji magnetycznej)?

34 Niech fala rozchodzi się wzdłuż osi x i jej pole elektryczne skierowane jest wzdłuż osi y [tak więc E x = E z = 0 i E y = E y (x,t) ]. Jaki jest kierunek pola magnetycznego (indukcji magnetycznej)? Jaki jest kierunek pola magnetycznego (indukcji magnetycznej)? Tak w ięc : Pole indukcji magnetycznej jest prostopadłe do pola elektrycznego. Wektory tworzą układ prawoskrętny. (RM) - istnieje tylko składowa z wektora Czyli pole magnetyczne wskazuje kierunek z. Jaki jest kierunek pola magnetycznego (indukcji magnetycznej)? oraz:

35 Niech fala rozchodzi się wzdłuż osi x i jej pole elektryczne skierowane jest wzdłuż osi y [tak więc E x = E z = 0 i E y = E y (x,t) ]. Jaki jest kierunek pola magnetycznego (indukcji magnetycznej)? Jaki jest kierunek pola magnetycznego (indukcji magnetycznej)? Tak w ięc : Pole indukcji magnetycznej jest prostopadłe do pola elektrycznego. Wektory tworzą układ prawoskrętny. (RM) - istnieje tylko składowa z wektora Czyli pole magnetyczne wskazuje kierunek z. Jaki jest kierunek pola magnetycznego (indukcji magnetycznej)? oraz:

36 Skąd wiadomo, że fala elektromagnetyczna w próżni jest falą poprzeczną? są rozwiązaniami równań Maxwella o ile: RELACJA DYSPERSJI Równania opisujące falę harmoniczną:

37 Skąd wiadomo, że fala elektromagnetyczna w próżni jest falą poprzeczną? są rozwiązaniami równań Maxwella o ile: RELACJA DYSPERSJI W ogólności: Równania Maxwella poddane transformacie Fouriera zgodnie z regułą: Równania opisujące falę harmoniczną:

38 Skąd wiadomo, że fala elektromagnetyczna w próżni jest falą poprzeczną? są rozwiązaniami równań Maxwella o ile: RELACJA DYSPERSJI Równania opisujące falę harmoniczną: Zdjęcie w czasie t:

39 Skąd wiadomo, że fala elektromagnetyczna w próżni jest falą poprzeczną? Równania opisujące falę harmoniczną: są rozwiązaniami równań Maxwella o ile: RELACJA DYSPERSJI Wektory tworzą układ prawoskrętny.

40 Niech fala rozchodzi się wzdłuż osi x i jej pole elektryczne skierowane jest wzdłuż osi y. Wielkość pola magnetycznego fali świetlnej Przyjmijmy B z (x,0) = 0 i Otrzymujemy: Ponieważ / k = c : Startujemy z: Całkujemy:

41 Niech fala rozchodzi się wzdłuż osi x i jej pole elektryczne skierowane jest wzdłuż osi y. Wielkość pola magnetycznego fali świetlnej Przyjmijmy B z (x,0) = 0 i Otrzymujemy: Ponieważ / k = c : Startujemy z: Całkujemy:

42 Niech fala rozchodzi się wzdłuż osi x i jej pole elektryczne skierowane jest wzdłuż osi y. Wielkość pola magnetycznego fali świetlnej Przyjmijmy B z (x,0) = 0 Całkowanie E y wzgledem x daje ik, a całkowanie względem t daje 1/(-i. i Otrzymujemy: Ponieważ / k = c : Startujemy z: Całkujemy:

43 Niech fala rozchodzi się wzdłuż osi x i jej pole elektryczne skierowane jest wzdłuż osi y. Wielkość pola magnetycznego fali świetlnej Przyjmijmy B z (x,0) = 0 i Ponieważ / k = c : Startujemy z: Całkujemy: Całkowanie E y wzgledem x daje ik, a całkowanie względem t daje 1/(-i. Otrzymujemy:

44 Siła działająca na ładunek w polu fali świetlnej Siła Lorentza działajaca na ładunek q : Por ó wnajmy obie siły; ich stosunek wynosi: Ponieważ B = E/c : Tak więc tak długo, jak prędkość ładunku jest dużo mniejsza niż prędkość światła, część magnetyczna siły Lorentza jest dużo mniejsza niż część elektryczna i można ją zaniedbać. gdzie jest prędkością ładunku

45 Siła działająca na ładunek w polu fali świetlnej Siła Lorentza działajaca na ładunek q : Por ó wnajmy obie siły : Ponieważ B = E/c : Tak więc tak długo, jak prędkość ładunku jest dużo mniejsza niż prędkość światła, część magnetyczna siły Lorentza jest dużo mniejsza niż część elektryczna i można ją zaniedbać. gdzie jest prędkością ładunku gdyż:

46 Siła działająca na ładunek w polu fali świetlnej Siła Lorentza działajaca na ładunek q : Por ó wnajmy obie siły: Ponieważ B = E/c : Tak więc tak długo, jak prędkość ładunku jest dużo mniejsza niż prędkość światła, część magnetyczna siły Lorentza jest dużo mniejsza niż część elektryczna i można ją zaniedbać. gdzie jest prędkością ładunku gdyż:

47 Siła działająca na ładunek w polu fali świetlnej Siła Lorentza działajaca na ładunek q : Por ó wnajmy obie siły; ich stosunek wynosi: Ponieważ B = E/c : Tak więc tak długo, jak prędkość ładunku jest dużo mniejsza niż prędkość światła, część magnetyczna siły Lorentza jest dużo mniejsza niż część elektryczna i można ją zaniedbać. gdzie jest prędkością ładunku

48 Gęstość energii fali świetlnej Gęstość energii pola elektrycznego: Gęstość energii pola magnetycznego: Dla fali: B = E/c, i, a więc: Mamy więc: Całkowita gęstość energii: Tak więc gęstość energii pola elektrycznego i magnetycznego fali świetlnej są równe. (Gęstość energii pola: energia pola w jednostce objętości) W poszukiwaniu wielkości, które dają się zmierzyć, czy też tych, na które reaguje nasze oko

49 Gęstość energii pola elektrycznego: Gęstość energii pola magnetycznego: Dla fali Dla fali: B = E/c, i, a więc: Mamy więc: Całkowita gęstość energii: Tak więc gęstość energii pola elektrycznego i magnetycznego fali świetlnej są równe. Gęstość energii fali świetlnej (Gęstość energii pola: energia pola w jednostce objętości)

50 Gęstość energii pola elektrycznego: Gęstość energii pola magnetycznego: Dla fali Dla fali: B = E/c, i, a więc: Mamy więc: Całkowita gęstość energii: Gęstość energii fali świetlnej (Gęstość energii pola: energia pola w jednostce objętości) Tak więc udział gęstości energii pola elektrycznego i magnetycznego fali EM w całkowitej gęstości energii pola EM jest taki sam.

51 Wektor Poyntinga: -strumień energii przenoszonej przez wiązkę światła (moc przepływająca przez jednostkę powierzchni) A c t U – gęstość energii pola [ ] Energia przepływająca przez powierzchnię A w czasie t : = U V = U A c t Energia przepływająca w jednostkowym czasie przez jednostkę powierzchni: = U V / ( A t ) = U c = c E 2 = c 2 E B gęstość strumienia energii = gęstość energii x prędkość jej transportu W poszukiwaniu wielkości, które dają się zmierzyć, czy też tych, na które reaguje nasze oko

52 Wektor Poyntinga: -strumień energii przenoszonej przez wiązkę światła (moc przepływająca przez jednostkę powierzchni) A c t U – gęstość energii pola [ ] Energia przepływająca przez powierzchnię A w czasie t : = U V = U A c t Energia przepływająca w jednostkowym czasie przez jednostkę powierzchni: = U V / ( A t ) = U c = c E 2 = c 2 E B gęstość strumienia energii = gęstość energii x prędkość jej transportu W poszukiwaniu wielkości, które dają się zmierzyć, czy też tych, na które reaguje nasze oko

53 Wektor Poyntinga: -strumień energii przenoszonej przez wiązkę światła (moc przepływająca przez jednostkę powierzchni) A c t U – gęstość energii pola [ ] Energia przepływająca przez powierzchnię A w czasie t : = U V = U A c t Energia przepływająca w jednostkowym czasie przez jednostkę powierzchni: = U V / ( A t ) = U c = c E 2 = c 2 E B gęstość strumienia energii = gęstość energii x prędkość jej transportu V W poszukiwaniu wielkości, które dają się zmierzyć, czy też tych, na które reaguje nasze oko

54 Wektor Poyntinga: -strumień energii przenoszonej przez wiązkę światła (moc przepływająca przez jednostkę powierzchni) A c t U – gęstość energii pola [ ] Energia przepływająca przez powierzchnię A w czasie t : = U V = U A c t Energia przepływająca w jednostkowym czasie przez jednostkę powierzchni: = U V / ( A t ) = U c = c E 2 = c 2 E B gęstość strumienia energii = gęstość energii x prędkość jej transportu V W poszukiwaniu wielkości, które dają się zmierzyć, czy też tych, na które reaguje nasze oko

55 Wektor Poyntinga: -strumień energii przenoszonej przez wiązkę światła (moc przepływająca przez jednostkę powierzchni) A c t U – gęstość energii pola [ ] Energia przepływająca przez powierzchnię A w czasie t : = U V = U A c t Energia przepływająca w jednostkowym czasie przez jednostkę powierzchni: = U V / ( A t ) = U c = c E 2 = c 2 E B gęstość strumienia energii = gęstość energii x prędkość jej transportu

56 Wektor Poyntinga: -strumień energii przenoszonej przez wiązkę światła (moc przepływająca przez jednostkę powierzchni) A c t U – gęstość energii pola [ ] Energia przepływająca przez powierzchnię A w czasie t : = U V = U A c t Energia przepływająca w jednostkowym czasie przez jednostkę powierzchni: = U V / ( A t ) = U c = c E 2 = c 2 E B gęstość strumienia energii = gęstość energii x prędkość jej transportu

57 Podstawiając: i do wyrażenia na wektor Poyntinga: Średnia z cos 2 jest równa 1/2: Wektor Poyntinga: wielkość szybkozmienna w czasie!

58 średni strumień energii Podstawiając: i do wyrażenia na wektor Poyntinga: Średnia z cos 2 jest równa 1/2: Irradi a ncja (lub nieprawidłowo, choć często używane: natężenie ) wiązki światła wielkość szybkozmienna w czasie!

59 Ponieważ pola elektryczne i magnetyczne fali są wzajemnie prostopadłe, oraz B 0 = E 0 / c, oraz, w kierunku propagacji irradiancja I (n atężenie ) fali wyraża się: gdzie: [W/m 2 ] czyli: I ~ Irradi a ncja (lub nieprawidłowo, choć często używane: natężenie ) wiązki światła

60 Ponieważ pola elektryczne i magnetyczne fali są wzajemnie prostopadłe, oraz B 0 = E 0 / c, oraz, w kierunku propagacji irradiancja I (n atężenie ) fali wyraża się: gdzie: Pamiętajmy: rozważania nasze są poprawne dla fali harmonicznej rozchodzącej się w próżni. Falę opisaliśmy: [W/m 2 ] czyli: I ~ Irradi a ncja (lub nieprawidłowo, choć często używane: natężenie ) wiązki światła

61 S (na pow. Ziemi) =1400 W/m 2 Irradi a ncja (lub nieprawidłowo, choć często używane: natężenie ) wiązki światła [W/m 2 ] ? laserem osiągalne S W/m 2 pola wewnątrz atomów E 10 9 V/m

62 S (na pow. Ziemi) =1400 W/m 2 Irradi a ncja (lub nieprawidłowo, choć często używane: natężenie ) wiązki światła [W/m 2 ] ? laserem osiągalne S W/m 2 pola wewnątrz atomów E 10 9 V/m

63 S (na pow. Ziemi) =1400 W/m 2 Irradi a ncja (lub nieprawidłowo, choć często używane: natężenie ) wiązki światła [W/m 2 ] laserem osiągalne S W/m 2 pola wewnątrz atomów E 10 9 V/m Giulio Parigi ( ) Galleria degli Uffizi (Florencja) Zwierciadło Archimedesa ?

64 Wcześni historycy greccy i rzymscy donoszą, że Archimedes wyposażył setki ludzi w metalowe zwierciadła by zogniskować światło słoneczne na rzymskich statkach wojennych w bitwie pod Syrakuzami ( BCE). Jest to historia apokryficzna Światło jako broń (?)

65 Podsumowanie: Wektory są wzajemnie prostopadłe. Wektory drgają w zgodnej fazie. Fala EM jest falą poprzeczną W próżni (w ośrodku izotropowym) fala elektromagnetyczna transportuje energię prostopadle do swojego czoła. Fala elektromagnetyczna w próżni (powietrzu) rozchodzi się z prędkością

66 Sumowanie pól: Sumowanie pól: elektromagnetyzm jest teorią liniową, zasada superpozycji obowiązuje. Jeśli E 1 (x,t) and E 2 (x,t) są rozwiązaniami równania falowego, wówczas E 1 (x,t) + E 2 (x,t) jest też jego rozwiązaniem. Oznacza to, że wiązki światła mogą przechodzić jedna przez drugą. Oznacza to również, że mogą one konstruktywnie lub destruktywnie interferować:

67 Irradiancja sumy dwóch fal: Jeśli obie są proporcjonalne do:, irradiancja wynosi: 0

68 Dla takich samych polaryzacji np. w kierunku x : Irradiancja sumy dwóch fal: Jeśli obie są proporcjonalne do:, irradiancja wynosi: Wyrażenie krzyżowe związane jest z interferencją! Tak więc: Wyraz krzyżowy ! Dla różnych polaryzacji: (np. w kierunku x i y ): natężenia dodają się 0

69 Irradiancja sumy dwóch fal: Jeśli obie są proporcjonalne do:, irradiancja wynosi: Wyrażenie krzyżowe związane jest z interferencją! Tak więc: Wyraz krzyżowy ! Dla takich samych polaryzacji np. w kierunku x : 0 Dla różnych polaryzacji: (np. w kierunku x i y ): natężenia dodają się 1 2 0

70 Irradiancja sumy dwóch fal: Jeśli obie są proporcjonalne do:, irradiancja wynosi: Wyrażenie krzyżowe związane jest z interferencją! Tak więc: Wyraz krzyżowy ! Dla takich samych polaryzacji np. w kierunku x : 0 Dla różnych polaryzacji: (np. w kierunku x i y ): natężenia dodają się

71 Zadanie: Zapisz pole E i B płaskiej fali monochromatycznej o częstotliwości, która porusza się: a) w kierunku ujemnym osi x i jest spolaryzowana * w kierunku osi z, b) porusza się w kierunku wyznaczonym przez początek układu współrzędnych i punkt (1,1,1) i jest spolaryzowana* równolegle do płaszczyzny xz. *) Fala elektromagnetyczna jest spolaryzowana w danym kierunku (lub w danej płaszczyźnie) gdy jej wektor elektryczny oscyluje zgodnie z tym kierunkiem (lub w tej płaszczyźnie).

72 Równania Maxwella Widzieliśmy, że w pustej przestrzeni równania Maxwella (równanie falowe) opisuje propagację światła. Ale skąd się pochodzi światło, co jest jego pierwotnym źródłem? Musi nim być materia. H H H H EEE

73 - natężenie pola elektrycznego, [ V / m ], - indukcja magnetyczna, [T = Vs /m 2 ], - indukcja elektryczna, [ C / m 2 ] - natężenie pola magnetycznego, [ A / m ] r - przenikalność elektryczna ośrodka, r - przenikalność magnetyczna ośrodka, - gęstość prądu swobodnego, [A/m 2 ], - gęstość ładunku swobodnego, [ C / m 3 ] - operator dywergencji, [1/m], - operator rotacji, [1/m]. Równania Maxwella Podstawowe równania elektromagnetyzmu i optyki. Opisują własności pola elektrycznego i magnetycznego oraz zależności między tymi polami. W ośrodkach liniowych: sformułowanie makroskopowe (wzgledna)

74 Równania Maxwella Podstawowe równania elektromagnetyzmu i optyki. Opisują własności pola elektrycznego i magnetycznego oraz zależności między tymi polami. W ośrodkach liniowych: - natężenie pola elektrycznego, [ V / m ], - indukcja magnetyczna, [ T = Vs /m 2 ], - indukcja elektryczna, [ C / m 2 ] - natężenie pola magnetycznego, [ A / m ] r - przenikalność elektryczna ośrodka (względna), r - przenikalność magnetyczna ośrodka (względna), - gęstość prądu, [A/m 2 ], - gęstość ładunku, [ C / m 3 ] - operator dywergencji, [1/m], - operator rotacji, [1/m].

75 Równania Maxwella Podstawowe równania elektromagnetyzmu i optyki. Opisują własności pola elektrycznego i magnetycznego oraz zależności między tymi polami. W ośrodkach liniowych: - natężenie pola elektrycznego, [ V / m ], - indukcja magnetyczna, [ T = Vs /m 2 ], - indukcja elektryczna, [ C / m 2 ] - natężenie pola magnetycznego, [ A / m ] r - funkcja dielektryczna r = r ( ), r - przenikalność magnetyczna ośrodka, - gęstość prądu swobodnego, [A/m 2 ], - gęstość ładunku swobodnego, [ C / m 3 ] - operator dywergencji, [1/m], - operator rotacji, [1/m].

76 Źródła światła przyspieszane ładunki niezwiazane Liniowo przyspieszane ładunki Promeniowanie synchrotronowe - promieniowanie emitowane przez naładowane cząstki przyspieszane po krzywoliniowych torach np.. w polu magnetycznym Promieniowanie hamowania (niem. Bremsstrahlung) - promieniowanie powstające podczas hamowania cząstki obdarzonej ładunkiem elektrycznym (np. w trakcie hamowania w zderzeniu z inną czastką naładowaną).

77 Ośrodek spolaryzowany (obojętny elektrycznie jako całość): Gdy drgania ładunków (elektronów) są skorelowane, ośrodek jest spolaryzowany. Polaryzacja ośrodka może się zmieniać harmonicznie w czasie. Źródła światła: polaryzacja

78 Ośrodek spolaryzowany: Gdy drgania ładunków (elektronów) są skorelowane, ośrodek jest spolaryzowany. Polaryzacja ośrodka może się zmieniać harmonicznie w czasie. Indukowana polaryzacja ośrodka jest zawarta w równaniach Maxwella (przyjęto, że r =1):

79 Indukowana polaryzacja ośrodka i jest zawarta w równaniach Maxwella (przyjęto, że r =1): Równania Maxwella w ośrodku materialnym Zauważmy, że indukowana polaryzacja, a więc wychylenie ładunku, jest dwukrotnie różniczkowane. jest przyspieszeniem ładunku! Tak więc to przyspieszane ładunki (elektrony) ośrodka są źródłami światła. Ten dodatkowy czynnik dodaje się do równania falowego, które zwane jest jako niejednorodne równanie falowe: Polaryzacja jest członem źródłowym i mówi nam o tym, jakie światło zostanie wyemitowane.

80 Indukowana polaryzacja ośrodka i jest zawarta w równaniach Maxwella (przyjęto, że r =1): Równania Maxwella w ośrodku materialnym Zauważmy, że indukowana Polaryzacja, a więc wychylenie ładunku, jest dwukrotnie różniczkowane. jest przyspieszeniem ładunku! Tak więc to przyspieszane ładunki zwiazane (elektrony) ośrodka są źródłami światła. Ten dodatkowy czynnik dodaje się do równania falowego, które zwane jest jako niejednorodne równanie falowe: Polaryzacja jest członem źródłowym i mówi nam o tym, jakie światło zostanie wyemitowane.

81 Rzędy wielkości częstości oscylacji atomowych i cząsteczkowych: Oscylacje elektronów wynikające z ich ruchu wokół jader atomowych: Duża częstość: ~ cykli na sekundę. Oscylacje jąder cząsteczek względem siebie: Pośrednie częstości: ~ cykli na sekundę. Rotacja jąder cząsteczek: Niskie częstości: ~ cykli na sekundę. Energiom związanym z oscylacjami przypisać można poziomy energetyczne

82 Oscylacje atomowe i cząsteczkowe obrazu klasycznego odpowiadają przejściom między poziomami energetycznymi w opisie kwantowym. Energia Stan podstawowy Stan wzbudzony E = h Atom oscylujący między stanem wzbudzonym i podstawowym. Atom oscylujący z czestością.

83 Wzbudzone atomy spontanicznie emitują fotony. Kiedy atom wraca do stanu o niższym poziomie energii, emituje foton. Cząsteczki na ogół pozostają dłużej wzbudzone ( ~ kilka nsek). Emisja fotonu: fluorescencja lub, dla dłuższych czasów życia: fosforescencja. Energia Stan podstawowy Stan wzbudzony

84 Cząsteczki posiadają znacznie bardziej zróżnicowane poziomy energetyczne niż atomy. Przykład poziomów energetycznych cząsteczki: Podstawowy stan elektronowy 1szy wzbudzony stan elektronowy 2gi wzbudzony stan elektronowy Energia Wzbudzony poziom rotacyjno-oscyalcyjny Dodatkowo widmo komplikuje się wskutek sprzężenia spin-orbita, obecności spinu jądrowego etc. Tak więc cząsteczki mają zwykle dość złożone widma. E = E el + E vib + E rot Przejście między stanami elektronowymi

85 Dziękuję za uwagę

86 Lemma: Proof: Look first at the LHS of the above formula: Taking the 2 nd yields: x-component: y-component: z-component:

87 Lemma (contd): Proof (contd): Now, look at the RHS:

88 Jeśli E 1 (x,t) and E 2 (x,t) są rozwiązaniami równania falowego, wówczas E 1 (x,t) + E 2 (x,t) jest też jego rozwiązaniem Oznacza to, że wiązki światła mogą przechodzić jedna przez drugą. Oznacza to również, że mogą one konstruktywnie lub destruktywnie interferować: Sumowanie pól: elektromagnetyzm jest teorią liniową, zasada superpozycji obowiązuje.

89 1. Proof that f (x ± vt) solves the wave equation (z wykładu 02 Fale) Write f (x ± vt) as f (u), where u = x ± vt. So and Now, use the chain rule: So and Substituting into the wave equation:


Pobierz ppt "Poprzedni wykład: Fale Fale podłużne a fale poprzeczne Równanie falowe, fala harmoniczna Prędkość fazowa i grupowa Jak pokonać prędkość światła Opis fal."

Podobne prezentacje


Reklamy Google