Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Indeks terminów i nazw dotychczas omówionych: doświadczenie Michelsona- Morleya, doświadczenie Younga, prawo Snella, zasada Huygensa, korpuskularno-falowa.

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "Indeks terminów i nazw dotychczas omówionych: doświadczenie Michelsona- Morleya, doświadczenie Younga, prawo Snella, zasada Huygensa, korpuskularno-falowa."— Zapis prezentacji:

1 Indeks terminów i nazw dotychczas omówionych: doświadczenie Michelsona- Morleya, doświadczenie Younga, prawo Snella, zasada Huygensa, korpuskularno-falowa teoria światła

2 Fale Wykład 2. Fale podłużne a fale poprzeczne Równanie falowe, fala harmoniczna Prędkość fazowa i grupowa Jak pokonać prędkość światła Opis fal przy pomocy liczb zespolonych Fala płaska Równania Maxwella Fale elektromagnetyczne Fotony Spin Ciśnienie światła; wiatr słoneczny Chłodzenie atomówZadania

3 Fale podłużne a fale poprzeczne zaburzenie, które się rozprzestrzenia się w czasie i przestrzeni. Poprzeczna podłużna drgania odbywają się w kierunku równoległym do kierunku jej rozchodzenia (np. fala dźwiękowa, fale gęstości, fale trzęsień Ziemi, fale p) kierunek drgań jest prostopadły do kierunku rozchodzenia się fali (np. fala elektromagnetyczna) poprzeczne poprzeczne : podłużne podłużne :

4 Równanie falowe Jednowymiarowe skalarne równanie falowe funkcji f : Fale elektromagnetyczne (w tym pole elektryczne E fali świetlnej) są rozwiązaniem równania falowego z v = c. Skalarne równanie różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu, opisujące propagację różnorodnych fal (elektromagnetycznych, dźwiękowych, fal powierzchniowych).

5 gdzie f (u) może być dowolną funkcąj podwójnie różniczkowalną. Jednowymiarowe skalarne równanie falowe posiada proste rozwiazanie: Równanie falowe

6 Fale: parametryzacja = 0 = 3/2 Najbardziej elementarna funkcja jednowymiarowa spełniająca równanie falowe: E(x,t) = E 0 cos[(k x – t ) – ] A - amplituda - faza początkowa (faza absolutna) A Oscylacje w czasie i przestrzeni

7 Długość fali E(x,t) = A cos[(k x – t ) – ] długość fali wektor falowy: k = 2 / wektor falowy: k = 2 / liczba falowa: / liczba falowa: 1/ częstość kołowa: =2 / częstość kołowa: =2 / częstość: / częstość: =1/ okres fali Amplituda w pewnym momencie czasu ulega skróceniu w ośrodku o wyższym n Zmiana w ośrodku niejednorodnym z tłumieniem Fala harmoniczna:

8 Fala harmoniczna długość fali wektor falowy: k = 2 / wektor falowy: k = 2 / liczba falowa: / liczba falowa: 1/ częstość kołowa: =2 / częstość kołowa: =2 / częstość: / częstość: =1/ okres fali wielkości przestrzenne: wielkości czasowe: E(x,t) = A cos[(k x – t ) – ]

9 prędkość z jaką rozchodzą się miejsca fali o tej samej fazie: v p = / T lub: v p = / k dyspersyjnych Na przykład: W ośrodkach dyspersyjnych fale o różnych różnych częstotliwościach rozchodzą się z różnymi: = (k). Przemieszczanie się paczki falowej złożonych z fal o różnych opisuje dodatkowa wielkość: prędkość grupowa -nie wystarczy, by opisać fale bardziej złożone! długość fali Prędkość fazowa fali harmonicznej

10 wielkość opisująca rozchodzenie się fal nieharmonicznych. Np. E(t) = A cos( ), = k x – t – gdzie faza fali: = (x,y,z,t) (w przeciwieństwie do fazy początkowej ), zmienia się się w czasie i przestrzeni. Zmiany fazy w czasie: = – / t Zmiany fazy w przestrzeni: k = / x W języku fazy prędkość grupowa: Prędkość rozchodzenia się modulacji, czyli prędkość grupowa, odpowiada prędkości przenoszenia informacji i energii przez falę. Prędkość o której mowa w prawie załamania światła to też prędkość grupowa. T aka definicja jest przydatna dla naprawdę skomplikowanych fal. Prędkość grupowa

11 Obwiednia rozchodzi się z prędkością grupową. Fala nośna rozchodzi się z prędkością fazową. Dla fali harmonicznej o zmieniającej się (modulowanej) amplitudzie prędkość grupowa jest prędkością obwiedni fali nośnej. Prędkość grupowa v g vpvp v g d /dk

12 Częstość Częstość fali harmonicznej jest taka sama w ośrodku, jak i poza nim, ale: k = k 0 n = k 0 jest wektorem falowym w próżni, n( ) jest parametrem (współczynnik załamania) zależnym od ośrodka. Tak więc wygodnie jest pomyśleć o jako o zmiennej niezależnej: Mamy więc: k = n( ) / c 0, pochodna k : dk /d = ( n + dn/d ) / c 0 v g c 0 n dn/d ) = (c 0 /n) / (1 + /n dn/d ) v = / k = c 0 /n, Ostatecznie: Prędkość grupowa fal w ośrodkach z dyspersją: n( ) v g = c 0 / (n + dn/d ) - prędkość światła w próżni zmniejszona przez wsp. załamania

13 v g d /dk Częstość fali harmonicznej jest taka sama w rozważanym ośrodku, jak i poza nim, ale k = k 0 n, gdzie k 0 jest wektorem falowym w próżni i n jest parametrem (współczynnik załamania) zależnym od ośrodka. Tak więc wygodnie jest pomyśleć o jako o zmiennej niezależnej: Ponieważ: k = n( ) / c 0, pochodna k : dk /d = ( n + dn/d ) / c 0 v g c 0 n dn/d ) = (c 0 /n) / (1 + /n dn/d ) v = / k = c 0 /n, Ostatecznie: v g = c 0 / (n + dn/d ) Tak więc prędkość grupowa równa jest prędkości fazowej, gdy dn/d = 0, (brak dyspersji, tak jak np. w próżni). Prędkość grupowa a dyspersja ośrodka: n( ) v g = v

14 Każda ze składowych harmonicznych rozchodzi się ze zwykłą prędkością fazową (falową): v p = / k, natomiast paczka fal jako całość przesuwa się z prędkością v g v p. Falę taką opisać możemy jako falę harmoniczną o zmieniającej się (modulowanej) amplitudzie; prędkość rozchodzenia się grzbietów modulacji to prędkość grupowa: v g = d /dk. fale harmoniczne o różnych częstościach rozchodzą się z różnymi prędkościami. Fala będąca paczką fal zawierajacych częstości z pewnego przedziału będzie więc zmieniać swój kształt. W ośrodku dyspersyjnym: Prędkość rozchodzenia się modulacji, czyli prędkość grupowa, odpowiada prędkości przenoszenia informacji i energii przez falę. Prędkość o której mowa w prawie załamania światła to też prędkość grupowa.

15 Dyspersja prędkości grupowej a impulsy światła Impuls światła jest szeroki spektralnie (zawiera wiele częstości). Prędkość grupowa będzie różna dla różnych długości światła. Ponieważ ultrakrótkie impulsy laserowe zawierają szeroki zakres długości fal, dyspersja prędkości grupowej stanowi poważne wyzwanie, które nie istnieje w przypadku pracy z laserem o pracy ciągłej (CW). v gr (żółta) < v gr (czerwona) czasowy początek impulsu czasowy koniec impulsu

16 Dyspersja prędkości grupowej jest szkodliwa w układach telekomunikacyjnych: Ciąg impulsów wchodzących Ciąg impulsów wychodzących Wiele kilometrów światłowodu Dyspersja sprawia, że impulsy rozciągają się w czasie. Dyspersja narzuca długości fal, dla których transmisja systemów telekomunikacyjnych jest możliwa oraz stawia wysokie wymagania na parametry światłowodów (kompensacja dyspersji).

17 Czy można: zatrzymać światło? przyspieszyć światło?!? Prędkość grupowa (v g ) a prędkość fazowa (v p )

18 A co się dzieje w obszarze anomalnej dyspersji ? v g = c 0 / (n + dn/d ) dn/d jest ujemn. Tak więc v g może przewyższy c 0 dla tych częstości! Dyspersja normalna Dyspersja normalna Dyspersja normalna Obszary dyspersji anomalnej Współczynnik załamania n Ale w rejonach tych absorpcja jest duża, a dn/d w wąskich przedziałach częstości (schodek), tak wiec osiągniecie v g > c 0 nie jest trywialne (np. w doświadczeniach z impulsami, które zawierają szerokie spektrum częstości) Prędkość grupowa a dyspersja ośrodka Prędkość grupowa może przekroczyć c w ośrodku w obszarze anomalnej dyspersji v g < c 0

19 Czy można pokonać prędkość światła? Aby prędkość grupowa mogła być większa, niż prędkość c 0, musimy dysponować ośrodkiem o ujemnej dyspersji dn/d w dostatecznie dużym obszarze częstości. Nachylenie zależności nie powinno by zbyt strome, a absorpcja powinna być jak najmniejsza. Trick: przygotować ośrodek przez uprzednie rezonansowe wzbudzenie impulsem światła laserowego. Impuls świetlny napompuje układ stwarzając warunki dla wzmocnienia światła w miejsce absorpcji; odwrócenie krzywej). Między dwoma rezonansami powstanie obszar o minimalnej absorpcji i prawie liniowym, ujemnym nachyleniu: 2 Obszar przydatny Nachylenie zbyt małe Nachylenie zbyt duże Współczynnik załamania Współczynnik absorpcji

20 Pole elektryczne fali świetlnej o częstości można opisać: E(x,t) = A cos(kx – t – ) Ponieważ exp(i ) = cos( ) + i sin( ) (formuła Eulera ) : E(x,t) = Re { A exp[i(kx – t – )] } lub E(x,t) = 1/2 A exp[i(kx – t – )] + c.c. gdzie " + c.c. " oznacza "plus oznacza sprzężenie zespolone wszystkiego, co jest przed plusem. Możemy wygodnie różniczkować exp(ikx): Opis fal przy pomocy liczb zespolonych

21 Przypomnienie: liczby zespolone Każdą liczbę zespoloną z, można zapisać: z = Re{ z } + i Im{ z } Tak więc: Re{ z } = 1/2 ( z + z* ) i Im{ z } = 1/2i ( z – z* ) gdzie z* jest liczbą sprzężoną liczby z ( i –i ) Wielkość | z | ( moduł ), liczby zespolonej: | z | 2 = z z* = Re{ z } 2 + Im{ z } 2 Liczbę z zapisać można w postaci polarnej: A exp(i ). A 2 = Re{ z } 2 + Im{ z } 2 tan( ) = Im{ z } / Re{ z } z

22 Fale zapisane przy pomocy zespolonych amplitud W opisie fal wygodnie jest dopuścić zespolone amplitudy: Szybko-zmienne części zostały odseparowane od części stałych w czasie. W wyniku otrzymujemy zespolone amplitudy": Tak więc: Jak odróżnić, E 0 jest rzeczywiste, czy zespolone? Nie wszyscy używają znaczka "~", by oznaczyć zespoloność amplitudy. Lepiej jest zawsze założyć, że jest zespolona. Pole tak zapisane jest całkowicie zespolone! uwaga na

23 Liczby zespolone w optyce ułatwiają życie Nie jest to takie oczywiste w zapisie z użyciem funkcji trygonometrycznych, a jest natychmiastowe z użyciem eksponensów: gdzie wszystkie fazy początkowe zostały włączone w E 1, E 2, i E 3. Dodawanie fal o tych samych częstościach i różnych fazach początkowych daje falę o tej samej częstości.

24 Fala płaska: Płaszczyzny frontów falowych są odległe o długość fali. Są one prostopadłe do kierunku propagacji. Płaszczyzny frontów falowych fal elektromagnetycznych wędrują w próżni z prędkością światła. Jest to fala o stałej częstotliwości, której powierzchnie falowe (powierzchne jednakowej fazy) tworzą równoległe do siebie płaszczyzny. Wypełniają one całą przestrzeń. Na oznaczenie fali płaskiej zazwyczaj rysujemy linie.

25 Wiązka laserowa a fala płaska Płaszczyzniane fronty falowe fali płaskiej wypełniają całą przestrzeń. Fala płaska niesie więc nieskończoną energię. Fala taka nie istnieje realnie! Wiązka lasera jest przestrzennie zlokalizowana. Można ją przybliżyć jako falę harmoniczną względem czasu z rozkładem Gaussa w płaszczyźnie frontu falowego. Plamka wiązki laserowej na ścianie w x y Zlokalizowane fronty falowe z

26 Równania Maxwella - natężenie pola elektrycznego, [ V / m ], - indukcja magnetyczna, [T = Vs /m 2 ], 0 - przenikalność elektryczna, 0 - przenikalność magnetyczna, - operator dywergencji, [1/m], - operator rotacji, [1/m]. Z równań Maxwella można wyprowadzić równanie falowe fali elektromagnetycznej. Podstawowe równania elektromagnetyzmu i optyki. Opisują własności pola elektrycznego i magnetycznego oraz zależności między tymi polami. W próżni (w powietrzu):

27 Równania Maxwella - natężenie pola elektrycznego, [ V / m ], - indukcja magnetyczna, [ T = Vs /m 2 ], - indukcja elektryczna, [ C / m 2 ] - natężenie pola magnetycznego, [ A / m ] r - przenikalność elektryczna ośrodka, r - przenikalność magnetyczna ośrodka, - gęstość prądu swobodnego, [A/m 2 ], - gęstość ładunku swobodnego, [ C / m 3 ] - operator dywergencji, [1/m], - operator rotacji, [1/m]. Podstawowe równania elektromagnetyzmu i optyki. Opisują własności pola elektrycznego i magnetycznego oraz zależności między tymi polami. W ośrodkach liniowych: sformułowanie makroskopowe

28 Fala elektromagnetyczna w próżni (powietrzu) Kierunek pola elektrycznego, magnetycznego i wektora falowego są wzajemnie prostopadłe: Pola elektryczne i magnetyczne oscylują w tej samej fazie. Migawka w czasie t:

29 Foton posiada energię: i pęd: Wielkość pędu wynosi:, gdzie: h hjest stałą Plancka, k k=2 /, ) k jest wektorem falowym (o liczbie falowej k=2 /, ),. jest częstością kołową. k Wektor k wskazuje kierunek propagacji. Fotony

30 Fotony Foton posiada energię: i pęd: Wielkość pędu wynosi:, gdzie: h hjest stałą Plancka, k k=2 /, ) k jest wektorem falowym (o liczbie falowej k=2 /, ),. jest częstością kołową. k Wektor k wskazuje kierunek propagacji. c E p W pustej przestrzeni foton porusza się z prędkością światła c i jego energia E i pęd p powiązane są relacją: E=cp E=cp. Dla porównania, odpowiadający temu związek energii i pędu dla cząstki posiadającej masę byłby: E 2 = (cp) 2 +(mc 2 ) 2 (szczególna teoria względności).

31 Foton niesie również moment pędu (spin), który nie zależy od częstości. Długość momentu pędu wynosi, tak więc jego składowe mierzone wzdłuż kierunku ruchu (jego skrętności) wynoszą odpowiednio. Wartości te odpowiadają dwóm możliwym stanom polaryzacji kołowej (lewo- i prawo-skrętnej). Polaryzacja liniowa to superpozycja tych polaryzacji. Foton posiada więc spin całkowity (jest bozonem), podlega więc statystyce Bosego–Einsteina. Dowolna liczba bozonów może dzielić ten sam stan kwantowy. Fotony

32 Doświadczenia ze zliczaniem fotonów informują nas o charakterze źródła światła. Przypadkowe (niespójne) źródła światła takie jak gwiazdy (Słońce) i żarówki, emitują fotony przypadkowo rozłożone w czasie i statystyce Bosego- Einsteina. Laserowe (spójne) źródła światła, posiadają bardziej jednorodne (choć nadal przypadkowe) rozkłady czasowe o poissonowskim rozkładzie prawdopodobieństwa. Bose- Einstein Poisson

33 Pęd fotonów w oddziaływaniu z atomami Jeśli atom emituje foton, podlega odrzutowi w przeciwnym kierunku, zgodnie z zasada zachowania pędu. Jeśli atomy zostaną wzbudzone, a następnie emitują światło, wiązka atomowa stanie się bardziej rozbieżna, niż wiązka atomów przed wzbudzeniem światłem.

34 Fotony – ciśnienie światła Fotony nie mają masy, ale po zaabsorbowaniu przez przekazują swój pęd. Promieniowanie słoneczne trafiające na Ziemię ma gęstość energii strumienia pola równą 1370 W/m 2, więc ciśnienie promieniowania (gdyby zostało całkowicie pochłonięte) wynosi: Żagle słoneczne, zaproponowane jako metoda napędu misji kosmicznych używałyby ciśnienia promieniowania Słońca jako siłę napędową. Ciśnienie promieniowania jest niezaniedbywalne: Odchylanie warkoczy komet (pozostałe siły są mniejsze) Statek kosmiczny Viking (minąłby Marsa o 15,000 km) Wnętrza gwiazd P= S/c P (1400 W/m 2 )/(3x10 8 m/s) 5x10 -6 Pa << P atm = 10 5 Pa

35 S.Chu, C.Cohen-Tannoudji, W.Phillips CHŁODZENIE ATOMÓW FOTONAMI: wiązka lasera wiązka atomów p = ħ k abs - ħ k em = N ħ k L – 0 p = ħ k abs - ħ k em = N ħ k L – I = 6 mW/cm 2 czas zatrzymania: 1 ms droga hamowania:0,5 m przyspieszenie: 10 6 m/s 2 po zabsorb. 1 fotonu: v R = ħk/M = 3 cm/s 1 atom Podstawy chłodzenia i pułapkowania atomów światłem laserowym – Nobel 1997 Spowalnianie atomów światłem lasera Spowalnianie atomów światłem lasera

36 Pułapki magneto-optyczne umożliwiają ochłodzenie chmury (gazu) neutralnych atomów do temperatur rzędu 100µK Chmura zimnych atomów Rb w centrum pułapki PUŁAPKA MOT IF PAN IF PAN (M. Głóź) IF UW (W. Gawlik) Laboratorium FAMO (Toruń)

37 "What is known of [photons] comes from observing the results of their being created or annihilated." Eugene Hecht Można powiedzieć, że zdanie to jest słuszne nie tylko dla fotonów, ale dla wszystkiego, co jesteśmy w stanie zaobserwować. Nasz ogląd świata jest wynikiem kreowania i anihilowania fotonów, czyli sposobu, w jaki światło oddziałuje z materią. Photons

38 1.Wykaż, że gdy funkcja f (x) spełnia równanie falowe, funkcja f (x ± vt) również spełnia równanie falowe. 2.Sprawdź poprawność związków między prędkością fazową i prędkością grupową: Przedyskutuj ten związek dla ośrodków posiadających dyspersję czasową (w ośrodkach takich częstość zależy od długości fali ). Zadania:

39 Indeks haseł dotychczas omówionych: doświadczenie Michelsona- Morleya, doświadczenie Younga, prawo Snella, zasada Huygensa Chłodzenie atomów światłem laserowym Ciśnienie światła Dyspersja (czasowa) Dyspersja prędkości grupowej Fala elektromagnetyczna Fale podłużne Fale poprzeczne Prędkość fazowa Prędkość grupowa Równania Maxwella w próżni Równania Maxwella w ośrodkach materialnych Równanie falowe skalarne Spin fotonu Światło jako fala elektromagnetyczna Światło jako strumień fotonów


Pobierz ppt "Indeks terminów i nazw dotychczas omówionych: doświadczenie Michelsona- Morleya, doświadczenie Younga, prawo Snella, zasada Huygensa, korpuskularno-falowa."

Podobne prezentacje


Reklamy Google