Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Nocoń Dominik. Liczba π (czytaj: liczba pi), ludolfina – stała matematyczna, która pojawia się w wielu dziedzinach matematyki i fizyki. W geometrii euklidesowej.

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "Nocoń Dominik. Liczba π (czytaj: liczba pi), ludolfina – stała matematyczna, która pojawia się w wielu dziedzinach matematyki i fizyki. W geometrii euklidesowej."— Zapis prezentacji:

1 Nocoń Dominik

2 Liczba π (czytaj: liczba pi), ludolfina – stała matematyczna, która pojawia się w wielu dziedzinach matematyki i fizyki. W geometrii euklidesowej π jest równe stosunkowi długości obwodu koła do długości jego średnicy. Można też zdefiniować π na inne sposoby, na przykład jako pole koła o promieniu równym 1 albo jako najmniejszą dodatnią wartość x, dla której funkcja sinus przyjmuje wartość 0. Liczba π z dokładnością do 200 miejsc po przecinku: π = 3,

3 Symbol π wprowadził w 1706 roku William Jones w książce Synopsis Palmariorum Mathesos (π jest pierwszą literą greckiego słowa περίμετρον – perimetron, czyli obwód) a rozpowszechnił go później Leonhard Euler. Liczba π jest znana także jako stała Archimedesa lub ludolfina – tak została nazwana na cześć Ludolpha van Ceulena (obaj obliczyli przybliżone wartości π przy czym van Ceulen podał wartość liczby π z dokładnością do 35 miejsc po przecinku). Jeśli średnica koła = 1, jego obwód wynosi π.

4 Dowód niewymierności π Ivana Nivena[1]] Dowód przez sprowadzenie do sprzeczności. Zakładamy, że dla pewnych dodatnich liczb naturalnych p i q. Niech dla liczby naturalnej n dane będą wielomiany oraz Ponieważ wielomian n!f(x) ma współczynniki całkowite oraz stopień równy n, wszystkie pochodne f(i) mają w x = 0 wartości całkowite. Także dla x = π wartości te są całkowite, gdyż f(x) = f(p/q – x). Zachodzi ponadto związek

5 Ponadto, Ponieważ liczby f(i)(0) i f(i)(π) są całkowite, całkowita jest więc wartość F(π) + F(0). Z drugiej strony, dla 0 < x < π zachodzi oszacowanie Z dowolności n i powyższego oszacowania, całka jest dowolnie mała, co prowadzi do sprzeczności.

6 Przybliżanie liczby π w starożytności Metoda aproksymacji liczby π zaproponowana przez Archimedesa Z liczbą π, jakkolwiek pojawia się ona w wielu wzorach z różnych dziedzin (włączając w to nawet fizykę kwantową), ludzie zetknęli się już w starożytności, zauważając, że stosunek obwodu koła do jego średnicy jest wartością stałą. Babilończycy przyjmowali, że jest on równy w przybliżeniu 3. Pierwsze źródła świadczące o świadomym korzystaniu z własności liczby π pochodzą ze starożytnego Babilonu. Na jednej z kamiennych tablic, datowanej na lata p.n.e. pojawia się opis wartości obwodu koła o średnicy 1, przybliżony przez wartość 3,125. Na pochodzącym sprzed 1650 r. p.n.e. egipskim papirusie Rhinda, autorstwa skryby (według niektórych źródeł tylko kopisty oryginału) króla Ahmesa zatytułowanym Wprowadzenie do wiedzy o wszystkich istniejących rzeczach można znaleźć rozwiązania zadań matematycznych zawierające m.in. odniesienia do wartości liczby π, przybliżanej wartością

7 W 1400 roku hinduski matematyk Madhava jako pierwszy w historii do obliczenia wartości π użył ciągów nieskończonych. W istocie odkrył on wzór, do którego Leibniz i Gregory (autorstwo przypisuje się obu) doszli w Natomiast pierwszym z Europejczyków, który użył metody aproksymacji π przy pomocy ciągów nieskończonych był John Wallis, który w 1656 roku w dziele Arithmetica infinitorum podał bardzo zgrabny – aczkolwiek niezbyt użyteczny – wzór na π. Od tego czasu do obliczania wartości π zaczęto używać ciągów nieskończonych – zazwyczaj przy pomocy rozwinięcia funkcji arcus sinus lub arcus tangens w szereg potęgowy. Mimo to w 1596 roku Ludolph van Ceulen podał przybliżenie π z dokładnością do 35. miejsca po przecinku, używając do tego metody Archimedesa. Obliczenia prowadził przez całe życie. Ludolph van Ceulen stosując metodę Archimedesa oblicza wartość π z dokładnością do 20 miejsc po przecinku, publikując wynik w dziele Van den Circkel (1596). Według biografów Ceulen większość swojego życia poświęcił próbom coraz lepszego przybliżenia π, zwanej niekiedy od jego imienia Ludolfiną, pod koniec życia podając π z dokładnością do 35 miejsc po przecinku (użył do tego wieloboku o bokach!) – wartość ta została wyryta na jego płycie nagrobkowej. Przybliżanie liczby π w średniowieczu

8 Z biegiem lat uzyskiwano coraz lepsze przybliżenia wartości π sięgające kilkuset miejsc po przecinku. W 1853 William Rutherford podał liczbę Pi z dokładnością 440 miejsc po przecinku. Rekordzistą w ręcznych obliczeniach liczby Pi jest William Shanks, któremu w 1874 udało się uzyskać 707 miejsc po przecinku. Zajęło mu to 15 lat. Później okazało się, że 180 ostatnich cyfr obliczył błędnie (wynik, który uznano za prawidłowy uwzględnia 527 miejsc po przecinku)[2]. W 1946 roku Ferguson podał wartość π do 620. miejsca po przecinku. W końcowych obliczeniach wspomagał się już kalkulatorem. Od 1949, kiedy to przy pomocy komputera ENIAC obliczono 2037 miejsc po przecinku, dokładniejsze aproksymacje liczby π uzyskiwano już tylko przy użyciu komputerów. We wrześniu 1999 roku obliczono π z dokładnością 2,0615·1011 miejsc po przecinku. Dokonał tego Takahasi przy pomocy komputera Hitachi SR8000. Przybliżanie liczby π w nowożytności

9 W przedmiotach związanych z matematyką często występuje TT m.in.; Geografia; Analiza matematyczna; Fizyka.

10 Fizyka: (zasada nieoznaczoności Heisenberga) równanie pola grawitacyjnego ogólnej teorii względności

11

12

13 Dziękuję za obejrzenie prezentacji o

14 pl.wikipedia.org/wiki/Pi


Pobierz ppt "Nocoń Dominik. Liczba π (czytaj: liczba pi), ludolfina – stała matematyczna, która pojawia się w wielu dziedzinach matematyki i fizyki. W geometrii euklidesowej."

Podobne prezentacje


Reklamy Google