Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

1 Gry grafowe. Autor: Michał Salewski. 2 Wstęp. Gry kombinatoryczne. Gry kombinatoryczne są to gry spełniające następujące warunki:  Uczestniczy w nich.

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "1 Gry grafowe. Autor: Michał Salewski. 2 Wstęp. Gry kombinatoryczne. Gry kombinatoryczne są to gry spełniające następujące warunki:  Uczestniczy w nich."— Zapis prezentacji:

1 1 Gry grafowe. Autor: Michał Salewski

2 2 Wstęp. Gry kombinatoryczne. Gry kombinatoryczne są to gry spełniające następujące warunki:  Uczestniczy w nich dwóch graczy  Gracze wykonują ruchy naprzemiennie.  Wygrywa gracz który wykona ostatni ruch (normalne warunki gry).  Każda gra kończy się po skończonej liczbie ruchów (warunek kończący).  Przypadek nie ogrywa roli, tzn. nie są dozwolone ruchy losowe jak: rzut kostką, rozdawanie kart itd.

3 3 Wstęp. Gry kombinatoryczne. c.d.  Gry kombinatoryczne są grami o doskonałej informacji.  Zasady gry określają dozwolone ruchy dla obu graczy. W naszych dalszych rozważaniach skupimy się na grach kombinatorycznych neutralnych (obiektywnych), czyli takich które nie rozróżniają graczy w swoich zasadach (obaj gracze mają te same możliwości wykonania ruchu z każdej pozycji).

4 4 Gry grafowe. Wprowadzenie. Gry grafowe jest to sposób opisywania gier kombinatorycznych, poprzez sprowadzenie ich do gier rozgrywanych na grafach skierowanych. Dokonuje się tego poprzez utożsamienie pozycji w grze z wierzchołkami grafu oraz utożsamienie ruchów w grze z krawędziami w grafie.

5 5 Gry grafowe. Definicja grafu skierowanego. Grafem skierowanym G nazywamy uporządkowaną parę, gdzie jest niepustym zbiorem wierzchołków (pozycji), a jest funkcją która każdemu wierzchołkowi przyporządkowuje podzbiór, n. Dla ustalonego, reprezentuje pozycje do których gracz może wykonać ruch z wierzchołka (pozycje te nazywa się potomkami wierzchołka ). Jeżeli jest zbiorem pustym, to n nazywamy pozycją końcową (lub wierzchołkiem końcowym).

6 6 Gry grafowe. Zasady gier grafowych. Dwu osobową grę kończącą się zwycięstwem jednego z graczy, możemy rozegrać na grafie G według następujących zasad: 1.) Gracz 1 wykonuje pierwszy ruch, następnie v uczestnicy gry na przemian wykonują ruchy. 2.) Na pozycji, gracz może wykonać ruch na jedną z pozycji. 3.) Gracz który podczas swojej kolejki ma wykonać ruch z pozycji końcowej, przegrywa.

7 7 Gry grafowe. Dodatkowe założenie. Ponieważ przy tych zasadach gra może trwać w nieskończoność, w analizach początkowo ograniczymy się do grafów progresywnie ograniczonych. Graf progresywnie ograniczony to taki graf, w którym każda ścieżka (mająca początek w dowolnym wierzchołku v ), ma długość mniejszą bądź równą od pewnej ustalonej liczby. W tego typu grafach nie ma cykli.

8 8 Gry grafowe. Przykład 1. Jako przykład posłuży nam gra w zbieranie. Mamy stos 10 żetonów i każdy z graczy może zabrać 1,2 lub 3 żetony. Gracz, który zabierze ostatni żeton wygrywa. W tym przypadku zbiór wierzchołków ma postać X={0,1,..,10}. Zauważmy, że:

9 9 Gry grafowe. Przykład 1. W rezultacie nasza gra ma reprezentacje grafową

10 10 Funkcja Sprague-Grundy'ego. Definicja. Gry grafowe mogą być analizowane za pomocą funkcji Sprague- Grundy'ego. dd Definicja Funkcją Sprague-Grundy'ego z grafu, nazywamy funkcje zdefiniowaną wzorem: Zatem wartość funkcji w punkcie to najmniejsza nieujemna liczba całkowita, która nie występuje wśród wartości S-G potomków wierzchołka.

11 11 Funkcja Sprague-Grundy'ego. Definicja c.d Alternatywnie definicje funkcji Sprague-Grundy'ego możemy zapisać za pomocą operacji matematycznej mex (minimal excludant) : gdzie mex, ze zbioru nie ujemnych liczb całkowitych, definiujemy jako najmniejszą nieujemną liczbę całkowitą niewystępującą w tym zbiorze.

12 12 Funkcja Sprague-Grundy'ego. Znajdowanie wartości S-G. Zauważmy, że funkcja S-G jest zdefiniowana rekursywnie, zatem znajdowanie jej wartości dla grafu skierowanego zaczynamy od wierzchołków (pozycji) końcowych. Dla pozycji końcowej x,wartość funkcji S-G wynosi 0 z definicji. Dla wierzchołków, dla których wszyscy potomkowie są wierzchołkami końcowymi funkcja S-G przymuje wartość 1. Następnie możemy znajdować wartości funkcji S-G po kolei dla wierzchołków, których wszyscy potomkowie mają już wyznaczone wartości funkcji S-G.

13 13 Funkcja Sprague-Grundy'ego. Przykład

14 14 Funkcja Sprague-Grundy'ego. Znaczenie wartości S-G. Wartości funkcji Sprague-Grundy'ego dla grafu reprezentującego pewną grę kombinatoryczną, pozwalają nam w łatwy sposób znaleźć N-pozycje i P-pozycje w tej grze. Mianowicie: - pozycje x, dla których g(x)=0 są P-pozycjami - wszystkie pozostałe pozycje są N-pozycjami Zatem strategią wygrywającą jest poruszanie się w każdym ruchu do wierzchołka o wartości Sprague-Grundy'ego równej 0.

15 15 Funkcja Sprague-Grundy'ego. Przykład 3. Powróćmy do gry z przykładu 1 (Zbieranie żetonów), której reprezentacja grafowa była następująca: Wartości funkcji S-G dla tej gry przedstawia tabelka: x g(x)

16 16 Funkcja Sprague-Grundy'ego. Bardziej ogólne grafy. Dopuszczając grafy w których występują cykle, może się okazać że :  Funkcja S-G nie istnieje.  Nawet jeśli funkcja S-G istnieje, nie można znaleźć jej za pomocą prostych metod omówionych wcześniej.  Dojdzie do sytuacji w której znając funkcje S-G dla danego grafu, okaże się że nie jesteśmy w stanie w prosty sposób wskazać strategii wygrywającej.

17 17 Funkcja Sprague-Grundy'ego. Przykład 4 Gra reprezentowana przez poniższy graf nie spełnia warunku kończącego, tzn może trwać w nieskończoność. Graf ten też nie posiada funkcji S-G.

18 18 Sumy gier Kombinatorycznych. Mając kilka gier kombinatorycznych możemy stworzyć nową grę, która będzie sumą gier kombinatorycznych. Rozgrywka w takiej grze opiera się na zasadach: 1. gracze grają naprzemiennie 2. ruch gracza polega na wybraniu 1 gry i wykonaniu w niej legalnego ruchu 3. gra jest kontynuowana dopóki w każdej grze nie zostanie osiągnięta pozycja końcowa

19 19 Sumy gier Kombinatorycznych. c.d 4. gracz wykonujący ostatni ruch wygrywa W celu analizy gier będących sumami gier kombinatorycznych wprowadza się pojęcie sumy gier grafowych oraz Twierdzenie Sprague-Grundy'ego.

20 20 Sumy gier grafowych. Suma gier grafowych, to gra rozgrywana na sumie grafów. Definicja: Sumą n grafów : nazywamy graf gdzie: zaś zbiór potomków wierzchołka definiujemy za pomocą wzoru:

21 21 Sumy gier grafowych c.d sume n grafów oznaczamy symbolem:

22 22 Twierdzenie Sprague-Grundy'ego. Twierdzenie: Niech będzie funkcją Sprague-Grundy'ego grafu, wówczas graf ma funkcje Sprague- Grundy'ego zdefiniowaną wzorem:

23 23 Twierdzenie Sprague-Grundy'ego Dowód (zarys). Niech będzie dowolnym punktem z X, zaś Dowód tego twierdzenia przeprowadza sie w 2 krokach. dla fukcji Sprague-Grundy'ego. W 1 kroku wykazujemy, że dla każdej nieujemnej liczby całkowitej a

24 24 Twierdzenie Sprague-Grundy'ego. Wniosek z twierdzenia: Każda (progresywnie ograniczona) neutralna gra jest odpowiednikiem gry Nim o jednym stosie.

25 25 Twierdzenie Sprague-Grundy'ego. Przykład 5. Rozważmy gre będącą sumą 3 gier w zabieranie. 1. Z 1 stosu liczącego 9 żetonów, każdy gracz może zabrać od 1 do 3 żetonów. 2. Z 2 stosu liczącego 10 żetonów, każdy gracz może zabrać od 1 do 5 żetonów. 3. Z 3 stosu liczącego 14 żetonów, każdy gracz może zabrać od 1 do 7 żetonów.

26 26 Twierdzenie Sprague-Grundy'ego. Przykład 5 c.d Nasza pozycja wyjściowa to (9,10,14). Jakie są optymalne ruchy (tzn prowadzące do P- pozycji)? Z stosu 3 zdejmujemy 1 żeton Z stosu 1 zdejmujemy 3 żetony.

27 27 Biliografia Thomas S.Ferguson „Game Theory” Brit C. A. Milvang-Jensen „Combinatorial Games,Theory and Applications”


Pobierz ppt "1 Gry grafowe. Autor: Michał Salewski. 2 Wstęp. Gry kombinatoryczne. Gry kombinatoryczne są to gry spełniające następujące warunki:  Uczestniczy w nich."

Podobne prezentacje


Reklamy Google