Krzywe poziomu i powierzchnie poziomu

Prezentacja na temat: "Krzywe poziomu i powierzchnie poziomu"— Zapis prezentacji:

1 Krzywe poziomu i powierzchnie poziomu
Krzywe poziomu na płaszczyźnie Komenda ContourPlot Powierzchnie poziomu w przestrzeni Komenda ContourPlot3D Więcej przykładów Porównywanie Plot3D z ContourPlot Krzywe 2-wymiarowe, zdefiniowane równaniem Forma kwadratowa (kwadryka) powierzchni w przestrzeni

2 Krzywe poziomu na płaszczyźnie
Komenda ContourPlot W Mathematice krzywe poziomu (kontury) funkcji f(x, y) są rysowane komendą ContourPlot. Żeby zobaczyć krzywe poziomu wewnątrz prostokąta x0 ≤ x ≤ x1, y0 ≤ y ≤ y1, używamy polecenia ze składnią: ContourPlot[funkcja,{x,x0,x1},{y,y0,y1}] Np. są to niektóre krzywe poziomu dla f(x,y)=xye-x2-y2 blisko początku układu współrzędnych: ContourPlot[x*y*Exp[-x^2-y^2], {x,-2,2},{y,-2,2}]

3 Krzywe poziomu na płaszczyźnie
Mathematica cieniuje przestrzenie pomiędzy krzywymi poziomu. Jaśniejsze odcienie reprezentują wyższe poziomy, podczas gdy ciemniejsze odcienie reprezentują poziomy niższe. Opcje dla ContourPlot: ContourShading->False - wyświetla krzywe poziomu bez cieniowania pomiędzy nimi. Contours->n - rysuje n krzywych poziomu

4 Krzywe poziomu na płaszczyźnie
Contours->{poziomy} - wyświetla kontury tylko przy wymienionych poziomach. Poziomy oddzielamy przecinkami. PlotPoints->n - powiększenie rezolucji obrazu. Przyjemniejszy niż poprzednio obraz: ContourPlot[x*y*Exp[-x^2-y^2], {x,-2,2},{y,-2,2},PlotPoints->100, Contours->20]

5 Krzywe poziomu na płaszczyźnie
UWAGA: Brak wartości dla PlotPoints oznacza 25. Bądźmy ostrożni – większe wartości mogą uderzyć znacząco w czas wykonania. Przykład Zobaczmy kontury dla f(x,y) = xye-x2-y2 na poziomach 0, 0.1 i 0.15 bez żadnego cieniowania: ContourPlot[x*y*Exp[-x^2-y^2],{x,-2,2}, {y,-2,2}, Contours->{0,0.1,0.15}, PlotPoints->100, ContourShading->False]

6 Powierzchnie poziomu w przestrzeni
Komenda ContourPlot3D Jeśli f(x,y,z) jest funkcją trzech zmiennych, zdefiniowaną na obszarze x0 ≤ x ≤ x1, y0 ≤ y ≤ y1 i z0 ≤ z ≤ z1, wówczas powierzchnie poziomu f na poziomie c można wyświetlić poleceniem ContourPlot3D. Jest ono zdefiniowane w pakiecie Graphics: Needs[”Graphics`”] ContourPlot3D[funkcja,{x,x0,x1}, {y,y0,y1},{z,z0,z1},Contours->{c}]

7 Powierzchnie poziomu w przestrzeni
Można określić więcej niż jedną powierzchnię poziomu, która zostanie pokazana w tej samej grafice, przez napisanie Contours->{poziomy}, gdzie poziomy oddzielamy przecinkami. Przykład Możemy zobaczyć powierzchnię poziomu dla f(x,y,z) = x3 - y2 + z2 na poziomie 1 i następnie 10. Zauważmy, że te powierzchnie mają wówczas równania: x3–y2+z2 = 1 i x3-y2+z2 = 10, indywidualnie. Needs[”Graphics`”] ContourPlot3D[x^3-y^2+z^2,{x,-2,5}, {y,-2,2},{z,-2,3},Contours->{1,10}]

8 Więcej przykładów Porównywanie Plot3D z ContourPlot Przykład
Rozpatrzmy f(x,y) = x2 - y2. Następujące komendy pokażą kontury na poziomach 0, 1 i -1: ContourPlot[x^2-y^2,{x,-2,2}, {y,-2,2}, Contours->{0,1,-1}] Przypomnijmy, że kontur f przy poziomie c dostajemy przez przyrównanie f(x,y)=c. Stąd: Kontur przy poziomie 0 ma równanie x2 - y2 = 0, na które składają się dwie proste: y=x i y=-x.

9 Więcej przykładów Kontur przy poziomie 1 ma równanie x2 - y2 = 1 i jest to hiperbola otwarta z lewej na prawo. Kontur przy poziomie -1 ma równanie x2 - y2 = -1 i jest to także hiperbola otwarta z góry na dół. Możemy zobaczyć jak te trzy kontury powstają przez przecięcie wykresu f(x,y) = x2 - y2 z płaszczyznami z=0, z=1 i z=-1. pict1=Plot3D[x^2-y^2,{x,-2,2},{y,-2,2}] pict2=Plot3D[0,{x,-2,2},{y,-2,2},PlotPoints->2] pict3=Plot3D[1,{x,-2,2},{y,-2,2},PlotPoints->2] pict4=Plot3D[-1,{x,-2,2},{y,-2,2},PlotPoints->2] Show[pict1, pict2, pict3, pict4, BoxRatios->{1,1,1}, ViewPoint->{1,3,0.7}]

10 Więcej przykładów Krzywe 2-wymiarowe, zdefiniowane równaniem Przykład Równanie 2x2 -3xy +5y2 -6x +7y = 8 określa obróconą elipsę na płaszczyźnie. Moglibyśmy oczywiście użyć komendy 2-D ImplicitPlot do narysowania tego. Lecz ta krzywa jest także krzywą poziomu funkcji f(x,y) = 2x2 -3xy +5y2 -6x +7y przy poziomie 8. Możemy zobaczyć to następująco: ContourPlot[2x^2-3x*y+5y^2-6x+7y, {x,-2,5},{y,-3,2}, Contours->{8}, ContourShading->False,PlotPoints->50]

11 Więcej przykładów Forma kwadratowa powierzchni w przestrzeni Formy kwadratowe powierzchni są tymi powierzchniami w przestrzeni, które mogą być dane za pomocą równania postaci: Ax2+By2+Cz2+Dxy+Eyz+Fxz+Gx+Hy+Iz+J=0, gdzie A, B, …, J są stałymi. Za pomocą komendy ContourPlot3D możemy swobodnie zobaczyć obrazy różnych form kwadratowych powierzchni.

12 Więcej przykładów Przykład 1 Równanie 3x2 + 4y2 + 5z2 = 9 określa elipsoidę. To jest właśnie powierzchnia poziomu funkcji f(x,y,z) = 3x2 + 4y2 + 5z2 przy poziomie 9. Needs[”Graphics`”] ContourPlot3D[3x^2+4y^2+5z^2, {x,-2,2},{y,-2,2},{z,-2,2}, Contours->{9},ViewPoint->{2,1,1}]

13 Więcej przykładów Przykład 2 Równanie x2/22 + y2/32 – z2/42 = 1 określa hiperboloidę jednego arkusza: Needs[”Graphics`”] ContourPlot3D[x^2/2^2+y^2/3^2-z^2/4^2, {x,-10,10},{y,-10,10},{z,-10,10}, Contours->{1}, ViewPoint->{2,1,1}]