Tajemniczy ciąg Fibonacciego

Prezentacja na temat: "Tajemniczy ciąg Fibonacciego"— Zapis prezentacji:

1 Tajemniczy ciąg Fibonacciego
Przygotowała: Justyna Wolska

2 włoski matematyk pochodzący z Pizy,
   Leonardo Fibonacci włoski matematyk pochodzący z Pizy, żył w latach

3 Bez większej przesady można powiedzieć, że europejska matematyka po wielu wiekach uśpienia zaczęła się odradzać na przełomie XII i XIII wieku dzięki i za sprawą Fibonacciego nazwanego też Leonardo z Pizzy.

4 Wprowadził do Europy cyfry arabskie.
Matematyk epoki średniowiecza. Wprowadził do Europy cyfry arabskie. Zwolennik i propagator dziesiątkowego systemu liczbowego. Uważał 0 za pierwszą liczbę naturalną. Zajmował się rozkładem liczby na czynniki pierwsze. Pracował nad cechami podzielności. Nauczał działań na liczbach mieszanych i na ułamkach. Dodawał i odejmował ułamki o różnych mianownikach sprowadzając je do wspólnego mianownika – znajdując najmniejsza wspólną wielokrotność mianowników.

5 to ciąg liczb naturalnych określony w następujący sposób:
Ciąg Fibonacciego to ciąg liczb naturalnych określony w następujący sposób: Pierwsza liczba: 1 Druga liczba : 1 Trzecia liczba : 2 Czwarta liczba : 3 Każda następna liczba jest sumą dwóch liczb poprzednich. 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987, …

6 Ciąg Fibonacciego ma zastosowanie w geometrii – pokrycie płaszczyzny kwadratami będącymi n-tym wyrazem ciagu.

7 Ciąg Fibonaciego należy do ulubionych ciągów spotykanych w  przyrodzie – można go odnaleźć w wielu jej aspektach – zarówno w kształtach fizycznych struktur, jak i w przebiegu zmian w strukturach dynamicznych.

8  W XIII w. Leonardo Bonacci, postawił w jednym ze swych dzieł następujący problem:
Ile par królików może spłodzić jedna para królików w ciągu roku, jeżeli staje się płodna po miesiącu, a w ciągu miesiąca może spłodzić jedną parę?.

9 Policzmy. W pierwszym miesiącu jest jedna para królików, w następnym dalej jedna, gdyż jeszcze się nie rozmnożyła W trzecim miesiącu są już dwie stara i młoda. W czwartym trzy, gdyż stara para rozmnoży się ponownie. W piątym miesiącu mamy pięć par, gdyż rozmnożyły się już dwie pary. Ogólnie każda kolejna liczba jest sumą dwóch poprzednich, jako że pierwsza z nich reprezentuje potomstwo płodnych par, a druga liczbę par dorosłych królików, która pozostaje bez zmian.

10 Jak więc wygląda jego drzewo genealogiczne?
Okazuje się, że ta błaha z pozoru zależność często odzwierciedlana jest w przyrodzie. Przyjrzyjmy się trutniom. Samiec pszczoły przeciwieństwie do samicy (królowej, która ma zarówno ojca, jak matkę – inną królową) powstaje wyłącznie dzięki matce. Jak więc wygląda jego drzewo genealogiczne? samiec ---- samica                samica         samiec ---- samica              I                                  I                         I          samica                         samiec    samica              I                                               I          samiec    samica                                     I                                samica                                     I                                samiec

11 Również wśród roślin występuje ta zależność.
Przykładem może być wszędobylski krwawnik, którego pędy rozwijają się zgodnie z naszym ciągiem.

12 Jeszcze jedną ciekawostką dotyczącą ciągu Leonarda z Pizy jest spirala Fibonacciego.
Najlepszym jej przykładem w przyrodzie są muszle. Gdyby spojrzeć na muszlę łodzika (morskiego mięczaka) w przekroju: widać, że ułożona jest spiralnie i zbudowana z szeregu komór, z których każda następna jest większa od poprzedniej dokładnie o tyle, ile wynosi wielkość tej poprzedniej. Wynika to z faktu, że im są większe, tym szybciej rosną.

13 Własności ciągu Fibonacciego
Jeśli od kwadratu którejkolwiek liczby z ciągu Fibonacciego odejmiemy iloczyn liczb sąsiednich, to zawsze otrzymamy 1 lub -1. Sprawdź:

14 KONIEC