Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Cwiczenia 6 Estymacja przedziałowa i korzystanie z tablic rozkładów statystycznych.

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "Cwiczenia 6 Estymacja przedziałowa i korzystanie z tablic rozkładów statystycznych."— Zapis prezentacji:

1 Cwiczenia 6 Estymacja przedziałowa i korzystanie z tablic rozkładów statystycznych

2 Przykład. Przykład. Badania naukowe dowodzą, że rozkład wzrostu ludzi jest rozkładem normalnym o odchyleniu standardowym 20 cm. Badania poborowych z pewnej miejscowości (1000 osób) przyniosły wartość średniej wzrostu w tej grupie wynoszącą 176 cm. Zakładając, że obserwowany rozkład odzwierciedla własności rozkładu normalnego w całej populacji, oblicz 90 i 99 procentowy przedział ufności dla oszacowanej średniej. Wskazówka: Szukamy przedziału ufności 90 %i 99% dla średniej, w sytuacji gdy wiadomo: -Rozkład normalny -Znana jest wartość odchylenia standardowego w badanej populacji - Średnia została określona z próby statystycznej Zastosuj wzór na przedział ufności dla wartości średniej w sytuacji gdy znane jest odchylenie standardowe rozkładu normalnego u wyznacza się z P{ |U| u }= P{ –u

3 Dystrybuanta standardowego rozkładu normalnego (u)= P{ U u }, dla u<0 obliczaj używając (u) =1 - (-u) P 0.95 u= P u=

4 u –u P{|U| u }= 1– P{U>u }= /2 P{U<–u }= /2 U = (X-m)/. P{U>u }= /2 można obliczyć z dystrybuanty: (u ) = 1– /2

5 Rozwiązanie: Nie jest znana wartość średnia rozkładu, z którego pobrano próbkę (poborowi), lecz tylko odchylenie standardowe. Korzystamy zatem ze wzoru: Wyrażenie: Interesuje nas 90% przedział ufności, czyli 0.9=1-, skąd =0.1 i /2=0.05 Z tablic dystrybuanty rozkładu normalnego mamy dla (u ) = 1– /2= =0.95 odczytujemy u 0.1 = skąd

6 Przykład. Przykład. W przedsiębiorstwie wylosowano 16 osób w celu ustalenia średniej płacy na stanowisku robotniczym (dla stażu pracy 3 lata), a uzyskane wyniki badania statystycznego przedstawia tabela. Ile wynosi 95% przedział ufności średniej płacy na stanowisku robotniczym ze stażem 3-letnim w całym przedsiębiorstwie, jeśli wiadomo, że rozkład płacy jest rozkładem normalnym. Wskazówka: Szukamy przedziału ufności 95% dla średniej, w sytuacji gdy wiadomo: -Rozkład normalny -Nie znane są a priori wartości ani odchylenia standardowego ani średniej w badanej populacji - Dysponujemy danymi z pobranej próby do określenia estymat parametrów rozkładu Zastosuj wzór na przedział ufności dla wartości średniej w sytuacji gdy nie znane sa parametry rozkładu, a tylko ich estymaty.

7 Obliczona estymata średniej = 2056 Wyznaczamy również nieobciążona estymatę wariancji która wynosi s 2 = , stąd s=368.2 Nieznane są oba parametry rozkładu w populacji generalnej, tedy stosujemy przedział: gdzie t,n-1 wyznacza z tablic wartości krytycznych rozkładu t-Studenta dla n-1 stopni swobody. Rozwiązanie: Na początek wyznaczamy średnią z próby (tabela poniżej)

8 t(,k) /2 –t(,k) Interpretacja graficzna k=n-1 –st. sw. Liczbę t,n-1 odczytujemy z tabeli, dla k = n-1=16–1=15, oraz dla =1-0.95=0.05 (dla 95 % przedziału ufności) Obliczamy: =1860 ; = % przedział ufności średniej populacji wynosi [1860 ; 2252]

9 Wartości krytyczne t(,k) rozkładu Studenta dla określonej liczby stopni swobody k i prawdopodobieństwa =P{|t| t(,k)} t (,k) /2 –t (,k)

10 Przykład. Przykład. Wykonano pomiar czasu konwertorownia kamienia miedziowego w 144 szarżach. Otrzymano średni czas 4, zaś odchylenie standardowe próby wyniosło s=1.2. Określ 95% i 90% przedział ufności dla średniego czasu konwertorownia.

11 Rozwiazanie. Ponieważ nie ma podstaw do założenia o normalności rozkładu, żaden parametr populacji generalnej nie jest znany, lecz tylko ich estymatory, stosujemy przedział ufności postaci (liczba eksperymentów w próbie badanej duża = 144 ) Z tablic dystrybuanty rozkładu normalnego mamy (u ) = 1– 0.05/2=0.975 u 0.05 = *1.2/12

12 Przykład. Przykład. Dla 10 pomiarów wyznaczono wariancję z próby s 2 =0.053 Oszacuj 98% przedział ufności. Przedział ufności: 2 ( /2,k) 1- 2 (1- /2,k) /2 Obliczamy /2 = (1-0.98)/2 = 0.01 oraz 1- /2=1-0.01=0.99 k=n-1=10-1=9 stopni swobody. Interpretacja geometryczna doboru wartości krytycznych w rozkładzie chi-kwadrat Obliczenia tablicowe

13 Dla /2 = kryt = Dla 1- /2= kryt = (0.022 ; 0.228) ((10-1)*0.053/ ; (10-1)*0.053/2.088) = (0.022 ; 0.228) Przedział ufności wariancji mamy zatem Odczytujemy z tablic dla 9 stopni swobody

14 Przykład. W Krakowie wylosowano 400 osób-palaczy aby w drodze wywiadu ustalić ich wydatki na zakup papierosów. Analiza próbki statystycznej dostarczyła estymator odchylenia standardowego w wysokości 500 zł/rok. Zakładając że rozkład wydatków wśród wszystkich palaczy jest rozkładem normalnym, zbudować 95% przedział ufności błędu standardowego w populacji palaczy.

15 Rozwiązanie. 1- =0.95 = /2=0.975 Z tabeli dystrybuanty rozkładu normalnego mamy u /2 =1.96 Stąd po obliczeniach mamy: 500/(1+1.96/(2*400) 1/2 )= /(1-1.96/(2*400) 1/2 )= Przedział 95% ufności dla błędu standardowego (467.6 ; 537.2).


Pobierz ppt "Cwiczenia 6 Estymacja przedziałowa i korzystanie z tablic rozkładów statystycznych."

Podobne prezentacje


Reklamy Google