Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

2011-06-06Reinhard Kulessa1 Wykład 13 8.8 Gaz elektronowy 8.9 Gaz fotonowy - promieniowanie termiczne 9. Mieszaniny gazowe 9.1 Prawo Daltona-Gibbsa 9.2.

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "2011-06-06Reinhard Kulessa1 Wykład 13 8.8 Gaz elektronowy 8.9 Gaz fotonowy - promieniowanie termiczne 9. Mieszaniny gazowe 9.1 Prawo Daltona-Gibbsa 9.2."— Zapis prezentacji:

1 2011-06-06Reinhard Kulessa1 Wykład 13 8.8 Gaz elektronowy 8.9 Gaz fotonowy - promieniowanie termiczne 9. Mieszaniny gazowe 9.1 Prawo Daltona-Gibbsa 9.2 Własności energetyczne mieszanin 10. Termodynamika reakcji chemicznych oraz ich równowaga 10.1 Równowaga chemiczna dla gazów idealnych 10.2 Potencjał chemiczny i równowaga faz

2 2011-06-06Reinhard Kulessa2 8.8 Gaz elektronowy Do tej pory omawialiśmy własności głównie gazów a pomijaliśmy ciało stałe. Zarówno swobodne elektrony i tzw. gaz elektronowy, czyli elektrony związane w sieci krystalicznej dają swój przyczynek do całkowitej energii ciała stałego, czyli również do C V. Okazuje się jednak, że teoria ciepła właściwego ciał stałych - teoria Debeya nie rozważa w ogóle elektronów, a dobrze oddaje własności doświadczalne. Elektrony więc nie wnoszą nic do ciepła właściwego ciał stałych. Elektrony w metalu nie są w pełni swobodne. Są one związane z atomami. Energia dostępna dla elektronów jest regulowana przez wszystkie atomy ciała. Podstawową regułą rządzącą obsadzaniem stanów energetycznych przez elektrony jest zakaz Pauliego.

3 2011-06-06Reinhard Kulessa3 Elektrony są fermionami, stosuje się więc do nich statystyka Fermiego-Diraca. Ze względu na to, że rzut spinu elektronu może przyjąć wartości ±1/2, może ich być na każdym stanie energetycznym najwyżej dwa. Ponieważ zasada nieoznaczoności jest nadal ważna, możemy wyliczyć degenerację jako: Ponieważ układ fermionów jakimi są elektrony stanowi wielki układ kanoniczny, a to oznacza, że stan kwantowy stanowi jeden z podukładów. Możemy więc rozkład Fermiego-Diraca napisać jako: (8.45)

4 2011-06-06Reinhard Kulessa4 Wiedząc, że liczba elektronów w każdym stanie kwantowym może być tylko 1 otrzymujemy: Równanie to przedstawia rozkład Fermiego. Załóżmy, że dla elektronów w ciele stałym jest dostępna duża liczba poziomów energetycznych, tak, że widmo energetyczne jest prawie ciągłe, wtedy możemy napisać (8.46) (8.47)

5 2011-06-06Reinhard Kulessa5 Jak wygląda rozkład Fermiego?. Całkując po objętości mamy: (8.48) (8.49)

6 2011-06-06Reinhard Kulessa6 Dla T=0 wszystkie poziomy do i = 0 są obsadzone. Poziom o energii 0 = F nazywamy poziomem Fermiego. Poniżej i powyżej poziomu Fermiego, stany też są obsadzane, lecz nie w stu procentach. Funkcja po prawej stronie równania (8.47) nazywa się funkcją Fermiego. Jak policzyć energię poziomu Fermiego? Zakładamy, że energia elektronów jest dana przez energię kinetyczną. (8.50) Dla temperatury T=0 F jest maksymalną energią obsadzaną przez elektrony, odpowiada jej więc maksymalny pęd.

7 2011-06-06Reinhard Kulessa7 (8.51) Liczba elektronów na jednostkę objętości przestrzeni pędowej jest dana przez równanie (8.49). Dla T=0, Gęstość ta jest stała w rozważanym przedziale przestrzeni pędowej. Aby otrzymać całkowitą liczbę elektronów mnożymy ich gęstość przez objętość przestrzeni pędowej aż do p max.... Otrzymujemy więc:

8 2011-06-06Reinhard Kulessa8 (8.52) Dla temperatur powyżej 0 K (8.53) Jeśli założymy, że wszystkie kierunki elektronów są równouprawnione, to gęstość liczbowa elektronów jest jednorodna w cienkiej powłoce sferycznej przestrzeni prędkości 4 v 2 dv. Z równania (8.49) mamy:

9 2011-06-06Reinhard Kulessa9 (8.54) Na rozkład prędkości elektronów otrzymujemy więc wyrażenie; a na rozkład energii, (8.56) Rozkład prędkości i rozkład energii gazu elektronowego wyglądają następująco: (8.55)

10 2011-06-06Reinhard Kulessa10 0 0 dN v /dv dN /d Dla T = 0 (8.57) Średnia energia elektronów dla T=0 jest równa;.

11 2011-06-06Reinhard Kulessa11 (8.58) Dla temperatur wyższych od zera. (8.59). Używając dla tego przypadku wyrażenia (8.53) mamy; (8.60) gdzie 0 = F. Energia wewnętrzna jest równa ;

12 2011-06-06Reinhard Kulessa12 (8.61). Na molowe ciepło właściwe otrzymuje się wartość; (8.62). Dla jednoatomowego gazu idealnego mamy;. Podobnie zachowują się układy zbudowane z fermionów takie jak np. biały karzeł, gwiazda neutronowa, czy jądro atomowe.

13 2011-06-06Reinhard Kulessa13 8.9 Gaz fotonowy - promieniowanie termiczne Rozważmy promieniowanie elektromagnetyczne, które znajduje się w izolowanym zbiorniku w równowadze termicznej (U=const). Ścianki zbiornika mają temperaturę T, a objętość zbiornika jest równa V. Układ taki można nazwać gazem fotonowym, jeśli składa się on z kwantów o energiach i pędach (8.63) Fotony okupują różne stany kwantowe, ich liczba jednak nie jest stała. Ponieważ fotony są nierozróżnialne i nie ma ograniczenia na liczbę dostępnych stanów kwantowych, można do nich zastosować model Bosego-Einsteina. Pamiętamy, że liczba stanów w tym modelu była dana przez równanie (5.13);

14 2011-06-06Reinhard Kulessa14. Formułując warunek na maksimum, otrzymujemy; (8.64). Pamiętajmy, że N const. czyli liczba fotonów ciągle może się zmieniać.Jeśli ściany mają temperaturę T i zawiera się w nich objętość V, to liczbę dozwolonych stanów kwantowych na poziomie i możemy policzyć dzieląc element objętości przestrzeni fazowej mającej tą energię przez h 3 najmniejszą rozróżnialną objętość przestrzeni fazowej.

15 2011-06-06Reinhard Kulessa15 Zgodnie z relacją nieoznaczoności, możemy tylko powiedzieć, że foton znajduje się w objętości V, lecz nie możemy podać jego współrzędnych kartezjańskich. Zgodnie z relacjami (8.63), element przestrzeni fazowej będzie miał objętość Liczba stanów kwantowych w objętości V będzie równa : (8.65). Fotony mogą mieć dwa stany polaryzacji kołowej, trzeba więc tą liczbę pomnożyć przez dwa. Z równań (8.64) i (8.85) otrzymujemy:

16 2011-06-06Reinhard Kulessa16 (8.66), N i jest liczbą fotonów w objętości V mających pędy między p i a p i + dp i Zgodnie z wzorem (8.63),, oraz, (8.67). Liczba fotonów na jednostkę objętości i częstości wyrazi się jako:

17 2011-06-06Reinhard Kulessa17 (8.68). W powyższym równaniu założyliśmy ciągłe widmo częstości. Ze względu na to, że energia każdego fotonu jest hν, więc energia na jednostkę objętości i częstości wynosi: (8.69) lub wiedząc, że =c/, d = -c/ 5 energia na jednostkę objętości i długości fali wynosi:, (8.70).

18 2011-06-06Reinhard Kulessa18 Można pokazać, że energia transmitowana w postaci fal elektromagnetycznych z powierzchni naszego układu na jednostkę powierzchni i jednostkę długości fali wynosi: tak, że (8.71). Jest to tzw. prawo Plancka promieniowania ciała doskonale czarnego.,

19 2011-06-06Reinhard Kulessa19 Prawo Wiena

20 2011-06-06Reinhard Kulessa20 Prawo Wiena określa położenie maksymalnej wartości wypromieniowywanej energii. (8.72) Całkowanie równania (8.71) po wszystkich długościach fali daje (8.73) gdzie, c 1 i c 2 są stałymi zdefiniowanymi następująco:

21 2011-06-06Reinhard Kulessa21. Mocą promieniowania ciała o powierzchni F nazywamy: (8.74). Zdolność absorbcyjna ciała jest zdefiniowana jako: A = (absorbowana moc powierzchniowa)/( padająca moc powierzchniowa). Dla ciała doskonale czarnego A=1. Prawo Kirchoffa mówi, że stosunek całkowitej zdolności emisyjnej E do całkowitej zdolności absorbcyjnej A nie zależy od natury ciała, a zależy tylko od temperatury.. (8.75)

22 2011-06-06Reinhard Kulessa22 9. Mieszaniny gazowe W wielu zastosowaniach termodynamiki nie wystarczy tak jak dotychczas zajmować się substancjami, dla opisania których potrzebne są tylko dwa niezależne parametry. Będziemy się teraz zajmowali mieszaninami gazów, oraz mieszaninami gazów i par. 9.1 Prawo Daltona-Gibbsa Rozważmy podstawowe definicje dla mieszaniny gazów idealnych. (9.1) Jeśli n i jest liczbą moli i-tej składowej a n ogólną liczbą moli, to oznacza ułamek molowy.

23 2011-06-06Reinhard Kulessa23 Wiadomo, że. Jeśli M i oznacza masę molekularną i-tej składowej, to (9.2) Z równań (9.1) i (9.2) mamy (9.3). Masa molowa odpowiedniej mieszaniny gazów podana jest jako. Stała gazowa dla danej mieszaniny da się napisać jako

24 2011-06-06Reinhard Kulessa24 (9.4). Prawo Daltona-Gibbsa mówi, że dla gazu idealnego każda składowa mieszaniny zachowuje się tak jakby istniała w temperaturze mieszaniny i zajmowała całą objętość mieszaniny. Ciśnienie cząstkowe i-tej składowej mieszaniny jest dane jako (9.5) a ciśnienie całkowite,. (9.6)

25 2011-06-06Reinhard Kulessa25 Również Jeśli gaz rozdzielimy na składowe i umieścimy każda składową w naczyniu zamkniętym o ciśnieniu i temperaturze mieszaniny czyli T i P, to z kolei;. (9.8). Jest to prawo Amegat-Leduc'a o dodawaniu objętości.

26 2011-06-06Reinhard Kulessa26 9.2 Własności energetyczne mieszanin (9.9) Pamiętając, że: Mamy;,

27 2011-06-06Reinhard Kulessa27 czyli dla ciepeł właściwych mieszaniny gazów uzyskujemy.(9.10) Zależności te są stosowane przykładowo w procesach związanych z wilgotnością powietrza, czy też w procesach związanych z klimatem.

28 2011-06-06Reinhard Kulessa28 10. Termodynamika reakcji chemicznych oraz ich równowaga Przykładem reakcji chemicznych jest reakcja spalania. lub. Liczby przed symbolami chemicznymi oznaczają współczynniki stechiometryczne. Reakcję chemiczną możemy ogólnie przedstawić jako czyli

29 2011-06-06Reinhard Kulessa29 (10.1). A j oznaczają materiały chemiczne, a j współczynniki stechiometryczne. Ciepło reakcji definiujemy następująco 1. dla reakcji w stałej objętości 2. dla reakcji pod stałym ciśnieniem. Indeksy P i R oznaczają odpowiednio produkty reakcji i reagenty.

30 2011-06-06Reinhard Kulessa30 10.1 Równowaga chemiczna dla gazów idealnych Rozważmy następującą reakcję dla gazów idealnych. (10.3) Z lewej strony tego równania mamy reagenty a z prawej produkty reakcji. Reakcje chemiczne zwykle opisuje się przez funkcję Gibbsa. Dla warunków równowagi (10.4). Istotnym w przebiegu reakcji chemicznych jest tzw. Prawo działania mas (Guldberga i Waagego)

31 2011-06-06Reinhard Kulessa31 (10.5), gdzie wyraża prawo równowagi chemicznej. ( i oznaczają liczbę moli). Z kolei G 0 oznacza zmianę energii swobodnej reakcji w odniesieniu do stanu normalnego. Ze składu mieszaniny reagującej w stanie równowagi, możemy używając równania van't Hoffa określić zmianę entalpii, (10.6). K p – stała równowagi reakcji chemicznej

32 2011-06-06Reinhard Kulessa32 10.2 Potencjał chemiczny i równowaga faz Rozważmy jednorodną mieszaninę różnych składników, których skład może zmieniać się z temperaturą. Dla i składników energia wewnętrzna wyrazi się jako: (10.7). Różniczka zupełna tego wyrażenia jest dana wzorem (10.8) Dla mieszaniny pojedynczego składnika dn i = 0 i wtedy

33 2011-06-06Reinhard Kulessa33 gdzie (10.9). Trzeci składnik w równaniu (10.8) jest zdefiniowany jako potencjał chemiczny i. (10.10) Równanie (10.8) można więc napisać jako: (10.11).

34 2011-06-06Reinhard Kulessa34 Analogicznie do tego równania można znaleźć relacje dla funkcji Gibbsa. (10.12) Mając (10.13), otrzymujemy dla funkcji Gibbsa

35 2011-06-06Reinhard Kulessa35 (10.14) oraz dla entalpii i funkcji Helmholza, (10.15). Równania te można porównać z równaniami 8.10 i 8.11.Jeśli mamy mieszaninę o C składnikach i P fazach, to liczbę stopni swobody F takiego układu określa reguła faz Gibbsa. (10.16)


Pobierz ppt "2011-06-06Reinhard Kulessa1 Wykład 13 8.8 Gaz elektronowy 8.9 Gaz fotonowy - promieniowanie termiczne 9. Mieszaniny gazowe 9.1 Prawo Daltona-Gibbsa 9.2."

Podobne prezentacje


Reklamy Google