Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

97_12_MF_G1 maria. felchner,,Kongruencje i ich zastosowania.

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "97_12_MF_G1 maria. felchner,,Kongruencje i ich zastosowania."— Zapis prezentacji:

1

2 97_12_MF_G1 maria. felchner,,Kongruencje i ich zastosowania

3 Nazwa szkoły: Informacyjne Liceum Ogólnokształcące,,Computer College ID Grupy: 97_12_MF_G1 Kompetencja: matematyczno-fizyczna Temat projektowy:,,Kongruencje i ich zastosowania 2011/2012 Semestr IV

4 Kongruencja i ich zastosowania

5 Spis treści: 1.Algorytm Euklidesa 2.Kongruencja, własności kongruencji 3.Zastosowanie kongruencji: Znajdowania dni tygodnia określonych dat z przeszłości Znajdowania dni tygodnia określonych dat z przeszłości Rozwiązywania równań diofantycznych Rozwiązywania równań diofantycznych Wyznaczania liczb podzielonych przez liczby całkowite Wyznaczania liczb podzielonych przez liczby całkowite Wyznaczania cech podzielności prze liczby całkowite Wyznaczania cech podzielności prze liczby całkowite Badanie własności wielomianów o współczynnikach całkowitych Badanie własności wielomianów o współczynnikach całkowitych

6 Algorytm Euklidesa

7 Praktycznym i szybkim sposobem obliczania największego wspólnego dzielnika dwóch liczb całkowitych jest algorytm Euklidesa. Jest to jeden z najstarszych algorytmów - został opisany przez Euklidesa ok. roku 300 p.n.e. Opiera się on na spostrzeżeniu, że jeśli od większej liczby odejmiesz mniejszą, to mniejsza liczba i otrzymana różnica będą miały taki sam największy wspólny dzielnik jak pierwotne liczby. Jeśli w wyniku kolejnego odejmowania otrzymasz parę równych liczb, oznacza to, że znalazłeś NWD. Algorytm Euklidesa jest algorytmem rekurencyjnym, chociaż w bardzo prosty sposób można go przekształcić do formy iteracyjnej. Mając do policzenia NWD(a, b) sprawdzamy, czy b = 0. Jeśli tak jest to NWD(a, b) = a. W przeciwnym wypadku wywołujemy rekurencyjnie algorytm dla liczb b i reszty z dzielenia a przez b.

8 Dane są dwie liczby naturalne a i b. 1. Jeśli b 0 oblicz c jako resztę z dzielenia a przez b i zastąp a przez b, zaś b przez c. 2. Jeżeli b = 0, NWD wynosi a, w przeciwnym wypadku wróć do punktu pierwszego i kontynuuj. Nasuwa się pytanie, czy takie postępowanie zawsze się skończy. Istotnie dla liczb naturalnych zawsze tak jest. Korzyść z algorytmu Euklidesa jest taka, że ostatnia niezerowa reszta jest, co łatwo sprawdzić jest największym wspólnym dzielnikiem liczb a i b.

9 Przyk ł ad

10 243 : 111 = 2, reszty : 21 = 5, reszty 6 21 : 6 = 3, reszty 3 6 : 3 = 2, reszty 0 Ostatnia niezerowa reszta wynosi 3. NWD(243, 111) = 3 NWD(432, 230) = ? (algorytm Euklidesa) 432 : 230 = 1, reszty : 202 = 1, reszty : 28 = 7, reszty 6 28 : 6 = 4, reszty 4 6 : 4 = 1, reszty 2 4 : 2 = 2, reszty 0 NWD(432, 230) = 2

11 Kongruencja

12 Kongruencja to sposób zapisu tego, że pewne dwie liczby całkowite a i b dają tę samą resztę przy dzieleniu przez liczbę naturalną m. W postaci kongruencji zapisuje się to tak: ab (mod m). Bardziej ścisła definicja kongruencji: ab (mod m) (a przystaje do b modulo m), jeśli liczba a b dzieli się przez m. (a i b są tu liczbami całkowitymi, natomiast m – liczbą naturalną) Kongruencje pozwalają krótko i elegancko zapisywać rozwiązania zadań o podzielności liczb.

13 Notacja ab ma część własności analogicznych do własności zwykłej równości. a) jest to relacja równoważności, zatem spełnia warunki: aa (mod m). (zwrotność) Np. 55 (mod2) Jeśli ab (mod m), to ba (mod m). (symetria) Np. 917 (mod4), to 179 (mod4) Jeśli ab (mod m) i bc (mod m), to ac (mod m). (przechodniość) Np. 104 (mod3) i 254 (mod3), to 1025 (mod3

14 b) działania na kongruencjach: Jeśli ab (mod m) oraz c jest dowolną liczbą całkowitą, to: a+cb+c (mod m), Np. 197 (mod4) 3119(mod4) acbc (mod m) Np (mod4) 513(mod4), a*cb*c (mod m). Np.95(mod4) 4525(mod4)

15 Ogólniej

16 Kongruencje o tym samym module można dodawać, odejmować, mnożyć i potęgować stronami, tzn.: Jeśli ab (mod m) i cd (mod m), to: a+cb+d (mod m), acbd (mod m), a*cb*d (mod m), a nb n (mod m)

17 Zastosowanie kongruencji do znajdywania dni tygodnia okre ś lanych dat z przesz ł o ś ci.

18 Prosty algortym określający dni tygodnia został zaproponowany przez Krystiana Zellera. Algorytm Zellera został uproszczony przez matematyka, Mike'a Keitha do postaci: dzień tygodnia = ([23m/9] + d y + [z/4] - [z/100] + [z/400] - c) mod 7 gdzie [ ] oznacza część całkowitą liczby mod - funkcja modulo (reszta z dzielenia) m - numer miesiąca (month) (od stycznia = 1 do grudnia = 12) d - numer dnia (day) miesiąca y - rok (year) z - rok z poprawką: z = y - 1 jeżeli m = 3 c - korekta (correction): c = 0, jeżeli m = 3 dni tygodnia - 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 gdzie 0 - niedziela, 1 - poniedziałek, 2 - wtorek, 3 - środa, 4 - czwartek, 5 - piątek, 6 - sobota

19 Przyk ł ady

20 1.Znaleźć dzień w którym zostało ogłoszone zakończenie II wojny światowej Data ta to m=5 d=8 y=1945 z=1945 c=2 dzień tygodnia =([23x5/ [1945/4]+ -[1945/100]+[1945/400]-c)mod 7 dzień tygodnia=( )mod 7 dzień tygodnia=2438(mod 7) Reszta z dzielenia wynosi 2,a to wskazuje że tym dniem był wtorek.

21 Znaleźć dzień w którym nastąpił atak na wieżę World Trace Center Data ta m=9 d=17 y=2001 z=2001 c=2 dzień tygodnia =([23x9/9] [2001/4]- [2001/100]+[2001/100]+[2001/400]-2) dzień tygodnia ( )mod 7 dzień tygodnia=2532(mod7) Reszta z dzielenia wynosi 2. A więc to był wtorek.

22 RÓWNANIA DIOFANTYCZNE

23 1.Równaniem diofantycznym nazywamy równanie, na ogół o kilku niewiadomych, którego rozwiązań szukamy w liczbach całkowitych. Nazwa tego typu równań pochodzi od imienia greckiego matematyka. Diofantosa (III w. n. e.). 2.Twierdzenie o NWD. Jeżeli a oraz b są liczbami całkowitymi, nie równocześnie równymi zero, to istnieją liczby całkowite x oraz y spełniające równanie diofantyczne. NWD(a,b)=ax+by

24 Przyk ł ady

25 Jak znaleźć przynajmniej jedną parę takich liczb x, y? Przykład: a=222b=189 Stosujemy algorytm Euklidesa do obliczenia NWD( a, b) 222=1* =5* =1* =2*9+6 9=1*6+3 3=1*3+0 3=9-6=9-(24-2*9)=9-24+2*9=-24+3*9=-24+3(33-24)=-24+3*33- 3*24=3*33-4*24=3*33-4(189-5*33)=3*33-4*189+20*33=- 4*189+23*33=-4*189+23( )=-4*189+23*222-23*189=23* *189 stąd x=23, y=-27

26 Równanie ax+by=c Twierdzenie: Równanie diofantyczne ax+by+c=0 posiada rozwiązania wtedy i tylko wtedy, gdy NWD(a,b) dzieli c. Jeżeli para liczb całkowitych x, y jest rozwiązaniem równania ax+by=c, to wszystkie rozwiązania dane są wzorami: x=x+[b/NWD( a, b)] *t y=y- [a/NWD( a, b)]*t gdzie t jest dowolną liczbą całkowitą

27 Przyk ł ad

28 Rozwiązać równanie13x+29y=31 Szukamy NWD(13,29) 29=2* =4*3+1 3=3*1+0 NWD(13,29)=1 1=13-4*3=13-4(29-2*13)=13-4*29+8*13=9*13-4*29 9*13-4*29=1/*31 279*13-124*29=31 x=279,y=-124 Korzystamy z wyżej podanego twierdzenia i otrzymamy; x=279+29t y= t,gdzie t jest dowolną liczbą całkowitą

29 Równanie ax+…+a n x n =b posiada rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy NWD(a 1,…,a n )|b

30 Rozwiązać równania diofantyczne 18x+20y+15z=1 Ponieważ NWD(18,20)=2, więc 18x+20y=2(9x+10y)=2uu=9x+10y Równanie 18x+20y+15z=1 zastępujemy układem równań 18x+20y=2u 2u+15z=1 Rozwiązujemy drugie równanie 2u+15z=1stosujemy algorytm Euklidesa

31 Ponieważ NWD(2,15)=1 to spełniona jest równość 2(-7)+15*1=1 u=-7z=1u=-7+15tz=1-2ttϵC 9x+10y=u 18x+20y=2(-7+15t)/:2 9x+10y=1NWD(9,10)=1 stąd spełniona jest równość: 9*(-1)+10*1=1 9(7-15)+10(-7+15t)=-7+15t x=7-15t,y=-7+15t x=7-15t+10wy=-7+15t-9w, gdzie wϵC Rozwiązaniem wyjściowego równania jest trójka x=7-15t+10w y=-7+15t-9u z=1-2t gdzie t oraz w są dowolnymi liczbami całkowitymi

32 Twierdzenie Pitagorasa

33 Wszyscy wiemy, że istnieje trójkąt prostokątny, którego boki mają długości 3, 4 oraz 5. Pytanie Jakie inne trójkąty prostokątne, których boki są liczbami naturalnymi, można jeszcze skonstruować? Prowadzi to do wyznaczenia rozwiązań równania diofantycznego x²+y²=z² zwanego równaniem Pitagorasa. Uwaga Trójka x, y, z jest rozwiązaniem równania Pitagorasa wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnej liczby całkowitej d trójka dx, dy, dz też jest rozwiązaniem tego równania, bo (dx)²+(dy)²=(dz)² x²+y²=z² Denicja Rozwiązanie x, y, z równania Pitagorasa nazywamy właściwym, jeśli NWD(x, y, z) = 1.

34 1. Każde rozwiązanie równania Pitagorasa jest postaci dx, dy, dz, gdzie x, y, z jest właściwym rozwiązaniem tego równania. Zatem, aby znaleźć wszystkie rozwiązania równania Pitagorasa wystarczy znaleźć jego rozwiązania właściwe. 2. Jeżeli x, y, z jest właściwym rozwiązaniem równania Pitagorasa, to dokładnie jedna z liczb x lub y jest parzysta. Czy wiesz jak to uzasadnić? Wsk. Rozważ równanie Pitagorasa modulo 4. Twierdzenie Każde właściwe rozwiązanie x, y, z równania x²+y²=z² dla którego y jest liczbą parzystą jest postaci x=m²-n²,y=2mn,z=m²+n² gdzie m, n są dowolnymi liczbami naturalnymi takimi, że m > n, NWD(m, n) = 1 oraz dokładnie jedna z nich jest parzysta

35 Twierdzenie Fermata

36 P. Fermat około roku 1637, studiując łaciński przekład dzieł Diofantosa na marginesie rozdziału o trójkach pitagorejskich napisał: Nie można podzielić sześcianu na dwa sześciany ani czwartej potęgi na dwie czwarte potęgi, ani ogólnie żadnej potęgi wyższej niż druga na dwie takie same potęgi; znalazłem naprawdę zadziwiający dowód, który nie zmieści się na tym zbyt wąskim marginesie Można to napisać następująco: Wielkie Twierdzenie Fermata Dla n ­ 3 równanie x n +y n =z n nie posiada rozwiązań w liczbach naturalnych Historia zmagań ze znalezieniem dowodu WTF jest długa i obtowała w wiele pomyłek znanych matematyków. W roku 1993 amerykański matematyk Andrew Wiles na wykładzie w Instytucie Newtona uniwersytetu w Cambridge ogłosił, że udowodnił WTF. Jednak dopiero po dwóch latach, w roku 1995, po usunięciu luk w dowodzie, ukazały się dwie prace naukowe Wilesa, zawierające pełny dowód. P.Ribenboim, Wielkie Twierdzenie Fermata dla laików, WNT, Warszawa 200

37 Inne przyk ł ady równa ń diofantycznych

38 112x+129y=2 13x+29y=31 2x+8y+112z=9

39 Podzielno ść liczb ca ł kowitych

40 Liczba m jest podzielna przez n, jeżeli iloraz m/n jest liczbą całkowitą. Liczbę n nazywamy w taki przypadku dzielnikiem liczby m.

41 DzielnikCecha podzielnościPrzykład 1wszystkie liczby całkowite dzielą się przez 1- 2liczba całkowita dzieli się przez 2, jeżeli ostatnią cyfrą jest 0,2,4,6 lub 8 Liczba 1238 dzieli się przez 2, ponieważ ostatnią cyfrą tej liczby jest 8 3liczba całkowita dzieli się przez 3, jeżeli suma cyfr dzieli się przez 3 Liczba dzieli się przez 3, ponieważ =36, a liczba 36 dzieli się bez reszty przez 3 4liczba całkowita dzieli się przez 4, jeżeli liczba złożona z ostatnich dwóch cyfr dzieli się przez 4 lub dwie ostatnie cyfry tej liczby są zerami Liczba dzieli się przez 4, ponieważ 16 dzieli się przez 4 i liczba dzieli się przez 4, ponieważ dwie ostatnie cyfry są zerami 5liczba całkowita dzieli się przez 5, jeżeli ostatnią cyfrą jest 0 lub 5 Liczba dzieli się przez 5, ponieważ ostatnią cyfrą tej liczby jest 0 6liczba całkowita dzieli się przez 6, jeżeli dzieli się przez 2 i 3Liczba 6618 dzieli się przez 6, ponieważ 6618 dzieli się przez 2 i 3 7wiele metod na tyle skomplikowanych, że w praktyce się ich nie stosuje - 8Liczba jest podzielna przez 8, jeśli liczba tworzona przez jej trzy ostatnie cyfry jest podzielna przez 8. (Można też wziąć liczbę utworzoną przez trzy ostatnie cyfry, podzielić ją przez 2 i sprawdzić podzielność przez 4) Liczba dzieli się przez 8, ponieważ liczba złożona z cyfr 0,4,0 - czyli 40 dzieli się przez 8 9liczba całkowita dzieli się przez 9, jeżeli suma cyfr dzieli się przez 9 Liczba 3357 dzieli się przez 3, ponieważ =18 a liczba 18 dzieli się bez reszty przez 9 10liczba całkowita dzieli się przez 10, jeżeli ostatnia z cyfr tej liczby jest zerem Liczba 7690 dzieli się przez 10, ponieważ ostatnią cyfrą tej liczby jest 0

42 Twierdzenie podzielno ś ci liczb

43 Dowód wynika wprost z własności kongruencji. Każdą liczbę rzeczywistą możemy zapisać w dziesiętnym systemie pozycyjnym w postaci :

44 Cecha podzielno ś ci liczb przez 9

45

46 Przykład ilustrujący: *10^0+2*10^1+3*10^2+2*10^3 11(mod9) 101(mod9) 1001(mod9) 10001(mod9) 22(mod9) 202(mod9) 3003(mod9) 20002(mod9) 23229(mod9)

47 Reszta z dzielenia liczby 2322 przez 9 jest równa reszcie dzielenia sumy tej liczby przez 9

48 Cecha podzielno ś ci przez 11

49

50 Przykład ilustrujący: *10^0+7*10&1+9*10^2+1+10^3+6*10^4 1+1(mod11) 10-1(mod11) 100+1(mod11) (mod11) (mod11) 44(mod11) 7-7(mod11) 9009(mod11) (mod11) (mod11) (mod11)

51 Badania w ł asno ś ci wielomianów o wspó ł czynnikach ca ł kowitych

52 Funkcją wielomianową (wielomianem) zmiennej x stopnia n nazywamy funkcję f: R ® R postaci f (x) = a n x n + a n-1 x n a 2 x 2 + a 1 x+ a 0 gdzie nϵN, a 0,a 1,...,a n ϵ N i a n 0.

53 Liczby a 0,a 1, ,a n nazywamy współczynnikami wielomianu. Współczynnik a 0 nazywamy wyrazem wolnym wielomianu. n- stopień wielomianu. wielomian zmiennej x często oznaczamy w następujący sposób: W(x), P(x), Q(x) itp. Wielomianem zerowym nazywamy wielomian W(x), który dla każdego x Î R przyjmuje wartość zero, tzn. wielomian określony wzorem W(x) = 0. Przyjmujemy, że wielomian zerowy nie ma określonego stopnia. Dwa niezerowe wielomiany są równe wtedy i tylko wtedy, gdy są tego samego stopnia i mają równe współczynniki przy odpowiednich potęgach zmiennej. Dzieląc wielomian W(x) przez wielomian niezerowy P(x) otrzymujemy iloraz Q(x) i resztę R(x), jeśli zachodzi równość W(x) = P(x)×Q(x) + R(x) gdzie Q(x) i R(x) są wielomianami i stopień wielomianu R(x) jest mniejszy od stopnia wielomianu P(x) lub R(x) jest wielomianem zerowym.

54 Jeśli reszta R(x) jest wielomianem zerowym, to mówimy, że wielomian W(x) jest podzielny przez wielomian P(x). Wówczas W(x) = P(x)×Q(x). Jeśli wielomian R(x) jest resztą z dzielenia wielomianu W(x) przez wielomian P(x) i P(x) jest wielomianem stopnia pierwszego, to R(x) = a P(x) jest wielomianem stopnia drugiego, to R(x) = ax + b P(x) jest wielomianem stopnia trzeciego, to R(x) = ax 2 + bx + c. Reszta z dzielenia wielomianu W(x) przez dwumian x- q jest równa W(q).

55 Przyk ł ady

56

57 Rozwi ą zanie

58

59 Przygotowali: 1.Magdalena Ćwik 2.Anita Dudek 3.Jagoda Glegoła 4.Adriana Jaworska 5.Daniela Karasińska 6.Paulina Kilianek 7.Milena Korgiel 8.Paweł Lesiak

60 D z i ę k u j e m y z u w a g ę


Pobierz ppt "97_12_MF_G1 maria. felchner,,Kongruencje i ich zastosowania."

Podobne prezentacje


Reklamy Google