Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Projekt AS KOMPETENCJI jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego Program Operacyjny Kapitał Ludzki.

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "Projekt AS KOMPETENCJI jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego Program Operacyjny Kapitał Ludzki."— Zapis prezentacji:

1 Projekt AS KOMPETENCJI jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego Program Operacyjny Kapitał Ludzki CZŁOWIEK – NAJLEPSZA INWESTYCJA Publikacja jest współfinansowana przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego Prezentacja jest dystrybuowana bezpłatnie

2 DANE INFORMACYJNE Nazwa szkoły: Zespół Szkół Przyrodniczo-Politechnicznych w Marszewie Zespół Szkół nr 1 w Pyrzycach ID grupy: 97/88_MF_G1 i 97/30_MF_G1 Opiekun: Dobromira Zdunek i Agnieszka Wójcicka Kompetencja: matematyczno-fizyczna Temat projektowy:,, Równania diofantyczne Semestr/rok szkolny: semestr III / rok szkolny 2010/2011

3 Równania diofantyczne Nasza prezentacja ma na celu utrwalenie wiadomości z algebry, teorii liczb, podzielności.

4 Diofantos z Aleksandrii jako pierwszy systematycznie zajął się algebrą, czyli teorią rozwiązywania równań. Diofantos narzucał na rozpatrywane równania takie warunki, aby rozwiązanie zawsze mieściło się w zbiorze liczb dodatnich i wymiernych. Rozważał co prawda zadanie sprowadzające się do równania 4x + 20 = 0, ale twierdził, że to równanie daje absurdalne rozwiązanie, liczby ujemne uważał za niedopuszczalne i je odrzucał. Rozwiązywał za to równania kwadratowe, układy równań kwadratowych, pisał o liczbach trójkątnych i kwadratowych oraz ustalał zależności między nimi.

5 ILE LAT ŻYŁ DIOFANTOS?

6 W XIV wieku grecki mnich Maksymus Planudes umieścił w swojej antologii wiersz Epitafium Diofanta. Jego treść jest jednocześnie zadaniem tekstowym: Pod tym nagrobkiem spoczywa Diofant – a dzięki przedziwnej Sztuce zmarłego i wiek zdradzi ci ten głaz: Chłopcem przez szóstą część życia pozostać bóg mu pozwolił, Lica pokwitły mu zaś, kiedy dwunasta znów część Życia minęła; a znowu żywota gdy przebył część siódmą, Młodą małżonkę w dom dobry wprowadził mu bóg, Która, gdy pięć lat minęło, małego powiła mu synka, Ale okrutny chciał los, że kiedy syn ledwie wiek Ojca w połowie osiągnął, ponury zabrał go Hades. Kojąc ogromny swój ból, szukał Diofant wśród liczb Jeszcze przez cztery lata pociechy, aż rozstał się z życiem.

7 ROZWIĄZANIE: x – czas życia Diofantosa 1/6x – jego dzieciństwo 1/12x – okres młodości 1/7x – czas między wiekiem młodzieńczym a ślubem 5 – lata oczekiwania na syna 1/2x – czas życia syna 4 – czas, jaki Diofantos żył po śmierci syna Rozwiązanie zadania polega na ułożeniu prostego równania z jedną niewiadomą: 1/6x + 1/12x + 1/7x /2x + 4 = x Stąd po wykonaniu prostych działań otrzymujemy x = 84, czyli Diofantos żył 84 lata.

8 ZADANIA DIOFANTOSA

9 Graficznie liczby trójkątne można przedstawić następująco: Liczba trójkątna to każda taka liczba o numerze n, będąca na przykład liczbą kół jednakowej wielkości, z których można ułożyć trójkąt równoboczny o boku zbudowanym z n kół.

10 Graficznie liczby kwadratowe można przedstawić następująco: Liczba kwadratowa natomiast to każda taka liczba numerze n, będąca na przykład liczbą kół jednakowej wielkości, których można ułożyć kwadrat o boku zbudowanym z n kół.

11 Twierdzenie Diofantosa, że ośmiokrotnie wzięta liczba powiększona o jedność jest zawsze kwadratem, pokazuje poniższy rysunek:

12 RÓWNANIA DIOFANTYCZNE Równaniem diofantycznym nazywamy równanie o dwóch lub więcej niewiadomych, którego rozwiązań szukamy w zbiorze liczb całkowitych lub liczb naturalnych. Nazwa tego typu równań pochodzi od imienia Diofantosa. Badając dane równanie diofantyczne staramy się przede wszystkim odpowiedzieć na następujące pytania: * Czy ma ono rozwiązania? * Jeśli tak, to ile ich jest (skończenie, czy nieskończenie wiele)? * Czy istnieje algorytm na ich wyznaczanie?

13 NWD Twierdzenie Jeśli a oraz b są liczbami całkowitymi, nie równocześnie równymi zero, to istnieją liczby całkowite x oraz y spełniające równanie diofantyczne NWD(a, b) = xa + by.

14 NWD(309,186) Stosujemy algorytm Euklidesa do obliczenia NWD(309,186) 309 = 1 · = 1 · = 1 · = 1 · = 20 · Wtedy mamy NWD(309, 186) = 3 oraz 3 = 63 1 · 60 = = 63 1 · (123 1 · 63) = 2 · 63 1 · 123 = = 2 · (186 1 · 123) 1 · 123 = 2 · · 123 = = 2 · · (309 1 · 186) = = 3 · · 186 Zatem 3 = 3 · · 186 i rozwiązanie naszego równania diofantycznego jest postać x = 3, y = 5.

15 Równanie ax + by = c Twierdzenie Równanie diofantyczne ax+by = c posiada rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy NWD(a, b) dzieli c. Jeśli para liczb całkowitych x0, y0 jest rozwiązaniem równania ax + by = c to wszystkie rozwiązania dane są wzorami: x = x 0 + · t, y = y 0 · t gdzie t jest dowolną liczbą całkowitą. Zatem nasze wcześniejsze równanie diofantyczne 309x + 186y = 3 ma nieskończenie wiele rozwiązań i są one postaci x = · t, y = · t, gdzie t jest dowolną liczbą całkowitą.

16 Przykłady równań diofantycznych Równanie 2x+1=y2 ma w liczbach naturalnych jedno rozwiązanie: (3,3) Równanie xy=yx ma w liczbach naturalnych dwa rozwiązania, gdy x=2, y=4 oraz x=4, y=2

17 Zadanie 1. Rozwiąż w liczbach całkowitych równanie: 1001x + 35y = 49 Rozwiązanie Obliczmy NWD(1001, 35) stosując algorytm Euklidesa = 28 · · ( · 35) 1 · 35 =2 · · = 1 · · (35 1 · 21) = 2 · 21 1 · 35 =21 1 · 14 =7 21 = 1 · = 21 · Stad 2 · · 35 = 7 i mnożąc obie strony przez 7 mamy 14 · (399) · 35 = 49 Para x0 = 14, y0 = 399 jest rozwiązaniem. Zatem wszystkie rozwiązania naszego równania są postaci: x =x0 + · t = · t y =y0 · t = · t t liczba całkowita.

18 Zadanie 2 Ile biletów po 3 zł i po 5 zł można kupić za 149 zł, jeśli należy wydąć wszystkie pieniądze? Znajdź wszystkie możliwe sposoby zakupu. Rozwiązanie Jeśli x jest liczba biletów po 3 zł, a y jest liczba biletów po 5 zł, to 3x + 5y = 149. Otrzymujemy: x = · t y = · t, t liczba całkowita Liczby biletów muszą być liczbami nieujemnymi. Należy zatem dobrać takie t, aby x = · t 0, y = · t 0. Po prostych przekształceniach tych nierówności mamy x = · t y = · t, 59 t 50.

19 Odpowiedź Bilety można zakupić na 10 różnych sposobów t x y

20 A oto kilka zadań, które rozwiązaliśmy na tablicy

21

22

23

24

25 Równanie a 1 x a n x n = b Twierdzenie Równanie diofantyczne a 1 x a n x n = b posiada rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy NWD(a 1,..., a n )|b.

26 Jak rozwiązać równanie a 1 x a n x n = b, gdy NWD(a 1,..., a n ) dzieli b?

27 Zadanie Rozwiąż równanie diofantyczne 12x + 15y + 7z = 11. Rozwiązanie Ponieważ NWD(12, 15) = 3, więc 12x + 15y = 3(4x + 5y) = 3w. Zatem nasze równanie możemy zastąpić układem równań 12x + 15y = 3w 3w + 7z = 11. Najpierw rozwiązujemy drugie równanie znanym nam sposobem otrzymując rozwiązanie z = 11 3 · u, w = · u. Teraz wstawiamy wyliczone w do pierwszego równania Otrzymując12x + 15y = 3(22 + 7u).

28 cd. rozwiązania Po podzieleniu obu stron przez 3 mamy 4x + 5y = u. Ponieważ NWD(4, 5) = 1, wiec najpierw szukamy konkretnego rozwiązania równania 4x + 5y = 1. 4 · (1) + 5 · 1 = 1. wiec 4 · (22 7u) + 5 · (22 + 7u) = u. Odpowiedź: Rozwiązaniem naszego wyjściowego równania jest trójka liczb postacix = 22 7u + 5t y = u 4t z = 11 3u gdzie t oraz u są dowolnymi liczbami całkowitymi.

29 Równanie Pitagorasa Istnieje trójkąt prostokątny, którego boki maja długości 3, 4 oraz 5. Jakie inne trójkąty prostokątne, których boki są liczbami naturalnymi, można skonstruować? Prowadzi to do wyznaczenia rozwiązań równania diofantycznego x 2 + y 2 = z 2 zwanego równaniem Pitagorasa. Trójka x 0, y 0, z 0 jest rozwiązaniem równania Pitagorasa wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnej liczby całkowitej d trójka dx 0, dy 0, dz 0 tez jest rozwiązaniem tego równania, bo (dx 0 ) 2 + (dy 0 ) 2 = (dz 0 ) 2 x y 2 0 = z 2 0

30 Definicja Rozwiązanie x 0, y 0, z 0 równania Pitagorasa nazywamy właściwym, jeśli NWD(x0, y 0, z 0 ) = 1. Uwagi 1. Każde rozwiązanie równania Pitagorasa jest postaci dx 0, dy 0, dz 0, gdzie x 0, y 0, z 0 jest właściwym rozwiązaniem tego równania. Zatem, aby znaleźć wszystkie rozwiązania równania Pitagorasa wystarczy znaleźć jego rozwiązania właściwe. 2. Jeżeli x 0, y 0, z 0 jest właściwym rozwiązaniem równania Pitagorasa, to dokładnie jedna z liczb x0, lub y0 jest parzysta. Rozwiązywanie równania Pitagorasa

31 Twierdzenie Każde właściwe rozwiązanie x 0, y 0, z 0 równania x 2 + y 2 = z 2, dla którego y 0 jest liczbą parzystą jest prosta x 0 = m 2 n 2, y 0 = 2mn, z 0 = m 2 + n 2, gdzie m, n są dowolnymi liczbami naturalnymi takimi, że m > n, NWD(m, n) = 1 oraz dokładnie jedna z nich jest parzysta. Przykład m n x y z

32 Wielkie Twierdzenie Fermata Równanie: x n + y n = z n dla n=2 obrazuje zależność między długościami boków w trójkącie prostokątnym. dla n>2 równanie to nie ma rozwiązań w liczbach naturalnych

33 Równanie Pella Równanie x 2 – ny 2 =1 x 2 – ny 2 =1 gdzie n>0 zwane równaniem Pella (od nazwiska angielskiego matematyka Johna Pella) nie ma rozwiązań, jeżeli n jest kwadratem liczby naturalnej, ma nieskończenie wiele rozwiązań, jeżeli n nie jest kwadratem liczby naturalnej. Rozwiązania te się tablicuje w zależności od n.

34 Wnioski Bardzo częstym zadaniem na konkursach matematycznych, w których członkowie naszych grup biorą udział- jest zagadnienie rozwiązywania równań lub układów równań w liczbach całkowitych lub naturalnych. Ale dopiero przygotowując prezentację dowiedzieliśmy się,że są to równania diofantyczne, a ich rozwiązania często związane są z bardzo pomysłowymi rozumowaniami.

35 Bibliografia W.Sierpiński,, Czym zajmuje się teoria liczb W. Sierpiński,, O rozwiązywaniu równań w liczbach całkowitych A.P. Juszkiewicz,, Historia Matematyki Z. Bobiński,P. Jarek, A. Świątek, M. Uscki,,O liczbach i równaniach Z. Bobiński,P. Jarek, A. Świątek, M. Uscki,, Miniatury matematyczne Zasoby internetowe

36 Projekt AS KOMPETENCJI jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego Program Operacyjny Kapitał Ludzki CZŁOWIEK – NAJLEPSZA INWESTYCJA Publikacja jest współfinansowana przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego Prezentacja jest dystrybuowana bezpłatnie


Pobierz ppt "Projekt AS KOMPETENCJI jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego Program Operacyjny Kapitał Ludzki."

Podobne prezentacje


Reklamy Google