Termodynamika statystyczna

Prezentacja na temat: "Termodynamika statystyczna"— Zapis prezentacji:

1 Termodynamika statystyczna
Prawa gazowe i zasady termodynamiki można wyprowadzić, a więc i wyrobić sobie pogląd na entropię, na gruncie statystyki termodynamicznej.

2 Termodynamika statystyczna
Prawa gazowe i zasady termodynamiki można wyprowadzić, a więc i wyrobić sobie pogląd na entropię, na gruncie statystyki termodynamicznej. Powstaje pytanie: co to znaczy, od strony statystycznej, że nastąpił wzrost entropii układu?

3 Termodynamika statystyczna
Prawa gazowe i zasady termodynamiki można wyprowadzić, a więc i wyrobić sobie pogląd na entropię, na gruncie statystyki termodynamicznej. Powstaje pytanie: co to znaczy, od strony statystycznej, że nastąpił wzrost entropii układu? Przypomnijmy czym zajmuje się termodynamika statystyczna:

4 Termodynamika statystyczna
-Traktuje ciała stałe, ciecze i gazy, jako ośrodki mające strukturę wewnętrzną (cząsteczkową). -Do cząsteczek ciała stosuje prawa mechaniki dla ich prędkości v, masy m, pędów p, energii E, zasady zachowania… - jest to mikroskopowy punkt widzenia. -Dodając do tego metody rachunku prawdopodobieństwa znajduje zależności między wielkościami mikroskopowymi (v, m, p, E) odnoszącymi się do poszczególnych cząstek układu, a wielkościami makroskopowymi (ciśnienie p, objętość V, temperatura T), opisującymi układ jako całość.

5 Prawdopodobieństwo stanu

6 Prawdopodobieństwo stanu
Rozpatrzmy naczynie rozdzielone na dwie równe części ścianką.

7 Prawdopodobieństwo stanu
Rozpatrzmy naczynie rozdzielone na dwie równe części ścianką. Niech w jednej połowie naczynia znajduje się N cząstek gazu.

8 Prawdopodobieństwo stanu
Rozpatrzmy naczynie rozdzielone na dwie równe części ścianką. Niech w jednej połowie naczynia znajduje się N cząstek gazu. Po usunięciu ścianki, drobiny gazu mogą przechodzić z jednej połowy do drugiej.

9 Prawdopodobieństwo stanu
Rozpatrzmy naczynie rozdzielone na dwie równe części ścianką. Niech w jednej połowie naczynia znajduje się N cząstek gazu. Po usunięciu ścianki, drobiny gazu mogą przechodzić z jednej połowy do drugiej. Dziać się to będzie pod wpływem zderzeń cząsteczek ze sobą i ze ściankami naczynia.

10 Prawdopodobieństwo stanu
Rozpatrzmy naczynie rozdzielone na dwie równe części ścianką. Niech w jednej połowie naczynia znajduje się N cząstek gazu. Po usunięciu ścianki, drobiny gazu mogą przechodzić z jednej połowy do drugiej. Dziać się to będzie pod wpływem zderzeń cząsteczek ze sobą i ze ściankami naczynia. W zależności od liczby cząsteczek przeanalizujemy to, gdzie one przebywają – w lewej połowie naczynia L, czy też prawej P .

11 Prawdopodobieństwo stanu
Niech w naczyniu znajduje się jedna cząstka.

12 Prawdopodobieństwo stanu
Niech w naczyniu znajduje się jedna cząstka. Liczba cząstek: N=1 L P Wm k 1 - 2 1/2

13 Prawdopodobieństwo stanu
Niech w naczyniu znajduje się jedna cząstka. Liczba cząstek: N=1 L P Wm k 1 - 2 1/2 Z powyższej tabeli wynika, że:

14 Prawdopodobieństwo stanu
Niech w naczyniu znajduje się jedna cząstka. Liczba cząstek: N=1 L P Wm k 1 - 2 1/2 Z powyższej tabeli wynika, że: -prawdopodobieństwo matematyczne przebywania cząstki w lewej (L), jak również prawdopodobieństwo matematyczne przebywania w prawej (P) części naczynia jest takie same i równe k=½ (cząstka może być w lewej L lub prawej P połowie).

15 Prawdopodobieństwo stanu
Niech w naczyniu znajduje się jedna cząstka. Liczba cząstek: N=1 L P Wm k 1 - 2 1/2 Z powyższej tabeli wynika, że: -prawdopodobieństwo matematyczne przebywania cząstki w lewej (L), jak również prawdopodobieństwo matematyczne przebywania w prawej (P) części naczynia jest takie same i równe k=½ (cząstka może być w lewej L lub prawej P połowie). - prawdopodobieństwo termodynamiczne każdego z dwóch mikrostanów jest jest Wm=1 . (mikrostan to stan, w którym cząstka może być tylko w L lub tylko w P części).

16 Prawdopodobieństwo stanu
Niech w naczyniu znajduje się jedna cząstka. Liczba cząstek: N=1 L P Wm k 1 - 2 1/2 Z powyższej tabeli wynika, że: -prawdopodobieństwo matematyczne przebywania cząstki w lewej (L), jak również prawdopodobieństwo matematyczne przebywania w prawej (P) części naczynia jest takie same i równe k=½ (cząstka może być w lewej L lub prawej P połowie). - prawdopodobieństwo termodynamiczne każdego z dwóch mikrostanów jest jest Wm=1 . (mikrostan to stan, w którym cząstka może być tylko w L lub tylko w P części). -prawdopodobieństwo termodynamiczne makrostanu, jest Wm=2 (makrostan to liczba mikrostanów, czyli liczba sposobów rozmieszczenia cząstek).

17 Prawdopodobieństwo stanu
2. Niech w naczyniu znajdują się dwie cząstki.

18 Prawdopodobieństwo stanu
2. Niech w naczyniu znajdują się dwie cząstki. Liczba cząstek: N=2 L P Wm k - 1,2 1 4 1/4 2 2/4

19 Prawdopodobieństwo stanu
2. Niech w naczyniu znajdują się dwie cząstki. Liczba cząstek: N=2 L P Wm k - 1,2 1 4 1/4 2 2/4 Prawdopodobieństwo termodynamiczne makrostanu (liczba mikrostanów) jest Wm=4.

20 Prawdopodobieństwo stanu
2. Niech w naczyniu znajdują się dwie cząstki. Liczba cząstek: N=2 L P Wm k - 1,2 1 4 1/4 2 2/4 Mikrostany, w których w każdej połówce jest cząstka (mikrostany drugi i trzeci) dla obserwatora są identyczne z tego powodu, że cząstki makroskopowo są nierozróżnialne. Prawdopodobieństwo termodynamiczne makrostanu (liczba mikrostanów) jest Wm=4.

21 Prawdopodobieństwo stanu
2. Niech w naczyniu znajdują się dwie cząstki. Liczba cząstek: N=2 L P Wm k - 1,2 1 4 1/4 2 2/4 Mikrostany, w których w każdej połówce jest cząstka (mikrostany drugi i trzeci) dla obserwatora są identyczne z tego powodu, że cząstki makroskopowo są nierozróżnialne. Obserwator powie, że prawdopodobieństwo termodynamiczne zajścia mikrostanu, w którym w L i P będzie jedna drobina jest Wm=2 (wtedy prawdopodobieństwo matematyczne jest k=2/4=1/2) i jest ono większe niż pozostałych dwóch mikrostanów, dla których jest ono Wm=1 (k=1/4). Prawdopodobieństwo termodynamiczne makrostanu (liczba mikrostanów) jest Wm=4.

22 Prawdopodobieństwo stanu
2. Niech w naczyniu znajdują się dwie cząstki. Liczba cząstek: N=2 L P Wm k - 1,2 1 4 1/4 2 2/4 Mikrostany, w których w każdej połówce jest cząstka (mikrostany drugi i trzeci) dla obserwatora są identyczne z tego powodu, że cząstki makroskopowo są nierozróżnialne. Obserwator powie, że prawdopodobieństwo termodynamiczne zajścia mikrostanu, w którym w L i P będzie jedna drobina jest Wm=2 (wtedy prawdopodobieństwo matematyczne jest k=2/4=1/2) i jest ono większe niż pozostałych dwóch mikrostanów, dla których jest ono Wm=1 (k=1/4). Dzięki temu mikrostan z jedną drobiną w L i jedną drobiną w P będzie pojawiał się dwa razy na cztery mikrostany, czyli częściej niż pozostałe dwa, które będą pojawiać się raz na cztery mikrostany. Prawdopodobieństwo termodynamiczne makrostanu (liczba mikrostanów) jest Wm=4.

23 Prawdopodobieństwo stanu
3. Niech w naczyniu znajdują się trzy cząskti.

24 Prawdopodobieństwo stanu
3. Niech w naczyniu znajdują się trzy cząstki. Liczba cząstek: N=3 L P Wm k - 1,2,3 1 8 1/8 2,3 3 3/8 2 1,3 1,2

25 Prawdopodobieństwo stanu
3. Niech w naczyniu znajdują się trzy cząstki. Liczba cząstek: N=3 L P Wm k - 1,2,3 1 8 1/8 2,3 3 3/8 2 1,3 1,2 -Prawdopodobieństwo termodynamiczne makrostanu (liczba mikrostanów) jest Wm=8.

26 Prawdopodobieństwo stanu
3. Niech w naczyniu znajdują się trzy cząstki. Liczba cząstek: N=3 L P Wm k - 1,2,3 1 8 1/8 2,3 3 3/8 2 1,3 1,2 -Prawdopodobieństwo termodynamiczne makrostanu (liczba mikrostanów) jest Wm=8. Dla obserwatora mikrostany drugi, trzeci i czwarty są identyczne (cząstki są nierozróżnialne) i powie on, że

27 Prawdopodobieństwo stanu
3. Niech w naczyniu znajdują się trzy cząstki. Liczba cząstek: N=3 L P Wm k - 1,2,3 1 8 1/8 2,3 3 3/8 2 1,3 1,2 -Prawdopodobieństwo termodynamiczne makrostanu (liczba mikrostanów) jest Wm=8. Dla obserwatora mikrostany drugi, trzeci i czwarty są identyczne (cząstki są nierozróżnialne) i powie on, że -prawdopodobieństwo termodynamiczne zajścia mikro-stanu, w którym w lewej połówce naczynia jest jedna, a w prawej dwie drobiny wynosi Wm=3.

28 Prawdopodobieństwo stanu
3. Niech w naczyniu znajdują się trzy cząstki. Liczba cząstek: N=3 L P Wm k - 1,2,3 1 8 1/8 2,3 3 3/8 2 1,3 1,2 -Prawdopodobieństwo termodynamiczne makrostanu (liczba mikrostanów) jest Wm=8. Dla obserwatora mikrostany drugi, trzeci i czwarty są identyczne (cząstki są nierozróżnialne) i powie on, że -prawdopodobieństwo termodynamiczne zajścia mikro-stanu, w którym w lewej połówce naczynia jest jedna, a w prawej dwie drobiny wynosi Wm=3. Tak samo dla rozkładu drobin:

29 Prawdopodobieństwo stanu
3. Niech w naczyniu znajdują się trzy cząstki. Liczba cząstek: N=3 L P Wm k - 1,2,3 1 8 1/8 2,3 3 3/8 2 1,3 1,2 -Prawdopodobieństwo termodynamiczne makrostanu (liczba mikrostanów) jest Wm=8. Dla obserwatora mikrostany drugi, trzeci i czwarty są identyczne (cząstki są nierozróżnialne) i powie on, że -prawdopodobieństwo termodynamiczne zajścia mikro-stanu, w którym w lewej połówce naczynia jest jedna, a w prawej dwie drobiny wynosi Wm=3. Tak samo dla rozkładu drobin: -w lewej połówce dwie drobiny, a w prawej jedna, prawdopodobieństwo termodynamiczne mikrostanu jest Wm=3.

30 Prawdopodobieństwo stanu
3. Niech w naczyniu znajdują się trzy cząstki. Liczba cząstek: N=3 L P Wm k - 1,2,3 1 8 1/8 2,3 3 3/8 2 1,3 1,2 -Prawdopodobieństwo termodynamiczne makrostanu (liczba mikrostanów) jest Wm=8. Dla obserwatora mikrostany drugi, trzeci i czwarty są identyczne (cząstki są nierozróżnialne) i powie on, że -prawdopodobieństwo termodynamiczne zajścia mikro-stanu, w którym w lewej połówce naczynia jest jedna, a w prawej dwie drobiny wynosi Wm=3. Tak samo dla rozkładu drobin: -w lewej połówce dwie drobiny, a w prawej jedna, prawdopodobieństwo termodynamiczne mikrostanu jest Wm=3. Na osiem mikrostanów 3 razy pojawią się mikrostany drugi, trzeci i czwarty a 3 razy piąty, szósty i siódmy. Stany pierwszy i ósmy pojawią się tylko po jednym razie.

31 Prawdopodobieństwo stanu
4. Niech w naczyniu znajdują się cztery cząstki.

32 Prawdopodobieństwo stanu
4. Niech w naczyniu znajdują się cztery cząstki. Liczba cząstek: N=4 L P Wm k - 1,2,3,4 1 16 1/16 2,3,4 4 4/16 2 1,3,4 3 1,2,4 1,2,3 1,2 3,4 6 6/16 1,3 2,4 1,4 2,3

33 Prawdopodobieństwo stanu
4. Niech w naczyniu znajdują się cztery cząstki. Liczba cząstek: N=4 L P Wm k - 1,2,3,4 1 16 1/16 2,3,4 4 4/16 2 1,3,4 3 1,2,4 1,2,3 1,2 3,4 6 6/16 1,3 2,4 1,4 2,3 Prawdopodobieństwo termodynamiczne makrostanu, czyli liczba mikrostanów jest Wm = 16.

34 Prawdopodobieństwo stanu
4. Niech w naczyniu znajdują się cztery cząstki. Liczba cząstek: N=4 L P Wm k - 1,2,3,4 1 16 1/16 2,3,4 4 4/16 2 1,3,4 3 1,2,4 1,2,3 1,2 3,4 6 6/16 1,3 2,4 1,4 2,3 Prawdopodobieństwo termodynamiczne makrostanu, czyli liczba mikrostanów jest Wm = 16. Dla obserwatora mikrostany, w których są po dwie drobiny w L i P będą zachodzić najczęściej (sześć razy na szesnaście mikrostanów), ponieważ dla nich jest największe prawdopodobieństwo mikrostanu Wm=6.

35 Prawdopodobieństwo stanu
4. Niech w naczyniu znajdują się cztery cząstki. Liczba cząstek: N=4 L P Wm k - 1,2,3,4 1 16 1/16 2,3,4 4 4/16 2 1,3,4 3 1,2,4 1,2,3 1,2 3,4 6 6/16 1,3 2,4 1,4 2,3 Prawdopodobieństwo termodynamiczne makrostanu, czyli liczba mikrostanów jest Wm = 16. Dla obserwatora mikrostany, w których są po dwie drobiny w L i P będą zachodzić najczęściej (sześć razy na szesnaście mikrostanów), ponieważ dla nich jest największe prawdopodobieństwo mikrostanu Wm=6. Pozostałe rozkłady drobin będą miały odpowiednio mniejsze prawdopodobieństwa termodynamiczne . Wm=4, Wm=1,.

36 Prawdopodobieństwo stanu
5. Niech w naczyniu znajduje się pięć cząstek.

37 Prawdopodobieństwo stanu
5. Niech w naczyniu znajduje się pięć cząstek. Liczba cząsteczek: N=5 L (liczba drobin) P (liczba drobin) Wm k - 5 1 32 1/32 4 5/32 2 3 10 10/32

38 Prawdopodobieństwo stanu
5. Niech w naczyniu znajduje się pięć cząstek. Prawdopodobieństwo termodynamiczne makrostanu Wm = 32. Liczba cząsteczek: N=5 L (liczba drobin) P (liczba drobin) Wm k - 5 1 32 1/32 4 5/32 2 3 10 10/32

39 Prawdopodobieństwo stanu
5. Niech w naczyniu znajduje się pięć cząstek. Prawdopodobieństwo termodynamiczne makrostanu Wm = 32. Liczba cząsteczek: N=5 L (liczba drobin) P (liczba drobin) Wm k - 5 1 32 1/32 4 5/32 2 3 10 10/32 Dla obserwatora mikrostany:

40 Prawdopodobieństwo stanu
5. Niech w naczyniu znajduje się pięć cząstek. Prawdopodobieństwo termodynamiczne makrostanu Wm = 32. Liczba cząsteczek: N=5 L (liczba drobin) P (liczba drobin) Wm k - 5 1 32 1/32 4 5/32 2 3 10 10/32 Dla obserwatora mikrostany: - dwie drobiny w L i trzy drobiny w P,

41 Prawdopodobieństwo stanu
5. Niech w naczyniu znajduje się pięć cząstek. Prawdopodobieństwo termodynamiczne makrostanu Wm = 32. Liczba cząsteczek: N=5 L (liczba drobin) P (liczba drobin) Wm k - 5 1 32 1/32 4 5/32 2 3 10 10/32 Dla obserwatora mikrostany: - dwie drobiny w L i trzy drobiny w P, trzy w L i dwie w P

42 Prawdopodobieństwo stanu
5. Niech w naczyniu znajduje się pięć cząstek. Prawdopodobieństwo termodynamiczne makrostanu Wm = 32. Liczba cząsteczek: N=5 L (liczba drobin) P (liczba drobin) Wm k - 5 1 32 1/32 4 5/32 2 3 10 10/32 Dla obserwatora mikrostany: - dwie drobiny w L i trzy drobiny w P, trzy w L i dwie w P będą zachodzić najczęściej.

43 Prawdopodobieństwo stanu
5. Niech w naczyniu znajduje się pięć cząstek. Prawdopodobieństwo termodynamiczne makrostanu Wm = 32. Liczba cząsteczek: N=5 L (liczba drobin) P (liczba drobin) Wm k - 5 1 32 1/32 4 5/32 2 3 10 10/32 Dla obserwatora mikrostany: - dwie drobiny w L i trzy drobiny w P, trzy w L i dwie w P będą zachodzić najczęściej. Dla nich prawdopodobieństwo mikrostanu jest Wm=10

44 Prawdopodobieństwo stanu
5. Niech w naczyniu znajduje się pięć cząstek. Prawdopodobieństwo termodynamiczne makrostanu Wm = 32. Liczba cząsteczek: N=5 L (liczba drobin) P (liczba drobin) Wm k - 5 1 32 1/32 4 5/32 2 3 10 10/32 Dla obserwatora mikrostany: - dwie drobiny w L i trzy drobiny w P, trzy w L i dwie w P będą zachodzić najczęściej. Dla nich prawdopodobieństwo mikrostanu jest Wm=10 . Pozostałe rozkłady drobin będą miały odpowiednio mniejsze prawdopodobieństwa termodynamiczne mikrostanu (Wm=5, Wm=1).

45 Prawdopodobieństwo stanu
6. Niech w naczyniu znajduje się sześć cząstek.

46 Prawdopodobieństwo stanu
6. Niech w naczyniu znajduje się sześć cząstek. Liczba cząsteczek: N=6 L (liczba drobin) P Wm k - 6 1 64 1/64 5 6/64 4 2 15 15/64 3 20 20/64 1/32

47 Prawdopodobieństwo stanu
6. Niech w naczyniu znajduje się sześć cząstek. Prawdopodobieństwo termodynamiczne makrostanu jest Wm = 64. Liczba cząsteczek: N=6 L (liczba drobin) P Wm k - 6 1 64 1/64 5 6/64 4 2 15 15/64 3 20 20/64 1/32

48 Prawdopodobieństwo stanu
6. Niech w naczyniu znajduje się sześć cząstek. Prawdopodobieństwo termodynamiczne makrostanu jest Wm = 64. Mikrostany, w których są trzy drobiny w L i trzy drobiny w P będą zachodzić najczęściej. Liczba cząsteczek: N=6 L (liczba drobin) P Wm k - 6 1 64 1/64 5 6/64 4 2 15 15/64 3 20 20/64 1/32

49 Prawdopodobieństwo stanu
6. Niech w naczyniu znajduje się sześć cząstek. Prawdopodobieństwo termodynamiczne makrostanu jest Wm = 64. Mikrostany, w których są trzy drobiny w L i trzy drobiny w P będą zachodzić najczęściej. Dla nich jest największe prawdopodobieństwa termodynamiczne mikrostanu Wm=20. Liczba cząsteczek: N=6 L (liczba drobin) P Wm k - 6 1 64 1/64 5 6/64 4 2 15 15/64 3 20 20/64 1/32

50 Prawdopodobieństwo stanu
6. Niech w naczyniu znajduje się sześć cząstek. Prawdopodobieństwo termodynamiczne makrostanu jest Wm = 64. Mikrostany, w których są trzy drobiny w L i trzy drobiny w P będą zachodzić najczęściej. Dla nich jest największe prawdopodobieństwa termodynamiczne mikrostanu Wm=20. Wynika z tego, że na każdych 64 mikrostany pojawiać się będzie 20 mikrostanów o rozkładzie 3 drobiny w L i 3 drobiny w P. Liczba cząsteczek: N=6 L (liczba drobin) P Wm k - 6 1 64 1/64 5 6/64 4 2 15 15/64 3 20 20/64 1/32

51 Prawdopodobieństwo stanu
6. Niech w naczyniu znajduje się sześć cząstek. Prawdopodobieństwo termodynamiczne makrostanu jest Wm = 64. Mikrostany, w których są trzy drobiny w L i trzy drobiny w P będą zachodzić najczęściej. Dla nich jest największe prawdopodobieństwa termodynamiczne mikrostanu Wm=20. Wynika z tego, że na każdych 64 mikrostany pojawiać się będzie 20 mikrostanów o rozkładzie 3 drobiny w L i 3 drobiny w P. Pozostałe rozkłady drobin będą miały odpowiednio mniejsze prawdopodobieństwa termodynamiczne (Wm=15, Wm=6, Wm=1) i będą zachodziły odpowiednio rzadziej. Liczba cząsteczek: N=6 L (liczba drobin) P Wm k - 6 1 64 1/64 5 6/64 4 2 15 15/64 3 20 20/64 1/32

52 Prawdopodobieństwo stanu
Zbierzmy dane ze wszystkich tabel.

53 Prawdopodobieństwo stanu
Zbierzmy dane ze wszystkich tabel. liczba drobin N=1 L P Wm k - 1 1/2

54 Prawdopodobieństwo stanu
Zbierzmy dane ze wszystkich tabel. liczba drobin N=1 L P Wm k - 1 1/2 liczba drobin N=2 L P Wm k - 2 1 1/4 2/4

55 Prawdopodobieństwo stanu
Zbierzmy dane ze wszystkich tabel. liczba drobin N=1 L P Wm k - 1 1/2 liczba drobin N=2 L P Wm k - 2 1 1/4 2/4 liczba drobin N=3 L P Wm k - 3 1 1/8 2 3/8

56 Prawdopodobieństwo stanu
Zbierzmy dane ze wszystkich tabel. liczba drobin N=1 L P Wm k - 1 1/2 liczba drobin N=4 L P Wm k - 4 1 1/16 3 4/16 2 6 6/16 liczba drobin N=2 L P Wm k - 2 1 1/4 2/4 liczba drobin N=3 L P Wm k - 3 1 1/8 2 3/8

57 Prawdopodobieństwo stanu
Zbierzmy dane ze wszystkich tabel. liczba drobin N=1 L P Wm k - 1 1/2 liczba drobin N=4 L P Wm k - 4 1 1/16 3 4/16 2 6 6/16 liczba drobin N=2 L P Wm k - 2 1 1/4 2/4 liczzba drobin N=5 L P Wm k - 5 1 1/32 4 5/32 2 3 10 10/32 liczba drobin N=3 L P Wm k - 3 1 1/8 2 3/8

58 Prawdopodobieństwo stanu
Zbierzmy dane ze wszystkich tabel. liczba drobin N=1 L P Wm k - 1 1/2 liczba drobin N=4 L P Wm k - 4 1 1/16 3 4/16 2 6 6/16 liczba drobin N=6 L P Wm k - 6 1 1/64 5 6/64 4 2 15 15/64 3 20 20/64 liczba drobin N=2 L P Wm k - 2 1 1/4 2/4 liczzba drobin N=5 L P Wm k - 5 1 1/32 4 5/32 2 3 10 10/32 liczba drobin N=3 L P Wm k - 3 1 1/8 2 3/8

59 Prawdopodobieństwo stanu
Zbierzmy dane ze wszystkich tabel. liczba drobin N=1 L P Wm k - 1 1/2 liczba drobin N=24 L P Wm k - 24 1 1/1024 23 242 ………. 2 22 2765 3 21 2 0245 4 20 5 19 6 18 7 17 8 16 9 15 1  10 14 1  11 13 2  12 2 704 1565 … ………………… liczba drobin N=4 L P Wm k - 4 1 1/16 3 4/16 2 6 6/16 liczba drobin N=6 L P Wm k - 6 1 1/64 5 6/64 4 2 15 15/64 3 20 20/64 liczba drobin N=2 L P Wm k - 2 1 1/4 2/4 liczzba drobin N=5 L P Wm k - 5 1 1/32 4 5/32 2 3 10 10/32 liczba drobin N=3 L P Wm k - 3 1 1/8 2 3/8 =224

60 Prawdopodobieństwo stanu
Z dotychczasowych analiz prawdopodobieństw zajścia stanów termodynamicznych wynika, że: są stany, dla których prawdopodobieństwo zajścia jest większe niż dla innych. Takie stany częściej będą zachodzić – są one bardziej prawdopodobne,

61 Prawdopodobieństwo stanu
Z dotychczasowych analiz prawdopodobieństw zajścia stanów termodynamicznych wynika, że: są stany, dla których prawdopodobieństwo zajścia jest większe niż dla innych. Takie stany częściej będą zachodzić – są one bardziej prawdopodobne, są stany, dla których prawdopodobieństwo zajścia jest mniejsze niż dla innych. Takie stany będą rzadziej się zdarzały – są one mniej prawdopodobne,

62 Prawdopodobieństwo stanu
Z dotychczasowych analiz prawdopodobieństw zajścia stanów termodynamicznych wynika, że: są stany, dla których prawdopodobieństwo zajścia jest większe niż dla innych. Takie stany częściej będą zachodzić – są one bardziej prawdopodobne, są stany, dla których prawdopodobieństwo zajścia jest mniejsze niż dla innych. Takie stany będą rzadziej się zdarzały – są one mniej prawdopodobne, wraz ze wzrostem liczby drobin w naczyniu prawdopodobieństwo zrealizowania stanów najbardziej prawdopodobnych staje się nieporównanie większe niż prawdopodobieństwo innych stanów,

63 Prawdopodobieństwo stanu
Z dotychczasowych analiz prawdopodobieństw zajścia stanów termodynamicznych wynika, że: są stany, dla których prawdopodobieństwo zajścia jest większe niż dla innych. Takie stany częściej będą zachodzić – są one bardziej prawdopodobne, są stany, dla których prawdopodobieństwo zajścia jest mniejsze niż dla innych. Takie stany będą rzadziej się zdarzały – są one mniej prawdopodobne, wraz ze wzrostem liczby drobin w naczyniu prawdopodobieństwo zrealizowania stanów najbardziej prawdopodobnych staje się nieporównanie większe niż prawdopodobieństwo innych stanów, największe prawdopodobieństwo posiada grupa takich stanów, w których cząsteczki rozmieszczone są równomiernie,

64 Prawdopodobieństwo stanu
Z dotychczasowych analiz prawdopodobieństw zajścia stanów termodynamicznych wynika, że: są stany, dla których prawdopodobieństwo zajścia jest większe niż dla innych. Takie stany częściej będą zachodzić – są one bardziej prawdopodobne, są stany, dla których prawdopodobieństwo zajścia jest mniejsze niż dla innych. Takie stany będą rzadziej się zdarzały – są one mniej prawdopodobne, wraz ze wzrostem liczby drobin w naczyniu prawdopodobieństwo zrealizowania stanów najbardziej prawdopodobnych staje się nieporównanie większe niż prawdopodobieństwo innych stanów, największe prawdopodobieństwo posiada grupa takich stanów, w których cząsteczki rozmieszczone są równomiernie, najmniejsze prawdopodobieństwo posiada grupa takich stanów, w których cząsteczki skupione są w jednej połowie naczynia.

65 Prawdopodobieństwo stanu
Z dotychczasowych analiz prawdopodobieństw zajścia stanów termodynamicznych wynika, że: są stany, dla których prawdopodobieństwo zajścia jest większe niż dla innych. Takie stany częściej będą zachodzić – są one bardziej prawdopodobne, są stany, dla których prawdopodobieństwo zajścia jest mniejsze niż dla innych. Takie stany będą rzadziej się zdarzały – są one mniej prawdopodobne, wraz ze wzrostem liczby drobin w naczyniu prawdopodobieństwo zrealizowania stanów najbardziej prawdopodobnych staje się nieporównanie większe niż prawdopodobieństwo innych stanów, największe prawdopodobieństwo posiada grupa takich stanów, w których cząsteczki rozmieszczone są równomiernie, najmniejsze prawdopodobieństwo posiada grupa takich stanów, w których cząsteczki skupione są w jednej połowie naczynia. Układy samoistnie dążą do takich stanów, dla których prawdopodobieństwo jest największe

66 Prawdopodobieństwo stanu - przykłady

67 Prawdopodobieństwo stanu - przykłady
Ciepło jest przekazywane od ciała cieplejszego do chłodniejszego dlatego, że prawdopodobieństwo dla układu, jaki wtedy powstanie (wszystkie drobiny będą równomiernie obdzielone energiami kinetycznymi), jest bardzo duże. Jeśli to będą dwa gazy, to ich cząsteczki wymieszają się równomiernie.

68 Prawdopodobieństwo stanu - przykłady
Ciepło jest przekazywane od ciała cieplejszego do chłodniejszego dlatego, że prawdopodobieństwo dla układu, jaki wtedy powstanie (wszystkie drobiny będą równomiernie obdzielone energiami kinetycznymi), jest bardzo duże. Jeśli to będą dwa gazy, to ich cząsteczki wymieszają się równomiernie. Ciepło nie może samoistnie przepływać od ciała zimniejszego do cieplejszego dlatego, że prawdopodobieństwo dla układu, jaki wtedy powstałby (uporządkowanie gazu wzrosłoby – cząstki szybsze przechodziłyby do szybszych a wolniejsze do wolniejszych) jest bardzo małe. Takie procesy zachodzą, ale z tak małym prawdopodobieństwem, że nasze życie nie wystarcza na to, aby taki ewenement zaobserwować.

69 Prawdopodobieństwo stanu - przykłady
Dyfuzja prowadzi do samoistnego, równomiernego wymieszania się dwóch różnych gazów lub cieczy. W wyniku tego powstaje jednorodna mieszanina.

70 Prawdopodobieństwo stanu - przykłady
Dyfuzja prowadzi do samoistnego, równomiernego wymieszania się dwóch różnych gazów lub cieczy. W wyniku tego powstaje jednorodna mieszanina. Prawdopodobieństwo dla otrzymania jednorodnej mieszaniny, czyli praw-dopodobieństwo zajścia „molekularnego nieporządku” jest nieporównywalnie większe niż prawdopodobieństwo „molekularnego porządku” odpowiadającego ponownemu rozdzieleniu się gazów lub cieczy.

71 Prawdopodobieństwo stanu - przykłady
Dyfuzja prowadzi do samoistnego, równomiernego wymieszania się dwóch różnych gazów lub cieczy. W wyniku tego powstaje jednorodna mieszanina. Prawdopodobieństwo dla otrzymania jednorodnej mieszaniny, czyli praw-dopodobieństwo zajścia „molekularnego nieporządku” jest nieporównywalnie większe niż prawdopodobieństwo „molekularnego porządku” odpowiadającego ponownemu rozdzieleniu się gazów lub cieczy. To dlatego, dzięki nieuporządkowanemu ruchowi drobin, układ samoistnie przejdzie w stan najbardziej prawdopodobny.

72 Prawdopodobieństwo stanu - przykłady
Dyfuzja prowadzi do samoistnego, równomiernego wymieszania się dwóch różnych gazów lub cieczy. W wyniku tego powstaje jednorodna mieszanina. Prawdopodobieństwo dla otrzymania jednorodnej mieszaniny, czyli praw-dopodobieństwo zajścia „molekularnego nieporządku” jest nieporównywalnie większe niż prawdopodobieństwo „molekularnego porządku” odpowiadającego ponownemu rozdzieleniu się gazów lub cieczy. To dlatego, dzięki nieuporządkowanemu ruchowi drobin, układ samoistnie przejdzie w stan najbardziej prawdopodobny. Proces odwrotny (rozdzielenie się gazów lub cieczy) jest możliwy, lecz tak mało prawdopodobny, że praktycznie nigdy nie zachodzi.

73 Prawdopodobieństwo stanu - przykłady
Samoistnie zachodzi przemiana energii mechanicznej w wewnętrzną.

74 Prawdopodobieństwo stanu - przykłady
Samoistnie zachodzi przemiana energii mechanicznej w wewnętrzną. Np. hamujący samochód posiadał energię mechaniczną, w wyniku której wszystkie jego cząsteczki miały taką samą prędkość (oprócz swojej własnej). W wyniku hamowania uporządkowana energia mechaniczna drobin jest zamieniana na wewnętrzną, czyli energię nieuporządkowaną.

75 Prawdopodobieństwo stanu - przykłady
Samoistnie zachodzi przemiana energii mechanicznej w wewnętrzną. Np. hamujący samochód posiadał energię mechaniczną, w wyniku której wszystkie jego cząsteczki miały taką samą prędkość (oprócz swojej własnej). W wyniku hamowania uporządkowana energia mechaniczna drobin jest zamieniana na wewnętrzną, czyli energię nieuporządkowaną. Proces zamiany energii mechanicznej na wewnętrzną, to proces prowadzący do większego nieuporządkowania, dla którego prawdopodobieństwo jest dużo większe niż dla procesu odwrotnego. Dotyczy to wszystkich ruchów z tarciem. Nigdy nie obserwujemy zjawiska odwrotnego.

76 Prawdopodobieństwo stanu - przykłady
Samoistnie zachodzi przemiana energii mechanicznej w wewnętrzną. Np. hamujący samochód posiadał energię mechaniczną, w wyniku której wszystkie jego cząsteczki miały taką samą prędkość (oprócz swojej własnej). W wyniku hamowania uporządkowana energia mechaniczna drobin jest zamieniana na wewnętrzną, czyli energię nieuporządkowaną. Proces zamiany energii mechanicznej na wewnętrzną, to proces prowadzący do większego nieuporządkowania, dla którego prawdopodobieństwo jest dużo większe niż dla procesu odwrotnego. Dotyczy to wszystkich ruchów z tarciem. Nigdy nie obserwujemy zjawiska odwrotnego. W procesie odwrotnym energia chaosu musiałaby zamienić się na uporządkowaną i wtedy np. bez bodźców zewnętrznych samochód ruszyłby.

77 Prawdopodobieństwo stanu - przykłady
Samoistnie zachodzi przemiana energii mechanicznej w wewnętrzną. Np. hamujący samochód posiadał energię mechaniczną, w wyniku której wszystkie jego cząsteczki miały taką samą prędkość (oprócz swojej własnej). W wyniku hamowania uporządkowana energia mechaniczna drobin jest zamieniana na wewnętrzną, czyli energię nieuporządkowaną. Proces zamiany energii mechanicznej na wewnętrzną, to proces prowadzący do większego nieuporządkowania, dla którego prawdopodobieństwo jest dużo większe niż dla procesu odwrotnego. Dotyczy to wszystkich ruchów z tarciem. Nigdy nie obserwujemy zjawiska odwrotnego. W procesie odwrotnym energia chaosu musiałaby zamienić się na uporządkowaną i wtedy np. bez bodźców zewnętrznych samochód ruszyłby. Prawdopodobieństwo samorzutnej zamiany energii wewnętrznej („energii chaosu”) na mechaniczną („energię porządku”) jest niezmiernie małe i praktycznie niezauważalne.

78 Prawdopodobieństwo stanu - przykłady
Jeśli do skrzyni nasypiemy warstwę nasion grochu, a na nią drugą ziaren fasoli i wymieszamy łopatą, to potem możemy mieszać do końca naszego życia i nie doczekamy się, że z powrotem na dole będą tylko nasiona grochu, a na górze nasiona fasoli.

79 Prawdopodobieństwo stanu - przykłady
Jeśli do skrzyni nasypiemy warstwę nasion grochu, a na nią drugą ziaren fasoli i wymieszamy łopatą, to potem możemy mieszać do końca naszego życia i nie doczekamy się, że z powrotem na dole będą tylko nasiona grochu, a na górze nasiona fasoli. Już dla 10 ziaren grochu i 10 fasoli prawdopodobieństwo ponownego ich rozdzielenia, w wyniku mieszania łopatą, jest tylko 0,00054 %.

80 Prawdopodobieństwo stanu - przykłady
Jeśli do skrzyni nasypiemy warstwę nasion grochu, a na nią drugą ziaren fasoli i wymieszamy łopatą, to potem możemy mieszać do końca naszego życia i nie doczekamy się, że z powrotem na dole będą tylko nasiona grochu, a na górze nasiona fasoli. Już dla 10 ziaren grochu i 10 fasoli prawdopodobieństwo ponownego ich rozdzielenia, w wyniku mieszania łopatą, jest tylko 0,00054 %. Prawdopodobieństwo tego, że w górnym rzędzie będzie 5 ziaren grochu i 5 ziaren fasoli jest bardzo duże i wynosi aż 34,37 %.

81 Entropia, a prawdopodobieństwo

82 Entropia, a prawdopodobieństwo
Tabela obok przedstawia prawdopodobieństwa termodynamiczne makrostanów (liczbę mikrostanów) Wm dla dwóch równych części naczynia (L i P) w zależności od liczby drobin w naczyniu N. N Wm 1 2=21 2 4=22 3 8=23 4 16=24 5 32=25 6 64=26 n 1020

83 Entropia, a prawdopodobieństwo
Tabela obok przedstawia prawdopodobieństwa termodynamiczne makrostanów (liczbę mikrostanów) Wm dla dwóch równych części naczynia (L i P) w zależności od liczby drobin w naczyniu N. Jeśli przez W1=2 oznaczymy prawdopodobieństwo mikrostanów maksymalnie uporządkowanych, czyli znalezienia wszystkich drobin w L lub w P, to istnieje związek: Wm=(W1)N N Wm 1 2=21 2 4=22 3 8=23 4 16=24 5 32=25 6 64=26 n 1020

84 Entropia, a prawdopodobieństwo
Tabela obok przedstawia prawdopodobieństwa termodynamiczne makrostanów (liczbę mikrostanów) Wm dla dwóch równych części naczynia (L i P) w zależności od liczby drobin w naczyniu N. Jeśli przez W1=2 oznaczymy prawdopodobieństwo mikrostanów maksymalnie uporządkowanych, czyli znalezienia wszystkich drobin w L lub w P, to istnieje związek: Wm=(W1)N Jeśli będziemy dzielili naczynie na dwie różne części, to prawdopodobieństwo mikrostanów maksymalnie uporządkowanych, czyli znalezienia wszystkich drobin w jednej części W1, będzie zależało wprost proporcjonalnie od objętości V tej części: W1=aV gdzie a to stała. N Wm 1 2=21 2 4=22 3 8=23 4 16=24 5 32=25 6 64=26 n 1020

85 Entropia, a prawdopodobieństwo
Tabela obok przedstawia prawdopodobieństwa termodynamiczne makrostanów (liczbę mikrostanów) Wm dla dwóch równych części naczynia (L i P) w zależności od liczby drobin w naczyniu N. Jeśli przez W1=2 oznaczymy prawdopodobieństwo mikrostanów maksymalnie uporządkowanych, czyli znalezienia wszystkich drobin w L lub w P, to istnieje związek: Wm=(W1)N Jeśli będziemy dzielili naczynie na dwie różne części, to prawdopodobieństwo mikrostanów maksymalnie uporządkowanych, czyli znalezienia wszystkich drobin w jednej części W1, będzie zależało wprost proporcjonalnie od objętości V tej części: W1=aV gdzie a to stała. Prawdopodobieństwo makrostanu będzie wtedy: Wm = (aV)N N Wm 1 2=21 2 4=22 3 8=23 4 16=24 5 32=25 6 64=26 n 1020

86 Entropia, a prawdopodobieństwo
Prawdopodobieństwa termodynamiczne makrostanów, w których N drobin będzie się znajdować się w objętości V1 lub w objętości V2 naczynia będą:

87 Entropia, a prawdopodobieństwo
Prawdopodobieństwa termodynamiczne makrostanów, w których N drobin będzie się znajdować się w objętości V1 lub w objętości V2 naczynia będą: W1 = (aV1 )N W

88 Entropia, a prawdopodobieństwo
Prawdopodobieństwa termodynamiczne makrostanów, w których N drobin będzie się znajdować się w objętości V1 lub w objętości V2 naczynia będą: W1 = (aV1 )N W2 = (aV2 )N

89 Entropia, a prawdopodobieństwo
Prawdopodobieństwa termodynamiczne makrostanów, w których N drobin będzie się znajdować się w objętości V1 lub w objętości V2 naczynia będą: W1 = (aV1 )N W2 = (aV2 )N Z równań tych wynika, że:

90 Entropia, a prawdopodobieństwo
Prawdopodobieństwa termodynamiczne makrostanów, w których N drobin będzie się znajdować się w objętości V1 lub w objętości V2 naczynia będą: W1 = (aV1 )N W2 = (aV2 )N Z równań tych wynika, że: W1

91 Entropia, a prawdopodobieństwo
Prawdopodobieństwa termodynamiczne makrostanów, w których N drobin będzie się znajdować się w objętości V1 lub w objętości V2 naczynia będą: W1 = (aV1 )N W2 = (aV2 )N Z równań tych wynika, że: W1 W2

92 Entropia, a prawdopodobieństwo
Prawdopodobieństwa termodynamiczne makrostanów, w których N drobin będzie się znajdować się w objętości V1 lub w objętości V2 naczynia będą: W1 = (aV1 )N W2 = (aV2 )N Z równań tych wynika, że: W1 W2 Dzieląc przez siebie ostatnie dwa równania znajdujemy:

93 Entropia, a prawdopodobieństwo
Prawdopodobieństwa termodynamiczne makrostanów, w których N drobin będzie się znajdować się w objętości V1 lub w objętości V2 naczynia będą: W1 = (aV1 )N W2 = (aV2 )N Z równań tych wynika, że: W1 W2 Dzieląc przez siebie ostatnie dwa równania znajdujemy: W2 W1

94 Entropia, a prawdopodobieństwo
Prawdopodobieństwa termodynamiczne makrostanów, w których N drobin będzie się znajdować się w objętości V1 lub w objętości V2 naczynia będą: W1 = (aV1 )N W2 = (aV2 )N Z równań tych wynika, że: W1 W2 Dzieląc przez siebie ostatnie dwa równania znajdujemy: W2 W1 Otrzymaną zależność wykorzystamy do wykazania związku między entropią s i prawdopodobieństwem termodynamicznym W.

95 Entropia, a prawdopodobieństwo
Wcześniej wykazaliśmy, że w izotermicznej przemianie stałej masy gazu entropia jest:

96 Entropia, a prawdopodobieństwo
Wcześniej wykazaliśmy, że w izotermicznej przemianie stałej masy gazu entropia jest: Wstawiając pierwsze z tych równań do drugiego znajdujemy:

97 Entropia, a prawdopodobieństwo
Wcześniej wykazaliśmy, że w izotermicznej przemianie stałej masy gazu entropia jest: Wstawiając pierwsze z tych równań do drugiego znajdujemy: W2 W2 W2 W2 W2 W1 W1 W1 W1 W1 Skorzystaliśmy z tego, że:

98 Entropia, a prawdopodobieństwo
Wcześniej wykazaliśmy, że w izotermicznej przemianie stałej masy gazu entropia jest: Wstawiając pierwsze z tych równań do drugiego znajdujemy: W2 W2 W2 W2 W2 W1 W1 W1 W1 W1 Skorzystaliśmy z tego, że: - stała Avogadry, - liczba moli gazu, - Stała Boltzmanna.

99 Entropia, a prawdopodobieństwo
Z ostatniego równania mamy:mamy: W2 W1

100 Entropia, a prawdopodobieństwo
Z ostatniego równania mamy:mamy: W2 W1 Z zależności tej wynika, że entropię będziemy przedstawiali wzorem: W

101 Entropia, a prawdopodobieństwo
Z ostatniego równania mamy:mamy: W2 W1 Z zależności tej wynika, że entropię będziemy przedstawiali wzorem: W Jest to statystyczna definicja entropii, która wiąże obraz termodynamiczny z obrazem statystyczno-mechanicznym. Pozwala ona sformułować drugą zasadę termodynamiki na gruncie rachunku prawdopodobieństwa:

102 Entropia, a prawdopodobieństwo
Z ostatniego równania mamy:mamy: W2 W1 Z zależności tej wynika, że entropię będziemy przedstawiali wzorem: W Jest to statystyczna definicja entropii, która wiąże obraz termodynamiczny z obrazem statystyczno-mechanicznym. Pozwala ona sformułować drugą zasadę termodynamiki na gruncie rachunku prawdopodobieństwa: kierunek przebiegu procesów samorzutnych (ku większej entropii) jest zdeterminowany przez rachunek prawdopodobieństwa (ku stanowi bardziej prawdopodobnemu).

103 Entropia, a prawdopodobieństwo
Z ostatniego równania mamy:mamy: W2 W1 Z zależności tej wynika, że entropię będziemy przedstawiali wzorem: W Jest to statystyczna definicja entropii, która wiąże obraz termodynamiczny z obrazem statystyczno-mechanicznym. Pozwala ona sformułować drugą zasadę termodynamiki na gruncie rachunku prawdopodobieństwa: kierunek przebiegu procesów samorzutnych (ku większej entropii) jest zdeterminowany przez rachunek prawdopodobieństwa (ku stanowi bardziej prawdopodobnemu). Stan równowagi: w ujęciu termodynamicznym to stan o największej entropii,

104 Entropia, a prawdopodobieństwo
Z ostatniego równania mamy:mamy: W2 W1 Z zależności tej wynika, że entropię będziemy przedstawiali wzorem: W Jest to statystyczna definicja entropii, która wiąże obraz termodynamiczny z obrazem statystyczno-mechanicznym. Pozwala ona sformułować drugą zasadę termodynamiki na gruncie rachunku prawdopodobieństwa: kierunek przebiegu procesów samorzutnych (ku większej entropii) jest zdeterminowany przez rachunek prawdopodobieństwa (ku stanowi bardziej prawdopodobnemu). Stan równowagi: w ujęciu termodynamicznym to stan o największej entropii, w ujęciu statystycznym to stan najbardziej prawdopodobny.