Struktury i Uczenie Symulacje

Prezentacja na temat: "Struktury i Uczenie Symulacje"— Zapis prezentacji:

1 Struktury i Uczenie Symulacje
EE141 Inteligentne Systemy Autonomiczne Struktury i Uczenie Symulacje W oparciu o wykład Prof. Randall O'Reilly University of Colorado oraz Prof. Włodzisława Ducha Uniwersytet Mikołaja Kopernika Janusz A. Starzyk Wyższa Szkoła Informatyki i Zarządzania w Rzeszowie

2 EE141 Neurony i reguły Pojedyncze neurony pozwalają na detekcję elementarnych cech. Do czego można użyć modelu neuronu? Pojedyncze neurony pozwalają na detekcję elementarnych cech. Do czego można użyć modelu neuronu? Logika klasyczna: Jeśli A1 i A2 i A3 to Konkluzja Np. Jeśli Ból głowy i Ból mięśni i Katar to Grypa Logika progowa neuronów: Jeśli M z N warunków jest spełnionych to Konkluzja Warunki mogą mieć różne wagi; logikę klasyczną można łatwo zrealizować za pomocą neuronów. Jest ciągłe przejście pomiędzy regułami i podobieństwem: dla kilku zmiennych przydatne są reguły, dla wielu podobieństwo. |W-A|2 = |W|2 + |A|2 - 2W.A = 2(1 - W.A), dla unormowanych X, A, więc silne pobudzenie = mała odległość (duże podobieństwo ).

3 EE141 Pandemonium w akcji Demon (gr. daimon - ten, który coś rozdziela lub ten, który coś przydziela, Demony obserwujące cechy: | kreska pionowa D1 -- kreska pozioma D2 / kreska skośna w prawo D3 \ kreska skośna w lewo D4 V demony 3, 4 => D5 T demony 1, 2 => D6 A demony 2, 3, 4 => D7 K demony 1, 3, 4 => D8 demony 6,7,8 => D9 Im lepiej pasuje tym głośniej krzyczą. Demon podejmujący decyzję: D9 nie odróżnia TAK od KAT ... do tego potrzebne jest rozpoznanie sekwencji Każdy demon podejmuje prosta decyzję ale całość jest dość złożona.

4 EE141 Symulacje Jakie cechy należy obserwować by rozumieć mowę? język? obrazy? twarze? działać twórczo? Symulacje: napisz równania określające jak dobre jest dopasowanie, jak głośno mają krzyczeć demony. Jak zredukować biologię do równań? Sprawność synaptyczna: jak silnie Aktywność presynaptycznego neuronu: ile pęcherzyków, ile neutoransmitera na pęcherzyk, ile absorbuje postsynaptyczny Postsynaptyczny: ile receptorów, geometria, odległość od kolca itp. Skrajne uproszczenie: jedna liczba charakteryzująca sprawność.

5 Neurony i sieci Jakie własności ma sieć neuronów?
EE141 Neurony i sieci Jakie własności ma sieć neuronów? Jak można wpłynąć na sieć neuronów, by robiła coś ciekawego? Biologia: sieci są w korze (neocortex) i strukturach podkorowych. neurony pobudzające (85%) i hamujące (15%). Ogólnie pobudzenia mogą być: głównie w jednym kierunku transformacja sygnałów; w obu kierunkach uzupełnianie brakującej informacji uzgadnianie hipotez i wzmacnianie słabych sygnałów. większość neuronów pobudzających jest dwukierunkowych. Hamowanie: kontroluje wzajemne pobudzenia, konieczne by unikać dodatniego sprzężenia zwrotnego (padaczka). Całość umożliwia interpretacje nadchodzącej informacji w świetle wiedzy o jej znaczeniu, zakodowanej w strukturze sieci.

6 Ogólna struktura sieci
EE141 Ogólna struktura sieci Czy kora ma jakieś własności ogólne czy też jej budowa zależy od funkcji: percepcyjnych, ruchowych, skojarzeniowych? Istnieje funkcjonalna specjalizacja kory, widoczne różnice różnych obszarów, stąd podział na pola Brodmana. Zachowany jest ogólny schemat: A neurony pobudzające główny NT to kwas glutaminowy, AMPA receptor otwiera kanały Na+, pobudza długie aksony, komunikacja wewnątrz i między grupami neuronów NMDA receptor otwiera kanały Ca++, prowadzi do uczenia około 85%, głównie komórki piramidowe, gwiaździste + ... B neurony hamujące główny NT to GABA (kwas gamma-aminomasłowy), otwiera kanały Cl-, interneurony, lokalne projekcje, regulacja poziomu pobudzenia; GABA-A efekt krótkoterminowy BAGA – B efekt długoterminowy około 15%: komórki koszyczkowe i kandelabrowe + ...

7 Komórki piramidowe, gwiaździste, koszyczkowe, kandelabrowe, wrzecionowe
EE141

8 Neurony pobudzające i hamujące
EE141 Neurony pobudzające i hamujące Kwas glutaminowy otwiera kanały Na+, pobudzająco, GABA działa na kanały Cl- hamując pobudzanie. Piramidowe i gwiazdziste Koszyczkowe kandelabrowe

9 EE141 Struktura laminarna Kora ma grubość 2-4 mm, składa się z 6 warstw, o różnej grubości w różnych częściach mózgu. A B C D A - kora wzrokowa ma grubszą warstwę wejściową 4a-c; B - kora ciemieniowa ma grubsze warstwy ukryte 2 i 3; C - kora ruchowa ma grubsze warstwy wyjściowe 5-6; D – kora przedczołowa nie ma wyraźnie grubszych warstw.

10 Połączenia warstw Podział funkcjonalny warstw:
EE141 Połączenia warstw Podział funkcjonalny warstw: wejściowa warstwa 4, dopływ informacji z wzgórza, zmysłów; wyjściowe warstwy 5/6, ośrodki podkorowe, polecenia ruchowe; warstwy ukryte 2/3, przetwarzając informację lokalną i z odległych grup neuronów, dochodzącą przez aksony z warstwy 1. W każdej warstwie mamy lokalne połączenia zwrotne. Warstwy ukryte: wydobywają pewne cechy z sygnału, wzmacniają jedne a osłabiają inne; umożliwia to realizację złożonych transformacji sygnału. Takiej organizacji wymaga też pamięć epizodyczna.

11 Połączenia dokładniej
EE141 Połączenia dokładniej te bloki maga być łączone kaskadowo 1) Warstwa wejściowa 4, wstępnie przetwarzana informacja zewnętrzna. 2) Warstwy ukryte 2/3, dalsze przetwarzanie, skojarzenia, mało we/wyj. 3) Warstwy wyjściowe 5/6, ośrodki podkorowe, polecenia ruchowe.

12 EE141 Proste transformacje Połączenia jednokierunkowe są wyjątkami, ale taki model daje się uogólnić na sytuację ze sprzężeniami zwrotnymi. Przetwarzanie „od podstaw do góry” (bottom-up): kolektywnie neuronowe detektory dokonują transformacji, kategoryzacji wybranych sygnałów, odróżniając podobne od odmiennych. Detektory tworzą reprezentację informacji dochodzącej do warstwy ukrytej. Najprostszy przypadek: binarne wzorce cyfr na siatce 5x7 na wejściu, wszystkie wzorce podobne do danej cyfry powinny pobudzać tą samą jednostkę ukrytą w siatce 5x2.

13 Detektor cyfr - symulacja
EE141 Detektor cyfr - symulacja W programie Emergent (Start/Programy/Emergent) wybieramy File/Open Project, następnie otwieramy projekt bidir_xform.proj dostępny na stronie Okienko Digital_Network pokazuje strukturę sieci, dwie warstwy, wejście i wyjście. Oglądanie wag połączonych z wybraną jednostką ukrytą: klikamy na r.wt (w zakładce Digit_Network), a potem na daną jednostkę: wagi są dopasowane dokładnie do cyfr.

14 Detektor cyfr - sieć Wagi wejściowe dla wybranej cyfry
EE141 Detektor cyfr - sieć Wagi wejściowe dla wybranej cyfry (zakładka Digit_Network) r.wt pokazuje wagi dla jednostek ukrytych, tu wszystkie 0 lub 1. s.wt pokazuje pojedyncze połączenia, np. lewy górny róg wejścia jest =1 dla 5 i 7.

15 Detektor cyfr - działanie
EE141 Detektor cyfr - działanie Zamiast r.wt wybieramy act (w Digit_Network). W okienku kontroli ControlPanel wybieramy step, uruchamiając krok po kroku prezentację kolejnych cyfr. Stopień pobudzenia jednostek ukrytych dla wybranej cyfry jest duży (kolor żółty lub czerwony), dla pozostałych jest zero (kolor szary). Dobrze odróżnialne, np. 4, mają wyższe pobudzenia niż słabiej odróżnialne, np. 3.

16 EE141 GridLog Jaka jest aktywność poszczególnych detektorów przy pojawieniu się jednego wzorca wejściowego? W okienku kontroli ControlPanel wybieramy Init i Run a następnie w oknie Digit_Network obserwujemy  Dla każdego wzorca wszystkie jednostki pobudzają się do pewnego stopnia; widać tu dużą rolę progów, które pozwalają wybrać jednostkę właściwą; w okienku ControlPanel możemy wyłączyć progi (biases off) i zobaczyć, że niektóre cyfry nie są rozpoznawane.

17 Okienko Digits W oknie Digits widzimy wszystkie wzorce.
EE141 Okienko Digits W oknie Digits widzimy wszystkie wzorce. Klikając dwa razy na wzorzec możemy go zmieniać.

18 Podobieństwo wzorców W oknie ClusterPlot wybieramy Digits, Init i Run.
EE141 Podobieństwo wzorców W oknie ClusterPlot wybieramy Digits, Init i Run. Klasteryzacja za pomocą dendrogramów obrazuje wzajemne podobieństwo wektorów, długość kreski d(A,B) = |A-B|. Hierarchiczna klasteryzacja wektorów reprezentujących wzorce wejściowe: mocno podobne są cyfry 8 i 3: 13 identycznych bitów, oraz 4 i 0, tylko 4 wspólne bity.

19 Podobieństwo zniekształconych wzorców
EE141 Podobieństwo zniekształconych wzorców W oknie ClusterPlot wybieramy Noisy_digits, Apply i Step obserwując w okienku ClusterPlotData, oglądamy act, pobudzenia ukrytych neuronów. Mamy wzorzec + 2 zniekształcone, podobieństwo zniekształconych cyfr pokazują dendrogramy.

20 Kanały upływu (potasowe)
EE141 Kanały upływu (potasowe) Zmiana przewodności kanałów upływu wpływa na selektywność neuronów, dla mniejszej wartości l (ang. constant leak channel) odpowiedzi robią się stopniowe. W oknie ControlPanel zmniejszymy l = 6, do l = 4. Więcej skojarzeń  mniejsza precyzja. l =6 l =4

21 EE141 Litery Sieć dla cyfr zastosujemy do liter ... jedynie S przypomina 8, pozostałe jednostki ukryte niczego nie rozpoznają. Detektory są wyspecjalizowane do określonych zadań! Nie rozpoznamy chińskich znaków jeśli znamy tylko koreański. Dendrogramy dla reprezentacji liter przed i po transformacji. Co będzie jeśli zmniejszymy przewodność kanału upływu?

22 Reprezentacje lokalne i rozproszone
EE141 Reprezentacje lokalne i rozproszone Reprezentacje lokalne : jeden neuron ukryty reprezentuje jeden wzorzec takie neurony nazywa się „komórkami babci” (grandmother cells). Reprezentacje rozproszone : wiele neuronów reaguje na jeden wzorzec, każdy neuron bierze udział w reakcji na wiele wzorców. Obserwacje aktywizacji neuronu w części kory wizyjnej małpy przy rożnych pobudzeniach potwierdza istnienie reprezentacji rozproszonych - ładne demo.

23 Reprezentacje rozproszone
EE141 Reprezentacje rozproszone Wzorce mogą być reprezentowane w rozproszony sposób przez zbiór ich cech (feature-based coding). Cechy są obecne „w pewnym stopniu”. Ukryte neurony można interpretować jako stopień wykrycia danej cechy – tak robi się w logice rozmytej. Zalety reprezentacji rozproszonej (RR): Oszczędność: wzorce mogą być reprezentowane przez kombinacje aktywacji wielu jednostek; n lokalnych jednostek = 2n kombinacji. Podobieństwo: wzorce podobne mają zbliżone RR, częściowo się nakładające. Generalizacja: nowe wzorce aktywują różne RR dając zwykle aproksymację do sensownej odpowiedzi, między A i B. Odporność na uszkodzenia, nadmiarowość systemu. Dokładność: RR cech ciągłych jest bardziej realistyczna niż skokowe aktywacje lokalne. Uczenie się: staje się łatwiejsze dla ciągłych łagodnych zmian w RR.

24 EE141 Eksperyment z RR Projekt loc_dist.proj ze strony Do reprezentacji cyfr używamy teraz 5 jednostek. Sieć reaguje na obecność pewnych cech, np. pierwszy neuron ukryty reaguje z… (rysunek na dole slajdu) Rozproszone reprezentacje mogą działać nawet na przypadkowo wybranych cechach: nowa RR = rzut wzorców wejściowych do jakiejś przestrzeni cech. Gridlog pokazuje rozkład aktywności net i wyjścia z sieci, pokazując stopień obecności danej cechy. Dendrogram wygląda całkiem inaczej niż dla lokalnej sieci.

25 EE141 Sprzężenie zwrotne Sieci mają prawie zawsze sprzężenia zwrotne pomiędzy neuronami. Rekurencja: powtórne, powtarzające się pobudzenie, stąd sieci z rekurencją, dwukierunkowe (bidirectional). Od podstaw do góry i odwrotnie, albo rozpoznanie i wyobraźnia. Rekurencja umożliwia dopełnianie wzorców, powstawanie rezonansów pomiędzy skojarzonymi reprezentacjami, wzmacnianie słabych pobudzeń oraz inicjację rozpoznawania. Przykład: rozpoznaj drugą literę w prostych słowach: LATO (szybciej) BAZS (wolniej) Dziwne: rozpoznawanie tekstu przebiega od liter do słów; jak wiec słowo pomaga w rozpoznaniu litery?

26 EE141 Rekurencja dla cyfr Sieć z ukrytą warstwą 2x5, połączoną zwrotnie z wejściami. Symetryczne połączenia: te same wagi Wij=Wji. Środkowy piksel aktywuje 7 neuronów ukrytych, każdy neuron ukryty aktywuje wszystkie piksele z danej cyfry, ale wejścia są tu brane zawsze z wzorców cyfr. Kombinacje pobudzeń ukrytych neuronów

27 EE141 Dopełnianie wzorców Projekt pat_complete.proj. Sieć z jedną warstwą 5x7, połączoną zwrotnie z sobą. Symetryczne połączenia: te same wagi Wij=Wji. Jednostki należące do wzorca 8 są ze sobą połączone z waga 1, pozostałe mają wagi 0. Aktywacje jednostek wejściowych nie są tu ustalone przez wzorce (hard clamping), a jedynie inicjowane przez te wzorce (soft clamping), więc mogą się zmieniać. Sprawdź zależność minimalnej liczby jednostek wystarczających do odtworzenia wzorca od przewodności kanałów jonowych. Dla dużego l start z częściowego wzorca wymaga coraz większej liczby prawidłowo zainicjowanych pikseli, dla l = 3 potrzeba >6 pikseli, dla l = 4 potrzeba >8 pikseli, dla l = 5 potrzeba >11 pikseli.

28 Wzmacnianie rekurencyjne
EE141 Wzmacnianie rekurencyjne Projekt amp_top_down.proj. Od bardzo słabej aktywacji jakiegoś wzorca procesy amplifikacji mogą doprowadzić do pełnego pobudzenia wzorca lub niekontrolowanego pobudzenia całej sieci. Sieć ma teraz dwie ukryte warstwy. Słabe pobudzenie prowadzi do wzrostu aktywacji, pobudzenia neuronu 2, i zwrotnego pobudzenia neuronu 1. Dla dużego l >3.5 efekt zanika. To samo można zrobić za pomocą sprzężenia wewnątrz warstwy. Słaba aktywacja liter wystarcza do rozpoznawania słowa, ale rozpoznanie słowa może wzmocnić aktywację liter i przyspieszyć odpowiedź.

29 Wzmacnianie RR Projekt amp_top_down.dist.proj.
EE141 Wzmacnianie RR Projekt amp_top_down.dist.proj. Rozproszona aktywacja może prowadzić do niekontrolowanego pobudzenia całej sieci. Dwa obiekty: TV i Syntezer; 3 cechy: ekran CRT, Głośnik i Klawiatura. TV ma CRT i Głośnik, Syntezer ma Głośnik i Klawiaturę – jedna cecha jest wspólna. Sprzężenie prowadzi do aktywacji warstwy 1, potem 2 i znowu 1, rekurencyjnie. Startując z dowolnego pobudzenia na wejściu, Głośnik aktywizuje obydwa neurony, TV i syntezer, a te wszystkie 3 cechy w warstwie 1, w efekcie wszystkie elementy są w pełni aktywne. Manipulacje wartością l ~ pokazują, jak niestabilna jest taka sieć => potrzebujemy hamowania!

30 Oddziaływania hamujące
EE141 Oddziaływania hamujące Potrzebny jest mechanizm reagujący dynamicznie, a nie stały prąd upływu – ujemne sprzężenie zwrotne, hamujące neurony. Dwa typy hamowania: dzięki wykorzystaniu tych samych projekcji wejściowych możliwa jest antycypacja pobudzenia i hamowanie bezpośrednie; takie selektywne hamowanie pozwala na selekcję neuronów najlepiej dostosowanych do specyficznych sygnałów. Hamowanie może być też reakcją na zbytnie pobudzenie neuronu. Hamowanie prowadzi do rzadkich rozproszonych reprezentacji Hamowanie pobudzane wprzód: zależy od aktywizacji warstwy niższej Hamowanie pobudzane poziomo: zależy od aktywizacji tej warstwy

31 EE141 Parametry hamowania Model z neuronami hamującymi jest kosztowny: są dodatkowe neurony i trzeba robić symulacje z małym krokiem czasowym by uniknąć oscylacji. Można zastosować prostsze modele konkurencji miedzy neuronami, prowadzące do selekcji zwykle niewielkiej liczby aktywnych neuronów (sparse distributed representation). Parametry hamowania: g_bar_i_inhib, hamowanie własne neuronu g_bar_i_hidden, hamowanie neuronów ukrytych scale_ff, wagi połaczeń ff, wejście-hamujące scale_fb, wagi połaczeń zwrotnych

32 EE141 Aproksymacja WTA i SOM Zwycięzca bierze wszystko (Winner Takes All), zostawiająca tylko 1 aktywny neuron i nie prowadzi do reprezentacji rozłożonej. W realizacji SOM Kohonena zwycięzca jest wybrany razem z jego otoczeniem. Aktywizacja otoczenia zależy od odległości od zwycięzcy. Inne podejścia stosują kombinacje neuronów pobudzających i hamujących: McClelland I Rumelhart – interakcyjna aktywizacja i kompetycja; wprowadziła nadrzędność wyższej warstwy nad niższą pozwalając na uzupełnianie brakujących cech I przewidywanie Grossberg wprowadził dwukierunkowe połączenia pomiędzy warstwami używając struktury minikolumn oddzielne neurony hamujące oddziały- wania poziome sprzężenie zwrotne hamowanie poziome aktywizacja wejścia 4 6 2/3 Warstwa 6 -następny poziom 5

33 EE141 Aproksymacja kWTA k zwycięzców bierze wszystko (k Winners Take All), najczęstsza aproksymacja zostawiająca tylko k aktywnych neuronów. Idea: neurony hamujące zmniejszają pobudzenie tak, by nie więcej niż k neuronów moglo być jednocześnie aktywnych. Znajdź k najbardziej pobudzonych neuronów w warstwie; oblicz jaki poziom hamowania jest potrzebny by tylko te zostały powyżej progu. Rozkład poziomów pobudzeń w większej sieci powinien mieć charakter Gaussowski. Musimy znaleźć taki poziom pobudzenia progowego giQ by dla wartości pomiędzy k i k+1 mogło go zbalansować hamowanie: Dwa sposoby: proste i uśredniane. Słabsi zwycięzcy eliminowani przez minimalna wartość progowa Model kWTA stanowi uproszczenie oddziaływań biologicznych

34 EE141 kWTA proste Równowaga dla potencjału Q dla którego nie płyną prądy ustala się przy wartości przewodnictwa hamowania: Dla zapewnienia, że tylko k neuronów jest powyżej progu bierzemy: Zwykle stała q=0.25; zależnie od rozkładu pobudzeń w warstwie możemy mieć wyraźną separację (c) lub hamować mocno aktywne neurony (b).

35 EE141 kWTA uśredniane W tej wersji przewodność hamowania ustalona jest pomiędzy średnią z k najbardziej aktywnych neuronów i n-k pozostałych neuronów. Wartość pośrednia wyliczana jest z: Zależnie od rozkładu mamy w (b) niższą wartość niż poprzednio a w (c) wartość wyższą, co daje nieco lepsze rezultaty.

36 Projekty z kWTA Projekt inhib.proj. Wejście 10x10,
EE141 Projekty z kWTA Projekt inhib.proj. Wejście 10x10, ukryta warstwa 10x10 2x10 neuronów hamujących, realistyczne proporcje. Sieć dwukierunkowa ma druga warstwę ukrytą; kWTA stabilizuje aktywność zostawiając nieliczne aktywne neurony. Dokładny opis: podrozdziały 3.5.2 i 3.5.4 Projekt inhib_digits.proj.

37 Spełnianie ograniczeń
EE141 Spełnianie ograniczeń Pobudzenia ze środowiska, hamowanie i aktywacje wewnętrzne zgodne z ustalonymi parametrami sieci muszą tworzą zbiór ograniczeń na możliwe do przyjęcia stany; ewolucja pobudzeń w sieci powinna prowadzić do spełnienia tych ograniczeń. Dynamika atraktorowa Energia systemu Rola szumu Zmiany w czasie, startując z „basenu atrakcji”, czyli zbioru różnych stanów początkowych, zmierzają do ustalonego stanu. Stan atraktorowy maksymalizuje „harmonię” pomiędzy wiedzą wewnętrzną zawartą w parametrach sieci i informacją ze środowiska.

38 Energia Najbardziej ogólna zasada przyrody: minimalizacja energii!
EE141 Energia Najbardziej ogólna zasada przyrody: minimalizacja energii! Jak wygląda wyrażenie na energię? gdzie sumowanie biegnie po wszystkich parach neuronów. Harmonia = -E jest największa gdy energia jest najmniejsza. Jeśli wagi są symetrycznie to minimum takiego wyrażenia na energię jest w jednym punkcie (atraktor punktowy); jeśli nie to atraktory mogą być cykliczne, kwaziperiodyczne lub chaotyczne. Dla sieci z liniową aktywacją wyjście jest => Pochodna harmonii = yj pokazuje kierunek wzrostu harmonii.

39 EE141 Rola szumu Fluktuacje na poziomie kwantowym jak i wkład od wielu przypadkowych procesów zachodzących w większej sieci neuronów tworzy szum. Szum zmienia momenty wysyłania impulsów, pomaga unikać lokalnych rozwiązań o małej harmonii, dostarcza energii wpływa na procesy rezonansowe, przełamuje impasy. Szum nie pozwala popadać w rutynę, umożliwia eksplorację nowych rozwiązań, jest też prawdopodobnie konieczny do kreatywności. Szum w korze ruchowej. Demonstracja roli szumu w układzie wzrokowym.

40 Hamowanie i spełnianie ograniczeń
EE141 Hamowanie i spełnianie ograniczeń Spełnianie ograniczeń dokonuje się w sieci przez równoległe szukanie w przestrzeni aktywacji neuronów. Hamowanie pozwala ograniczyć przestrzeń poszukiwań, przyspieszając procesy szukania jeśli tylko rozwiązanie nadal znajduje się w dostępnej przestrzeni stanów. Bez kWTA wszystkie stany w układzie dwóch neuronów są dostępne; efektem ograniczenia kWTA jest koordynacja aktywności obu neuronów i zmniejszenie przestrzeni poszukiwan.

41 Spełnianie ograniczeń: koty i psy
EE141 Spełnianie ograniczeń: koty i psy Projekt cats_and_dogs.proj. Wiedza zakodowana w sieci zakodowana jest w Tabeli. Ćwiczenie opisane w rozdziale prowadzi do Prostej sieci semantycznej która potrafi Uogólniać i określić unikalne cechy Pokazuje relacje miedzy cechami Określać czy cechy sa stabilne Uzupełniać brakujące informacje

42 Spełnianie ograniczeń: sześcian
EE141 Spełnianie ograniczeń: sześcian Projekt necker_cube.proj z Chapter_3. Bistabilność percepcji: sześcian można widzieć albo bliższa ścianą w lewo albo w prawo. Procesy bistabilne można symulować uwzględniając szum. Ćwiczenie opisane jest w rozdziale