Dane informacyjne: „Geometria trójkąta”

Prezentacja na temat: "Dane informacyjne: „Geometria trójkąta”"— Zapis prezentacji:

1

2 Dane informacyjne: „Geometria trójkąta”
Nazwa szkoły: Gimnazjum w Wierzbnie ID grupy: 98/29_MF_G1 Opiekun grupy: Dorota Kryś Kompetencja: Matematyka i fizyka Temat projektowy: Semestr: trzeci/rok szkolny: 2010/ 2011 „Geometria trójkąta”

3 Cele tematu projektowego
Rozwój wiedzy uporządkowanie i utrwalenie dotychczasowych wiadomości o trójkątach poznanie nowych twierdzeń opisujących własności trójkątów Rozwój umiejętności przypomnienie i rozszerzenie umiejętności odpowiedniego posługiwania się cyrklem i linijką przy rozwiązywaniu problemów konstrukcyjnych w trójkącie. samodzielnego stawiania i rozwiązywania problemów w różnych sytuacjach geometrycznych. kształtowanie umiejętności posługiwania się technologią informacyjną, kształtowanie umiejętności przygotowania i publicznego prezentowania wyników swojej pracy. Rozwój postaw rozwijanie ciekawości poznawczej i umiejętności badawczych. rozwijanie sprawności umysłowej oraz osobistych zainteresowań uczniów. rozwijanie samodzielności uczniów oraz umiejętności organizacji pracy własnej. kształtowanie i rozwijanie umiejętności współpracy w zespole i podejmowania decyzji grupowych. kształtowanie umiejętności planowania działań. kształtowanie postawy systematyczności i odpowiedzialności za przydzielone zadania

4 Charles Louis de Secondat Montesquieu
„Gdyby trójkąty stworzyły sobie Boga, zrobiłyby go o trzech bokach”. Charles Louis de Secondat Montesquieu

5 Spis treści: Podstawowe wiadomości o trójkątach
Twierdzenia opisujące własności trójkątów Zadania konstrukcyjne Programy komputerowe do geometrii Trójkąty wokół nas W świecie trójkątów Ciekawostki Zabawy, zagadki, rebusy z trójkątami Galeria zdjęć 5

6 Trójkąt Trójkąt to figura płaska będąca wielokątem o trzech bokach.
Jeden z boków trójkąta jest nazywany podstawą. Inne definicje: Trójkątem nazywamy część wspólną trzech półpłaszczyzn, których brzegi zawierają w sobie odpowiednie boki trójkąta , gdzie wierzchołek nie należący do brzegu leży na półpłaszczyźnie. Trójkąt to część płaszczyzny ograniczona przez odcinki łączące trzy niewspółliniowe punkty.

7 Kąty w trójkącie Dowód:

8 Zadanie 1 Oblicz miary kątów w trójkącie, jeżeli ich wzajemny stosunek wynosi 3: 2: 4. Rozwiązanie: 3x, 2x, 4x- miary kątów trójkąta Suma kątów w trójkacie wynosi 1800 3x + 2x + 4x = 180 9x = /:9 X = 20 3x = 3 · 20 = 60 2x = 2 · 20 = 40 4x = 4 · 20 = 80 Odp. Trójkąt ma kąty o miarach 600, 400, 800.

9 Warunek trójkąta

10 Wysokość trójkąta

11 Środkowa trójkąta

12 Dwusieczna kąta Symetralna boku

13 Twierdzenie o dwusiecznej

14 Podział trójkątów ze względu na boki ze względu na kąty równoboczny
ostrokątny równoramienny prostokątny rozwartokątny różnoboczny

15 Wnioski Trójkąt Ostrokątny Prostokątny Rozwartokątny Równoboczny
Równoramienny Różnoboczny

16 Trójkąt równoboczny Trójkąt równoramienny

17 Zadanie 2 Oblicz stosunek pola koła wpisanego do pola koła opisanego na trójkącie równobocznym. Rozwiązanie:

18 Problem trójkątów równoramiennych
W trójkącie równoramiennym o stałej długości ramienia zmieniamy kąt przy wierzchołku. Jaki musi być ten kąt, aby pole powierzchni było największe? Odpowiedź podyktowana intuicją brzmi: trójkąt równoboczny ma największe pole. Wynika to z doświadczeń z różnymi problemami, dotyczącymi optymalizacji, w których rozwiązaniem jest często trójkąt równoboczny, oraz szukaniem rozwiązań w symetrii. Przeanalizujmy jednak tę sytuację - wyobraźmy sobie, że jedno ramię jest stałą podstawą, a przesuwamy wierzchołek przy drugim ramieniu. Pole trójkąta jest równe połowie podstawy przez wysokość – tu podstawa jest stała i jasno widać, że wysokość jest największa, gdy drugie ramię tworzy z podstawą kąt prosty. Zatem największe pole ma trójkąt równoramienny prostokątny, a nie równoboczny.

19 Trójkąt prostokątny

20 Twierdzenie Pitagorasa
Założenie: Jeżeli trójkąt jest prostokątny, Teza : to zachodzi równość Odkrycie tego twierdzenia w naszym zachodnio-europejskim kręgu kulturowym przypisywane jest żyjącemu w VI wieku p.n.e. greckiemu matematykowi i filozofowi Pitagorasowi, chociaż niemal pewne jest, że znali je przed nim starożytni Egipcjanie. Wiadomo też, że jeszcze przed Pitagorasem znano je w starożytnych Chinach, Indiach i Babilonii.

21 Twierdzenie odwrotne Założenie : Jeżeli suma pól kwadratów zbudowanych na przyprostokątnych jest równa polu kwadratu zbudowanemu na przeciwprostokątnej, Teza: to trójkąt jest prostokątny.

22 Dowód twierdzenia Pitagorasa
Dany jest trójkąt prostokątny o bokach a, b i c jak na rysunku. Za pomocą czterech takich trójkątów układamy figurę przedstawioną po prawej stronie poniższej ilustracji. Drugi trójkąt umieszczamy tak, żeby jego bok a był w jednej linii z bokiem b pierwszego trójkąta, a boki c tworzyły kąt prosty (jest to możliwe, bo kąty w trójkącie sumują się do podwojonego kąta prostego). Następnie ustawiamy bok a trzeciego trójkąta w jednej linii z bokiem b drugiego, znów tak, aby boki c tworzyły kąt prosty. Domykamy kwadrat o boku a+b, umieszczając bok a czwartego trójkąta w linii z bokiem b trzeciego. Z jednej strony pole powierzchni tego kwadratu to (a+b)2 , bo a+b j est długością jego boku. Z drugiej strony, kwadrat utworzony jest przez cztery przystające trójkąty, każdy o polu ab/2 oraz środkowy kwadrat o boku c. Tak więc całkowite pole dużego kwadratu można zapisać jako 4·ab/2+c2. Te dwa wyrażenia możemy przyrównać i uprościć: (a + b)² = 4 · ab/2 + c² a ² + 2ab + b ² = 2ab + c ² Stąd wynika, że a ² + b ² = c ²

23 Zastosowanie twierdzenia Pitagorasa

24 Wybrane zadania z testu „Geometria trójkąta”
Zadanie 16 W trójkącie prostokątnym o przyprostokątnych długości 8 m i 6 m odległość wierzchołka kata prostego od przeciwprostokątnej wynosi … Zadanie 12 Przez wierzchołek kwadratu o boku długości 5 poprowadzono prostą dzielącą kwadrat na trójkąt i trapez. Jeżeli pole trójkąta wynosi 15/2, to przekątne trapezu maja długości …

25 Zależności miedzy bokami w trójkącie prostokątnym

26 Przykłady zależności miedzy bokami w trójkącie prostokątnym

27 Trójkąt równoboczny z kartki A4
Aby zbudować trójkąt równoboczny musimy kąt 90°, jaki ma prostokątna kartka, podzielić na kąty 60° i 30°. Weź kartkę A4 (jej połówkę lub ćwiartkę) i przyjmij, że jej wysokość wynosi 1. Przypomnij sobie również, że trójkąt prostokątny o kącie 30° ma, naprzeciw kąta 30° bok, którego długość jest równa połowie przeciwprostokątnej. Spróbuj teraz zagiąć róg kartki w taki sposób, aby otrzymać kąty 60° i 30°. Jeśli w dalszym ciągu masz problemy spójrz na rysunek . Czy już wiesz jak zagiąć kartkę?

28 Funkcje trygonometryczne w trójkącie prostokątnym

29 Przykłady funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym

30 Wartości funkcji trygonometrycznych dla niektórych miar kątów

31 Zadanie 3 Wykaż, że w trójkącie prostokątnym suma kwadratów sinusów miar wszystkich jego kątów wewnętrznych równa się 2. Rozwiązanie:

32 Jak obliczyć pole trójkąta?
Dowód:

33 czyli kiedy trójkąty są bliźniakami....
Trójkąty przystające czyli kiedy trójkąty są bliźniakami....

34 Cechy przystawania trójkątów

35 Symetria osiowa i środkowa trójkąta

36 Cechy podobieństwa trójkątów

37 Twierdzenie Talesa Założenie: Jeżeli ramiona kąta przecięte są prostymi równoległymi, Teza : to odcinki wyznaczone przez te proste na jednym ramieniu kąta, są proporcjonalne do odpowiednich odcinków na drugim ramieniu kąta.

38 Dowód twierdzenia Talesa
Niech AC || BD S2 = S3 Wówczas wynika, że:

39 Zadanie 4 W słoneczny dzień chłopiec o wzroście 1,6 m rzuca cień długości 2 m. Oblicz wysokość drzewa, którego cień wynosi 12 m. Rozwiązanie:

40 Twierdzenie cosinusów- Carnota

41 Twierdzenie sinusów- Snelliusa

42 Twierdzenie Stewarta b2m + c2n = a(d2 + mn)
Niech a, b, i c będą długościami boków trójkąta. Niech d będzie dowolnym odcinkiem (czewianą) łączącym wierzchołek naprzeciwko boku długości a z punktem na tym boku. Niech czewiana dzieli bok a na dwa odcinki o długościach m i n. Wówczas b2m + c2n = a(d2 + mn) Twierdzenie to dotyczy związku między długościami boków trójkąta a tzw. czewianą. Udowodnione i opublikowane przez szkockiego matematyka Matthew Stewarta w roku 1746.

43 Prosta Eulera W geometrii euklidesowej na płaszczyźnie to prosta, która przechodzi przez ortocentrum danego trójkąta (wyznaczone na rysunku przez odcinki niebieskie), środek okręgu opisanego (linie zielone), środek ciężkości trójkąta (punkt przecięcia jego środkowych – linie pomarańczowe) oraz środek okręgu dziewięciu punktów. Nazwa pochodzi od Leonarda Eulera, który udowodnił, że taka prosta istnieje. Środek okręgu dziewięciu punktów leży w połowie między ortocentrum i środkiem okręgu opisanego, a odległość od środka ciężkości trójkąta od środka okręgu opisanego jest jedną trzecią odległości między ortocentrum a środkiem okręgu opisanego.

44 Okrąg dziewięciu punktów
Znany także jako okrąg Feuerbacha lub okrąg Eulera jest to okrąg, który przechodzi przez środki boków (na rysunku niebieskie) dowolnego trójkąta. Okrąg Feuerbacha przechodzi ponadto przez spodki trzech wysokości (czerwone) oraz przez punkty (zielone) dzielące na połowy trzy odcinki, które łączą wierzchołki tego trójkąta z jego ortocentrum. Środek okręgu Feuerbacha leży na prostej Eulera i jest środkiem odcinka łączącego ortocentrum ze środkiem okręgu opisanego na tym trójkącie, zaś jego promień jest równy połowie promienia okręgu opisanego.

45 Zadania konstrukcyjne
Kanon postępowania przy rozwiązywaniu zadań konstrukcyjnych, a także dobór środków konstrukcyjnych zostały ustalone w Akademii Platońskiej. W starożytności i jeszcze długo później panowało przekonanie, że za pomocą cyrkla i linijki można rozwiązać wszystkie zadania konstrukcyjne, chociaż starożytni Grecy znali problemy, których nie umieli rozwiązać dostępnymi im środkami .

46 Opis konstrukcji dwusiecznej kąta
1. Kreślimy łuk z wierzchołka kąta. 2. Kreślimy łuki o jednakowym promieniu i środkach w punktach zaznaczonych na ramionach kąta. 3.Rysujemy półprostą, która zawiera punkt przecięcia łuków oraz wierzchołek kąta. Jest to dwusieczna kąta.

47 Konstrukcja trójkąta równobocznego o boku AB
Na dowolnej prostej zaznacz dowolny odcinek AB, który ma być bokiem trójkąta. Następnie odmierz cyrklem długość odcinka AB i zakreśl dwa okręgi: jeden o środku w punkcie A i drugi o środku w punkcie B. Jeden z punktów przecięcia się okręgów oznacz literą C. Połącz odcinki AC i BC. Powstały w ten sposób trójką ABC jest trójkątem równobocznym.

48 W trójkącie równoramiennym dany jest bok i promień okręgu wpisanego.
Skonstruuj ten trójkąt. Mamy tu dwa przypadki do rozpatrzenia. Pierwszy przypadek: dany bok jest podstawą trójkąta równoramiennego. Konstrukcja może wyglądać tak: ze środka podstawy prowadzimy prostopadłą, odkładamy na niej promień tak, by jeden jego koniec leżał na podstawie, z drugiego końca promienia zakreślamy okrąg o tym promieniu, z końców podstawy prowadzimy styczne do okręgu, punkt przecięcia stycznych wyznacza wierzchołek trójkąta równoramiennego. Bez trudu zauważamy, że promień okręgu wpisanego musi być krótszy od połowy podstawy, żeby konstrukcja była możliwa. Drugi przypadek: dany bok jest ramieniem trójkąta. Tu spotyka nas przykra niespodzianka. Konstrukcji nie da się wykonać! Nie dlatego, że dane są źle dobrane. Po prostu za pomocą cyrkla i linijki nie możemy skonstruować poszukiwanego trójkąta. Można to udowodnić, wykorzystując odpowiednie teorie matematyczne. Istnieją więc dające się prosto sformułować zadania, których nie można rozwiązać za pomocąklasycznych środków.

49 Okrąg opisany na trójkącie
R- promień okręgu opisanego R = h- wysokość trójkąta r- promień okręgu wpisanego r = h- wysokość trójkąta R = 2r

50 Wybrane programy komputerowe
Program komputerowy CABRI został stworzony po to, by umożliwić samodzielne odkrywanie geometrii. Pozwala on na budowanie wszelkich figur geometrycznych. Po utworzeniu figury można ją "deformować", "chwytając" jej elementy bazowe i przemieszczając je, przy zachowaniu wszystkich własności, które zostały figurze przypisane. Nie tylko umożliwia pomiar długości i kątów, lecz daje szansę obserwowania zmian tych miar w wyniku modyfikacji figury.

51 GEOMETRIA to program komputerowy, który umożliwia rysowanie wszystkich podstawowych figur geometrycznych na płaszczyźnie, wykonywanie różnorodnych konstrukcji geometrycznych, a także zapoznawanie się z niektórymi własnościami narysowanych figur.

52 LOGOMOCJA grafika w języku Logo To były ciekawe zajęcia!!!

53 wokół nas Trójkąty

54 Trójkąt bermudzki to wielka zagadka wód Atlantyku
Trójkąt bermudzki to wielka zagadka wód Atlantyku. Dopiero w latach 70 prawda o nim ujrzała światło dzienne, gdy do opinii publicznej zaczęły napływać masowo informacje o zaskakujących wypadkach i ich historiach w tamtym rejonie. Oficjalne położenie trójkąta bermudzkiego lokalizuje się w obszarach pomiędzy Miami - Bermudami - wyspami Puerto Rico. W ciągu zaledwie 50 lat w tym obszarze doszło do 1000 wypadków  z niewyjaśnionych przyczyn takich jak zaginięcia statków i samolotów. Na dzień dzisiejszy nikt nie potrafi tego wytłumaczyć.

55 Przykłady przedmiotów w kształcie trójkątów w najbliższym otoczeniu
Znaki ostrzegawcze BHP Znaki drogowe Flagi w sygnalizacji morskiej

56 W świecie trójkątów Jednym z najbardziej interesujących układów liczbowych jest trójkąt Pascala (od nazwiska Blaise'a Pascala, sławnego francuskiego matematyka i filozofa). Aby zbudować trójkąt, zacznij od „1” na wierzchołku, następnie kontynuuj układanie liczb poniżej w układzie trójkąta. Każda cyfra stanowi sumę dwóch wyżej położonych liczb. 1 + 3 = 4 Rysunek powyżej nazywa się: „Siedem Mnożących Kwadratów”. Stanowi on stronę tytułową książki „Chu Shi-Chieh’s” („Lustro Czterech Elementów”), napisanej w roku 1303.

57 Pierwsza przekątna to oczywiście same „jedynki”, następna przekątna ma liczby naturalne, trzecia przekątna utworzona została z liczb trójkątnych, tj. kolejność stanowi wzór punktów tworzących trójkąt. Dodając kolejny wiersz z kropkami i sumując wszystkie punkty, można znaleźć następną liczbę w sekwencji. Liczby trójkątne, to takie liczby o numerze n, będące np. liczbą kół jednakowej wielkości, z których można ułożyć trójkąt równoboczny o boku zbudowanym z n kół. Liczba trójkątna jest sumą n kolejnych liczb naturalnych.

58 Trójkąt Pascala a liczby podzielne przez ???

59 Trójkąt Sierpińskiego niekończący się układ trójkątów
Oto jak można utworzyć trójkąt Sierpińskiego:      1. zacznij od trójkąta      2. zmniejsz trójkąt o połowę i wstaw kopię w każdy z trzech rogów      3. powtórz krok 2, aby uzyskać mniejsze trójkąty, itd. w nieskończoność!

60 Złoty trójkąt to trójkąt równoramienny, w którym stosunek boku do podstawy jest równy liczbie FI. Obydwa kąty przy podstawie tego trójkąta mają po 72 stopnie. Kąt wewnętrzny wierzchołka naprzeciwko podstawy wynosi 36 stopni. Trójkąt ten ma podobną właściwość jak złoty prostokąt: można go dzielić na kolejne mniejsze trójkąty, które też będą złotymi trójkątami.

61 Trójkąt pitagorejski to trójkąt prostokątny, którego długości boków są wyrażone liczbami naturalnymi. Przykłady trójkątów pitagorejskich: Jeśli pomnożymy długości boków każdego z tych trójkątów przez dowolną liczbę naturalną, to otrzymamy również trójkąty pitagorejskie.

62 Trójkąt o bokach 3, 4, 5 to jedyny trójkąt prostokątny, którego długości boków są kolejnymi liczbami naturalnymi. Nazywa się go trójkątem egipskim, ponieważ był używany przez Egipcjan do wyznaczania kąta prostego w terenie.

63 2+7+3+8=20 8+1+6+5=20 5+4+9+2=20 22+72+32+82=126 82+12+62+52=126
Magiczny trójkąt ma sumy liczb na swoich bokach równe. Zaprezentowany trójkąt jest magiczny na dwa sposoby, gdyż zarówno sumy liczb na jego bokach, jak i ich kwadratów są równe. =20 =20 =20 =126 =126 =126

64 Ciekawostki Złoty trójkąt jest częścią pentagramu, którego wszystkie ramiona przecinają się według zasad złotego podziału. Pitagorejczycy uważali pentagram za symbol doskonałości i zdrowia... Znakiem tym uczeni pozdrawiali się i wzajemnie rozpoznawali, kreśląc go na piasku.

65 Przykłady praktycznego zastosowania trójkątów w życiu codziennym
Triangulacja w geodezji to metoda pomiaru osnów geodezyjnych, polegająca na określeniu wielkości wszystkich kątów i jednej długości w sieci składającej się z trójkątów. Pomiar służy, po obliczeniu i wyrównaniu wyników pomiarów, określeniu współrzędnych geodezyjnych wszystkich punktów sieci triangulacyjnej. W zależności od dokładności (klasy sieci) boki w triangulacji wynoszą od 2 do 25 kilometrów.

66 FRAKTALE Fraktale można reprodukować w nieskończoność. Ćwiczenie to wyrabia u uczniów zdolność do zauważania pewnych prawideł.

67 Trójkątowy zawrót głowy!
Gdzie są trójkąty? Ile trójkątów widzisz na rysunku? Trójkątowy zawrót głowy!

68 Zadania konkursowe Lubimy takie zabawy…
Dziewczynka miała dziewięć zapałek. Była to bardzo biedna dziewczynka z zapałkami. Chciała je sprzedać bogatemu królewiczowi. Ale on powiedział: Zrób z tych zapałek cztery trójkąty, a ożenię się z tobą i będziesz miała całe królestwo. Ponieważ była to dziewczynka biedna ale z wyobraźnią, zrobiła to bez trudu. Jak? Ułóżcie odpowiednio zapałki. Rozwiązanie: Lubimy takie zabawy…

69 Zagadki z zapałkami Zagadka 1
Poniższa konstrukcja składa się dziewięciu zapałek. Przesuń cztery z nich tak, aby powstało pięć trójkątów. Trójkąty nie musza być przystające, jeden może być częścią drugiego. Rozwiązanie: Wcale nie było łatwo!

70 Kosztowało nas to trochę wysiłku …
Zagadka 2 Do ułożenia tego wzoru potrzeba trzynaście zapałek. Wzór składa się z sześciu przystających trójkątów, usuń trzy zapałki tak, aby pozostały trzy trójkąty. Kosztowało nas to trochę wysiłku … Rozwiązanie:

71 Gimnastyka dla naszych szarych komórek…
Zagadka 3 Z poniższego wzoru usuń cztery zapałki tak, by pozostały cztery przystające trójkąty. Rozwiązanie: Gimnastyka dla naszych szarych komórek…

72 Potrzebna była wyobraźnia …
Zagadka 4 Ułóż cztery równoboczne trójkąty z sześciu zapałek. Rozwiązanie: Potrzebna była wyobraźnia …

73 Nie wszystkim się udało…
Rebusy geometryczne TRÓJKA PITAGOREJSKA PRZECIWPROSTOKĄTNA Nie wszystkim się udało…

74 Rysunkowe pułapki Trójkąt na górze podzielono na figury, następnie z tych figur zbudowano następny trójkąt o tej samej wysokości i szerokości , Gdzie się podziała jedna jednostka pola ? ;-) Policzcie, ile wynosi łączne pole 2 trójkątów i 2 wielokątów (bez dziury)? A ile wynosi pole całego trójkąta? Jak to wyjaśnić? Uczniowie sugerują się rysunkiem. Warto, więc "zastawić na nich" od czasu do czasu taką pułapkę. Dobrze jest dać uczniom trochę czasu najpierw na spokojne obliczenia, a następnie na samodzielne próby znalezienia błędu. Uczniowie mogą próbować wykonać dokładny rysunek - wtedy mają szansę zauważania, że narysowana figura nie może być trójkątem. Wystarczy zwrócić uwagę na proporcje boków w trójkątach. Niewiarygodne !!!

75 Uczymy się przez zabawę …
Kraina trójkątów W pewnym niezwykłym i tajemniczym królestwie wszystko było trójkątne. Nadaj nazwę temu królestwu. Jak będą wyglądały inne przedmioty lub postacie, które spotkasz w tym królestwie? Narysuj je lub ułóż z trójkątów. Uczymy się przez zabawę …

76 Wiktor Lenkiewicz "Bajka o trójkącie"
Czyż zawsze ma być bajka o lwie, wilku i liszce hultajce? Nie, nic o nich nie powiem w mojej bajce. Już w pierwszym mym kroku nowością zalecę: Opowiem wam bajkę o zacnym trójkącie ABCe. Raz wielki matematyk nad ludzi wzniesiony, Mierząc gwiazdy, planety, licząc miliony, Spojrzał w niebo ? mocno się zamyślił I trójkąt rozwartokątny na świstku nakreślił. Wtem hałas i krzyk wielki. Co znaczą te wrzaski? W trójkącie nakreślonym wszczęły się niesnaski. Kąt C był szeroki i wielce rozwarty, Więc jak magnat, zwyczajnie dumny i uparty, Z pogardą na dwa inne kąciki spoglądał, Kosztem ich jeszcze więcej rozszerzyć się żądał. Nie tylko trójkąty lubią bajki … Fuknął: Po co te chude i liche stworzenia. Wtem kąt ostry: Nie wyrzucaj nam naszą małość, Na niej się to ? opiera twoja okazałość. Im my mniejsi, o tyle ty większy, Mości kącie, Lecz nikt się nie obejdzie i bez nas w trójkącie. Niech kto jak chce podobnych wam trójkątów namnoży, Z samych katów rozwartych trójkąt się nie złoży. A my się bez was wielkich łatwo obejdziemy ? Sami sobie trójkąt zbudujemy.

77 Układaliśmy tangramy…

78 Opisywaliśmy trójkąty…

79 Pracowaliśmy z planszami interaktywnymi…

80 Zaprzyjaźniliśmy się z trójkątami prostokątnymi…

81 Literatura Konstrukcje geometryczne. Jak sobie z nimi radzić. M. Braun
Łamigłówki logiczne. L. Bogusz, P. Zarzycki, J. Zieliński Rebusy matematyczne. GWO Matematyka wokół nas. Karty pracy. M. Wójcicka, A. Drążek Czasopismo Matematyka w szkole. GWO Matematyka. Plansze interaktywne. WSiP Zasoby Internetu 81

82 Prezentację wykonali:
Małgorzata Kurmańska Aleksandra Setecka Katarzyna Jesiołowska Magdalena Bachmann Wojciech Brajer Miłosz Fluder Jakub Zybała Paweł Skrzypczak Adrian Koniarek Dawid Dolata pod opieką pani Doroty Kryś 

83