2014 Kierunek ELEKTROTECHNIKA

Prezentacja na temat: "2014 Kierunek ELEKTROTECHNIKA"— Zapis prezentacji:

1 2014 Kierunek ELEKTROTECHNIKA
Obwody elektryczne 2014 Kierunek ELEKTROTECHNIKA

2 Kontakt: Dr inż. Marek Ossowski marek.ossowski@p.lodz.pl
Zakład Ukaładów i Sysytemów Nieliniowych Instytut Systemów Inżynierii Elektrycznej Al.Politechniki 11 pok.14 Ip (C3) Tel.(42) Tel  tylko w sprawach niezwykle ważnych!!!! OE1 2014

3 Program wykładów Obwody elektryczne -wstęp Podstawy topologii
Prawa Kirchhoffa Twierdzenie Tellegena Elementy obwodów Oporniki liniowe Łączenie oporników Rezystywność i konduktywność Oporniki nieliniowe Charakterystyki wypadkowe połączeń Źródła niezależne idealne i rzeczywiste Źródła sterowane OE1 2014

4 Program wykładów (cd) Obliczanie prostych obwodów DC Obwody równoważne
Metoda praw Kirchhoffa Zasada superozycji Twierdzenie Thevenina-Nortona Metoda potencjałów węzłowych Zasada wzajemności Twierdzenie o kompensacji Podstawowe pojęcia dotyczące analizy AC (prądy sinusoidalnie zmienne) OE1 2014

5 Teoria Obwodów cz.I – M.Tadeusiewicz
Literatura Teoria Obwodów cz.I – M.Tadeusiewicz Teoria Obwodów. Zadania – praca zbiorowa po redakcją M.Tadeusiewicza OE1 2014

6 Zaliczenie przedmiotu
Obecność na wszystkich zajęciach Zaliczenie dwóch sprawdzianów pisemnych przewidzianych terminach (7 i 12 tydzień zajęć) Forma sprawdzianu pisemnego: Krótkie pytania (możliwość testu) Pytania problemowe Proste zadania obliczeniowe OE1 2014

7 POJĘCIA PODSTAWOWE Urządzenie elektryczne = obiekt fizyczny taki jak tranzystor, wzmacniacz operacyjny Obwód elektryczny  połączone przewodami urządzenia elektryczne Urządzenia elektryczne reprezentowane są przez modele składające się z podstawowych elementów obwodów (oporników, źródeł, kondensatorów, cewek) Modele  przybliżony opis fizycznych urządzeń To samo urządzenie może mieć różne modele OE1 2014

8 Kierunki odniesienia:
Rozpatrywane są napięcia między węzłami i prądy płynące w gałęziach łączących węzły. Zwyczajowo przyjmuje się za dodatni kierunek przepływu ładunków dodatnich (napięcie od + do -) Ze względu na możliwe zmiany w czasie kierunku ruchu ładunków trudno określić aktualny kierunek prądu i zwrot napięcia przyjmuje się pewne kierunki odniesienia, które wraz z wartością (za znakiem) są jednoznaczną informacją o prądzie i napięciu OE1 2014

9 Kierunki odniesienia (interpretacja)
OE1 2014

10 OBWÓD PRZYKŁADOWY OE1 2014

11 POJĘCIA PODSTAWOWE (cd)
WĘZEŁ  miejsce połączenia końcówek elementów oznaczane na schematach kropką. GAŁĄŹ  odcinek obwodu między węzłami (zawiera zwykle jeden element lub urządzenie wraz z przewodami) ŚCIEŻKA  ciąg gałęzi: rozpoczyna się w jednym węźle, przebiega kolejno pewien zbiór gałęzi i kończy się w węźle końcowym PĘTLA  zamknięty ciąg gałęzi: rozpoczyna się w jednym węźle, przebiega kolejno pewien zbiór gałęzi i kończy się w tym samym węźle początkowym (inaczej: ścieżka o wspólnym początku i końcu) OE1 2014

12 POJĘCIA PODSTAWOWE (cd)
GRAF  graficzne odwzorowanie obwodu zawierające jedynie informację o lokalizacji elementów i ich połączeniach otrzymujemy go przez zastąpienie wszystkich elementów obwodu gałęziami GRAF ZORIENTOWANY graf zawierający dodatkowo informację o kierunku odniesienia sygnałów gałęziowych (może być zorientowany prądowo, napięciowo lub w sposób uniwersalny) OE1 2014

13 Tworzenie grafu 1 2 1 2 1 2 Element obwodu między węzłami 1 i 2
1-sza gałąź grafu niezorientowanego między węzłami 1 i 2 1 2 1-sza gałąź grafu zorientowanego między węzłami 1 i 2 OE1 2014

14 OBWÓD - GRAF - GRAF ZORIENTOWANY
OE1 2014

15 OBWÓD - GRAF - GRAF ZORIENTOWANY
OBWÓD - GRAF ZORIENTOWANY OE1 2014

16 kolejne gałęzie mają wspólny węzeł,
DROGA Drogą między węzłami j i k nazywamy zbiór gałęzi grafu utworzony w ten sposób, że kolejne gałęzie mają wspólny węzeł, w żadnym węźle nie łączą się więcej niż dwie gałęzie zbioru, z węzłem j oraz z węzłem k łączy się dokładnie jedna gałąź zbioru. OE1 2014

17 Przykład 1 drogi między węzłami 1 i 2
Zbiór gałęzi e-f-g-c-d spełnia warunki definicji drogi OE1 2014

18 Przykład 2 drogi między węzłami 1 i 2
Zbiór gałęzi e-f-g-c-h-i-j nie spełnia warunku (2) definicji drogi OE1 2014

19 Przykład 3 drogi między węzłami 1 i 2
Zbiór gałęzi e-g-c-d nie spełnia warunku (1) definicji drogi OE1 2014

20 Pętlą grafu nazywamy podgraf grafu spełniający następujące warunki
Pętla Pętlą grafu nazywamy podgraf grafu spełniający następujące warunki podgraf jest spójny, w każdym węźle podgrafu łączą się dwie i tylko dwie gałęzie. OE1 2014

21 Zbiór gałęzi e-f-g-c-d-a spełnia warunki definicji pętli
Przykład 1 pętla Zbiór gałęzi e-f-g-c-d-a spełnia warunki definicji pętli OE1 2014

22 Zbiór gałęzi e-j-a-g-c-h nie spełnia warunku 1 definicji pętli
Przykład 2 nie-pętla Zbiór gałęzi e-j-a-g-c-h nie spełnia warunku 1 definicji pętli OE1 2014

23 Zbiór gałęzi e-i-f-j-a nie spełnia warunku 2 definicji pętli
Przykład 3 nie-pętla Zbiór gałęzi e-i-f-j-a nie spełnia warunku 2 definicji pętli OE1 2014

24 Pozostałe gałęzie grafu tworzą przeciwdrzewo (DOPEŁNIENIE)
Drzewem grafu spójnego nazywamy spójny podgraf obejmujący wszystkie węzły i nie zawierający żadnej pętli. Pozostałe gałęzie grafu tworzą przeciwdrzewo (DOPEŁNIENIE) OE1 2014

25 Zbiór gałęzi e-f-g-c-d spełnia warunki definicji drzewa
Przykład 1 DRZEWO Zbiór gałęzi e-f-g-c-d spełnia warunki definicji drzewa OE1 2014

26 Zbiór gałęzi e-f-g-h-j spełnia warunki definicji drzewa
Przykład 2 DRZEWO Zbiór gałęzi e-f-g-h-j spełnia warunki definicji drzewa OE1 2014

27 Drzewo grafu spójnego o  węzłach i b gałęziach zawiera  - 1 gałęzi.
Twierdzenie Drzewo grafu spójnego o  węzłach i b gałęziach zawiera  - 1 gałęzi. Dowód (indukcyjny): Dla n=2, b=1 (n= ) twierdzenie prawdziwe OE1 2014

28 Cd. Dowód (indukcyjny)cz.2:
Załóżmy, że twierdzenie jest prawdziwe dla grafu n-węzłowego. Rozpatrzmy graf o n+1 węzłach, utwórzmy drzewo i wyodrębnijmy ten węzeł, w którym zbiega się tylko jedna gałąź drzewa. Graf o n węzłach OE1 2014

29 Drzewo rozpatrywanego grafu skład się zatem
n węzłach Drzewo rozpatrywanego grafu skład się zatem z drzewa grafu n-węzłowego oraz gałęzi dk. Uwzględniając założenie indukcyjne otrzymamy: (n-1)+1=n WNIOSEK: Dopełnienie grafu spójnego  węzłach i b gałęziach zawiera b -  + 1 gałęzi. OE1 2014

30 Przekrojem grafu spójnego nazywamy zbiór
PRZEKRÓJ Przekrojem grafu spójnego nazywamy zbiór gałęzi spełniający następujące warunki (1) usunięcie wszystkich gałęzi przekroju bez węzłów końcowych powoduje podział grafu na dwa podgrafy (2) usunięcie wszystkich gałęzi przekroju poza jedną nie narusza spójności grafu. OE1 2014

31 Zbiór gałęzi b-f-i-d spełnia warunki definicji przekroju
Przykład 1 przekrój Zbiór gałęzi b-f-i-d spełnia warunki definicji przekroju OE1 2014

32 Przykład 2 nie- przekrój
Zbiór gałęzi b-f-i-d-j nie spełnia warunków (2) definicji przekroju OE1 2014

33 PRZEKRÓJ FUNDAMENTALNY
Przekrojem grafu spójnego nazywamy fundamentalnym jeżeli jest utworzony z dokładnie jednej gałęzi drzewa i gałęzi dopełnienia. Jest ich w grafie  - 1 OE1 2014

34 (1) eab (2) fbija (3) gbhja (4) chja (5) dja
DRZEWO grafu i przekroje fundamentalne Przekroje fundamentalne dla drzewa e-f-g-c-d (1) eab (2) fbija (3) gbhja (4) chja (5) dja OE1 2014

35 Pętla FUNDAMENTALNA Pętlę nazywamy fundamentalną jeżeli jest utworzona z dokładnie jednej gałęzi dopełnienia i gałęzi drzewa. Jest ich w grafie b -  + 1 OE1 2014

36 (1) aefgcd (2) bgfe (3) hcg (4) if (5) jfgcd
DRZEWO grafu i pętle fundamentalne Pętle fundamentalne dla drzewa e-f-g-c-d (1) aefgcd (2) bgfe (3) hcg (4) if (5) jfgcd OE1 2014

37 Twierdzenia dotyczące PRAW KIRCHHOFFA
(1) Maksymalna liczba równań liniowo niezależnych otrzymanych z PPK wynosi  -1. Równania te można napisać stosując PPK do  -1 fundamentalnych przekrojów. (2) Maksymalna liczba równań liniowo niezależnych otrzymanych z NPK wynosi b -  +1 . Równania te można napisać stosując PPK do b -  +1 fundamentalnych pętli. OE1 2014

38 DEFINICJA GRAFU PLANARNEGO: Graf planarny to taki graf, który może być
narysowany na płaszczyźnie tak aby gałęzie przecinały się tylko w węzłach. DEFINICJA OCZKA: Oczkiem grafu planarnego nazywamy pętlę nie zawierająca wewnątrz żadnych gałęzi. TWIERDZENIE Graf planarny zawiera b -  +1 oczek. Równania NPK napisane dla b -  +1 są liniowo niezależne. OE1 2014

39 Napięciowe Prawo Kirchhoffa (NPK)
Dla dowolnego obwodu elektrycznego w dowolnej chwili algebraiczna suma napięć gałęziowych wzdłuż dowolnej pętli wynosi zero Liczba gałęzi i-tej pętli OE1 2014

40 OBWÓD PRZYKŁADOWY OE1 2014

41 Prądowe Prawo Kirchhoffa (PPK)
Dla dowolnego obwodu elektrycznego w dowolnej chwili algebraiczna suma prądów w dowolnym węźle wynosi zero Liczba gałęzi zbiegających się w i-tym węźle OE1 2014

42 OBWÓD PRZYKŁADOWY OE1 2014

43 Prądowe Prawo Kirchhoffa (ogólniej)
Dla dowolnego obwodu elektrycznego w dowolnej chwili algebraiczna suma prądów przenikających dowolną gaussowską powierzchnię zamkniętą wynosi zero. Liczba gałęzi przecinających powierzchnię zamkniętą Si OE1 2014

44 PRZYKŁAD: OE1 2014

45 Zasady pisania równań Kirchhoffa
Dla obwodu o n węzłach i b gałęziach można napisać: n-1 liniowo niezależnych równań z PPK (dla n-1 dowolnie wybranych węzłów) b-n+1 liniowo niezależnych równań z NPK (dla b-n+1 odpowiednio wybranych pętli) Ogólna liczba liniowo niezależnych równań jakie można napisać dla obwodu o n węzłach i b gałęziach wynosi: OE1 2014

46 Twierdzenie Tellegena
OE1 2014

47 OE1 2014

48 STOSUJEMY DO KAŻDEGO SKŁADNIKA SUMY POGRUPUJEMY SKŁADNIKI ZAWIERAJĄCE
K-TE POTENCJAŁY OE1 2014

49 PONIEWAŻ WSZYSTKIE PRĄDY WYSTĘPUJĄCE
Liczba gałęzi w k-tym węźle PONIEWAŻ WSZYSTKIE PRĄDY WYSTĘPUJĄCE W SUMIE DLA K-TEGO WĘZŁA WYPŁYWAJĄ Z NIEGO, NA PODSTAWIE PPK: CZYLI: OE1 2014

50 SUMA MOCY CHWILOWYCH WSZYSTKICH GAŁĘZI OBWODU JEST RÓWNA ZERU.
WNIOSEK 1 SUMA MOCY CHWILOWYCH WSZYSTKICH GAŁĘZI OBWODU JEST RÓWNA ZERU. WNIOSEK 2 NAPIĘCIA uk ORAZ PRĄDY ik NIE MUSZĄ DOTYCZYĆ TEGO SAMEGO OBWODU, A JEDYNIE OBWODÓW O TEJ SAMEJ TOPOLOGII, tzn. POSIADAJĄCYCH TEN SAM GRAF. OE1 2014

51 Ilustracja twierdzenia Tellegena
WNIOSEK 1 1 2 3 1 2 3 1 2 3 OE1 2014

52 Ilustracja twierdzenia Tellegena
WNIOSEK 2 1 2 3 1 2 3 1 2 3 OE1 2014

53 Elementy obwodów Oporniki liniowe nieliniowe Źródła niezależne
napięciowe prądowe Źródła sterowane (zależne) OE1 2014

54 Uwaga: Wartości chwilowe wielkości obwodowych,
np.prądów i napięć (funkcje czasu) oznaczamy zawsze małymi literami np. u(t), i(t), p(t), w(t) OE1 2014

55 Jednostki Stosujemy jednostki podstawowe układu SI: Jednostka napięcia
Jednostka natężenia prądu: Jednostka oporu (rezystancji): Jednostka mocy: Jednostka energii: OE1 2014

56 Będziemy rozważać elementy SLS:
skupione (S) liniowe (L) stacjonarne (S) OE1 2014

57 Moc i energia i u Moc chwilowa Energia Związek między mocą i energią:
OE1 2014

58 Opornik liniowy Równania Symbole Jednostki
Charakterystyka prądowo-napięciowa OE1 2014

59 Opornik liniowy Obliczanie rezystancji Długość przewodu
konduktywność  przewodność rezystywność  oporność właściwa pole powierzchni poprzecznej przewodu OE1 2014

60 Rezystywność i konduktywność przewodników
Materiał Rezstywność  Konduktywność  m mm2/m S/m m/(mm2) SREBRO 1.6210-8 0.0162 62.5106 62.5 MIEDŹ 1.7510-8 0.0175 57 106 57 ALUMINIUM 2.8310-8 0.0283 35.3 106 35.3 CYNA 1210-8 0.12 8.33 106 8.33 PLATYNA 11.1 10-8 0.111 9 106 9 MANGANIN 44 10-8 0.44 2.3 106 2.3 KONSTANTAN 48 10-8 0.48 2.1 106 2.1 CHROMONIKIELINA 110 10-8 1.1 0.91 106 0.91 CYNK 6.3 10-8 0.63 15.9 106 15.9 OE1 2014

61 Parametry rezystorów Rezystancja znamionowa  wskaźnik wartości rezystancji. Podawana z największym dopuszczalnym odchyleniem rezystancji rzeczywistej od rezystancji znamionowej. (Dopuszczalne odchyłki zawarte w przedziale 0,1 – 20 %) Moc znamionowa  największa dopuszczalna moc możliwa do wydzielenia w rezystorze. Moc ta jest zależna od powierzchni rezystora, sposobu odprowadzenia ciepła, maksymalnej dopuszczalnej temperatury pracy i temperatury otoczenia. Napięcie znamionowe  największe dopuszczalnym napięciem, które może być przyłożone do rezystora bez zmiany jego właściwości (bez jego uszkodzenia). Typowe wartości znamionowe: od kilkudziesięciu do kilkuset woltów. OE1 2014

62 Rodzaje rezystorów OE1 2014

63 Rezystory (cd) Drutowe: z przewodu cylindrycznego lub taśmowego nawiniętego na korpusie ceramicznym Warstwowe: elementem oporowym jest cienka warstwa przewodząca (węglowa lub metalowa) nałożona na nieprzewodzącą część konstrukcyjną Objętościowe (masowe): przewodzą prąd całym przekrojem. OE1 2014

64 Przykład: 4K74700 (węglowy)
Pasek 1, pole # Pasek 2, pole # Pasek 4, tolerancja w % Pasek 3, mnożnik (ile zer?) PASEK 1: żółty  PASEK 2: fiolet PASEK 3: czerwony PASEK 4: złoty 5%(tol.) 4700  OE1 2014

65 Przykład kodu wartości
1-szy pasek: pomarańczowy = 3 2-gi pasek: pomarańczowy = 3 3-i pasek: czerwony = 2 ( 102) 4-ty pasek: czerwony = 2% 33 x 102 = 3300 = 3.3 k OE1 2014

66 Oporniki nieliniowe: rezystancja statyczna
Proporcjonalna do tangensa nachylenia siecznej w danym punkcie OE1 2014

67 Oporniki nieliniowe: rezystancja dynamiczna
Proporcjonalna do tangensa nachylenia stycznej w danym punkcie OE1 2014

68 Oporniki nieliniowe uzależnione napięciowo i prądowo
Opornik, dla którego u jest jednoznaczną funkcją prądu i dla i(-;+ ) nazywamy uzależnionym prądowo. Opornik, dla którego i jest jednoznaczną funkcją napięcia u dla u(-;+ ) nazywamy uzależnionym napięciowo. termistor Dioda tunelowa OE1 2014

69 Oporniki nieliniowe nieuzależnione
Opornik, dla którego u jest jednoznaczną funkcją prądu i dla i(-;+ ) oraz dla i jest jednoznaczną funkcją napięcia u dla u(-;+ ) nazywamy nieuzależnionym. Żarówka z włóknem wolframowym OE1 2014

70 Charakterystyki elementów nieliniowych:
OE1 2014

71 L Cewka i u i indukcyjność Strumień magnetyczny
przenikający przez uzwojenie jest proporcjonalny do prądu gdy charakterystyka strumieniowo-prądowa cewki liniowej jest linią prostą przechodzącą przez początek układu współrzędnych. i OE1 2014

72 L - indukcyjność cewki Dla cewki, która ma z zwojów wprowadzamy pojęcie „strumień skojarzony” z uzwojeniem: OE1 2014

73 Kondensator i u C q u pojemność Ładunek elektryczny
na okładkach kondensatora jest proporcjonalny do napięcia gdy q charakterystyka napięciowo-ładunkowa kondensatora liniowego jest linią prostą przechodzącą przez początek układu współrzędnych. u OE1 2014

74 C - pojemność kondensatora
OE1 2014

75 Elementy pasywne i aktywne obwodów
Element pasywny pobiera energię Element aktywny dostarcza ją do obwodu pasywny aktywny OE1 2014

76 Źródła napięciowe Źródłem napięciowym jest dwukońcówkowy element posiadający na swoich zaciskach zadane napięcie uz(t) niezależne od wartości prądu płynącego przez źródło. Symbole: OE1 2014

77 Źródła napięciowe (idealne): charakterystyki
OE1 2014

78 Rzeczywiste źródło napięciowe
Symbole: OE1 2014

79 Stany pracy źródła napięciowego
Obciążenie: obciążenie OE1 2014

80 Charakterystyka napięciowo-prądowa źródła napięciowego (rzeczywistego)
Stan jałowy Stan zwarcia OE1 2014

81 Stany pracy źródła napięciowego (cd)
Stan jałowy(rozwarcie) Zwarcie OE1 2014

82 Dopasowanie odbiornika do źródła
Prąd w obwodzie: Moc odbiornika: OE1 2014

83 Dopasowanie odbiornika do źródła (cd)
Warunek dopasowania odbiornika do źródła OE1 2014

84 Przykładowy wykres mocy odbiornika:
OE1 2014

85 Sprawność ukladu odbiornikźródło
0.5 dopasowanie OE1 2014

86 Źródła prądowe Źródłem prądowym jest dwukońcówkowy element przez którego zaciski płynie zadany prąd iz(t) niezależnie od wartości napięcia panującego na jego zaciskach. Symbole: oznaczenia DC: OE1 2014

87 Źródła prądowe (idealne): charakterystyki
OE1 2014

88 Rzeczywiste źródło prądu (model praktyczny)
OE1 2014

89 Rzeczywiste źródło prądu (stan zwarcia)
OE1 2014

90 Rzeczywiste źródło prądu (obciążenie)
OE1 2014

91 Charakterystyka u-i źródła prądowego
Stan zwarcia Stan jałowy OE1 2014

92 Źródła zależne (sterowane)
Źródło napięcia sterowane prądem Prąd sterujący Model czwórnikowy Przypadek liniowy OE1 2014

93 Źródła zależne (sterowane)
Źródło napięcia sterowane napięciem napięcie sterujące Model czwórnikowy Przypadek liniowy OE1 2014

94 Źródła zależne (sterowane)
Źródło prądu sterowane prądem Prąd sterujący Model czwórnikowy Przypadek liniowy OE1 2014

95 Źródła zależne (sterowane)
Źródło prądu sterowane napięciem napięcie sterujące Model czwórnikowy Przypadek liniowy OE1 2014

96 Wzmacniacz operacyjny
OE1 2014

97 Wzmacniacz operacyjny
OE1 2014

98 OE1 2014

99 OE1 2014

100 Przykład 1 OE1 2014

101 Układy równoważne (definicja)
OE1 2014

102 Układy P i Q nazywamy równoważnymi, jeżeli ich opis matematyczny jest taki sam.
Opis obwodu P Opis obwodu Q OE1 2014

103 Przykład 1 OE1 2014

104 Przykład 2 (gwiazda) 1 2 3 OE1 2014

105 Przykład 2 (trójkąt) 1 2 3 OE1 2014

106 trójkąt  gwiazda Porównując równania opisujące oba układy otrzymuje się zależności: OE1 2014

107 Gwiazda trójkąt Podobnie, rozwiązując poprzednie zależności względem R12,R23,R31 otrzymamy: OE1 2014

108 Obliczanie prostych obwodów
Połączenie szeregowe oporników liniowych Połączenie szeregowe elementów nieliniowych (charakterystyka wypadkowa) Połączenie równoległe oporników liniowych. Połączenie równoległe oporników nieliniowych (charakterystyka wypadkowa) Dzielnik prądu Dzielnik napięcia; układy z potencjometrem Układanie i rozwiązywanie równań napisanych na podstawie PPK i NPK OE1 2014

109 Połączenie szeregowe oporników liniowych
OE1 2014

110 Połączenie szeregowe oporników nieliniowych
Zadanie: znając charakterystyki napięciowo-prądowe obu oporników nieliniowych wyznaczyć wypadkową charakterystykę połączenia szeregowego tych elementów. OE1 2014

111 Charakterystyki u-i oporników
5 1 -4 3 -1 OE1 2014

112 Dodawanie napięć (punkt i=-1)
5 1 -5 -4 3 Dla i=-1 -1 OE1 2014

113 Dodawanie napięć (punkt i=1 oraz i=2)
5 2 1 3 -1 OE1 2014

114 Charakterystyka wypadkowa
5 2 1 3 -1 3 OE1 2014

115 Podsumowanie Aby wyznaczyć wypadkową charakterystykę elementów nieliniowych połączonych szeregowo należy dla wszystkich (lub wybranych z określoną dokładnością) wartości prądu dodać wartości napięć elementów składowych. W przypadku układów odcinkowo-liniowych operację wystarczy przeprowadzić jedynie dla wszystkich punktów załamania charakterystyk (+dodatkowo dla dwóch punktów wybranych z segmentów zewnętrznych) OE1 2014

116 Połączenie równoległe oporników liniowych
OE1 2014

117 Połączenie równoległe oporników nieliniowych
Zadanie: znając charakterystyki napięciowo-prądowe obu oporników nieliniowych wyznaczyć wypadkową charakterystykę połączenia równoległego tych elementów. OE1 2014

118 Połączenie równoległe oporników nieliniowych:
OE1 2014

119 Podsumowanie Aby wyznaczyć wypadkową charakterystykę elementów nieliniowych połączonych równolegle należy dla wszystkich (lub wybranych z określoną dokładnością) wartości napięcia dodać wartości prądów elementów składowych. W przypadku układów odcinkowo-liniowych operację wystarczy przeprowadzić jedynie dla wszystkich punktów załamania charakterystyk (+dodatkowo dla dwóch punktów wybranych z segmentów zewnętrznych) OE1 2014

120 Dzielnik prądu Wyznaczyć prądy połączonych równolegle oporników jeśli znamy ich wartości oraz prąd dopływający do połączenia: OE1 2014

121 Dzielnik napięcia OE1 2014

122 Potencjometr 1 2 3 R 1 2 3 R OE1 2014

123 1 2 3 R OE1 2014

124 OE1 2014

125 Rozwiązywanie układów rozgałęzionych: algorytm pisania równań PPK i NPK
Liczba węzłów: n=5 Liczba gałęzi: b=8 Niewiadome: OE1 2014

126 Jak ułożyć komplet równań liniowo niezależnych ?
Ustalamy zmienne obwodowe: prądy gałęziowe (elementów rezystancyjnych i źródeł napięciowych) oraz napięcia idealnych źródeł prądowych Piszemy równania PPK dla n-1 spośród n węzłów obwodu Piszemy równania NPK dla b-n+1 pętli obwodu: Piszemy równanie dla dowolnej (pierwszej) pętli Piszemy równania dla kolejnych (nowych) pętli w taki sposób aby nowa pętla zawierała co najmniej jedną zmienną dotychczas niewykorzystaną Powtarzamy ten etap tak aby liczba równań wynosiła maksymalnie b-n+1 UWAGA: można napisać b-n+1 równań liniowo niezależnych dla oczek (pętli nie zawierających żadnych gałęzi wewnętrznych) OE1 2014

127 n-1 (4) równań na podstawie PPK:
2 4 3 OE1 2014

128 Równania napięciowe, pierwsza pętla:
1 OE1 2014

129 Równania napięciowe, druga pętla:
Nowe gałęzie: 3,5 2 OE1 2014

130 Równania napięciowe, pętla trzecia:
Nowe gałęzie: 6,8 3 OE1 2014

131 Równania napięciowe, pętla czwarta i ostatnia:
Nowa gałąź: 7 4 OE1 2014

132 Przykład prostego obwodu z rozwiązaniem
Oblicz prądy gałęziowe w układzie z powyższego rysunku. Przyjmując, że opornik R2 jest jedynym odbiornikiem, wyznacz sprawność układu. Potwierdź słuszność twierdzenia Tellegena. OE1 2014

133 1 2 3 OE1 2014

134 + + OE1 2014

135 OE1 2014

136 Weryfikacja Twierdzenia Tellegena
OE1 2014

137 Zasada superpozycji Odpowiedź układu liniowego na sumę wymuszeń
działających jednocześnie jest równa algebraicznej sumie odpowiedzi układu na poszczególne wymuszenia działające osobno. Zasada ta stanowi, że odpowiedź obwodu liniowego (tzn. prąd, napięcie) na wszystkie niezależne źródła działające jednocześnie w obwodzie, jest równa sumie odpowiedzi na poszczególne źródła działające osobno (tzn. przy przyrównaniu pozostałych do zera). OE1 2014

138 Usunięcie źródła prądowego oznacza pozostawienie jego rezystancji
wewnętrznej równej  czyli rozwarciu jego zacisków: OE1 2014

139 Usunięcie źródła napięciowego oznacza pozostawienie jego rezystancji
wewnętrznej równej 0 czyli zwarciu jego zacisków: OE1 2014

140 Przykład 1 (ogólny) OE1 2014

141 i = i’ + i” OE1 2014

142 OE1 2014

143 Thev OE1 2014

144 Zastępownie gałęzi źródłem napięcia lub prądu

145 Obwód z wyodrębnioną k-tą gałęzią OE1 2014

146 OE1 2014

147 Jeśli e = uk uAC = 0 Gałąź obwodu, na której występuje napięcie uk można zastąpić idealnym źródłem napięcia o napięciu źródłowym e = uk OE1 2014

148 Dla wyodrębnionej gałęzi z prądem ik:
OE1 2014

149 Gałąź obwodu, wiodącą prąd ik można zastąpić idealnym źródłem prądu
Jeśli j = ik ik-j+j  j Gałąź obwodu, wiodącą prąd ik można zastąpić idealnym źródłem prądu j = ik OE1 2014

150 Włączanie i przenoszenie źródeł
Twierdzenie o włączaniu dodatkowych źródeł

151 Jeżeli we wszystkich gałęziach zbiegających się w dowolnym węźle umieścimy źródła napięcia o tym samym napięciu źródłowym i takiej orientacji względem węzła to rozpływ prądów w układzie nie ulegnie zmianie. NPK nie ulega zmianie!!! OE1 2014

152 Jeżeli w dowolnej pętli obwodu, równolegle do każdej gałęzi, włączymy między kolejne węzły źródła prądu o jednakowym zwrocie względem obiegu pętli i jednakowych wartościach to rozkład napięć w układzie nie ulegnie zmianie. OE1 2014

153 Przenoszenie źródeł (1)
OE1 2014

154 Przenoszenie źródeł (2)
OE1 2014

155 OE1 2014

156 Twierdzenie o kompensacji

157 Rozpatrujemy obwód liniowy:
OE1 2014

158 OE1 2014

159 Po zastosowaniu twierdzenia o zastępowaniu gałęzi źródłem napięciowym:
OE1 2014

160 Z SUPERPOZYCJI OE1 2014

161 PONIEWAŻ OE1 2014

162 Twierdzenie Thevenina-Nortona

163 L M OE1 2014

164 OE1 2014

165 Wyznaczanie parametrów iZ, GZ
Niech u=0, wówczas i=-iZ OE1 2014

166 Rozpatrując stan obwodu, w którym działa jedynie źródło u,
(tzn. ek=0 dla k=1...L, oraz jk=0 dla k=1...M) OE1 2014

167 OE1 2014

168 L M OE1 2014

169 OE1 2014

170 Wyznaczanie parametrów uZ, RZ
Niech i=0, wówczas u=uZ OE1 2014

171 Rozpatrując stan obwodu, w którym działa jedynie źródło i,
(tzn. ek=0 dla k=1...L, oraz jk=0 dla k=1...M) OE1 2014

172 Pomiarowe wyznaczanie parametrów źródeł zastępczych
Jeśli można pomierzyć napięcie uAB na zaciskach A-B oraz prąd zwarcia iZ=iAB płynący między zwartymi zaciskami A-B badanego układu to: OE1 2014

173 OE1 2014

174 Podsumowanie : zastępczy dwójnik Nortona
Kady liniowy dwójnik aktywny można przedstawić względem wybranej pary zacisków A-B w postaci zastępczego równoległego połączenia idealnego źródła prądu iZ i opornika RZ (GZ). Prąd zastępczego źródła jest równy prądowi jaki popłynie między zwartymi zaciskami A-B rozpatrywanego obwodu Rezystancja Rz (konduktancja GZ) jest równa rezystancji (konduktancji) rozpatrywanego obwodu widzianej względem wybranej pary zacisków A,B po przyrównaniu do zera wszystkich wymuszeń (zwarciu źródeł napięciowych, rozwarciu źródeł prądowych) OE1 2014

175 Podsumowanie : zastępczy dwójnik Thevenina
Każdy liniowy dwójnik aktywny można przedstawić względem wybranej pary zacisków A-B w postaci zastępczego szeregowego połączenia idealnego źródła napięcia uZ i opornika RZ (GZ). Napięcie zastępczego źródła jest równe napięciu uAB jakie panuje między rozwartymi zaciskami A-B rozpatrywanego obwodu Rezystancja Rz (konduktancja GZ) jest równa rezystancji (konduktancji) rozpatrywanego obwodu widzianej względem wybranej pary zacisków A,B po przyrównaniu do zera wszystkich wymuszeń (zwarciu źródeł napięciowych, rozwarciu źródeł prądowych) OE1 2014

176 Metoda potencjałów węzłowych

177 Przykład 1 v1 v3 v2 OE1 2014

178 Równania prądowe v1 v3 v2 OE1 2014

179 Zależności gałęziowe v1 v3 v2 OE1 2014

180 Wstawienie zależności gałęziowych do równań prądowych  równanie 1
OE1 2014

181 Wstawienie zależności gałęziowych do równań prądowych  równanie 2
OE1 2014

182 Wstawienie zależności gałęziowych do równań prądowych  równanie 3
OE1 2014

183 Końcowy układ równań v1 v3 v2 OE1 2014

184 Przykład 2 v2 v1 v3 OE1 2014

185 Przykład 2 Równania OE1 2014

186 Przykład 2 równania końcowe spr.
v3 v2 v1 OE1 2014

187 Przykład 2 Równania uproszczone
OE1 2014

188 Przykład 3 v2 v1 v3 OE1 2014

189 Przykład 3 Równania OE1 2014

190 Przykład 3 Równania pododaniu 1 i 3
+ OE1 2014

191 Opis algorytmu Wybieramy (dowolnie) jeden z a węzłów jako węzeł odniesienia NIEWIADOME: Potencjały (a-1) węzłów niezależnych oraz prądy wszystkich idealnych źródeł napięciowych. Układamy dla (a-1) węzłów (oprócz węzła odniesienia!) równania na podstawie PPK. Prądy w gałęziach zawierających oporniki oraz napięcia sterujące i prądy sterujące (z gałęzi konduktancyjnych) uzależniamy od napięć węzłowych. Wstawiamy je do równań PPK z p.2 Komplet równań uzupełniamy poprzez uzależnienie od napięć węzłowych napięć źródeł niezależnych i sterowanych napięciowych OE1 2014

192 OE1 2014

193 OE1 2014

194 Przykład 4 u3 1 2 3 4 5 OE1 2014

195 Zasada wzajemności

196 OE1 2014

197 TWIERDZENIE O WZAJEMNOŚCI OCZKOWE
OE1 2014

198 Twierdzenie o wzajemności węzłowe
OE1 2014

199 Twierdzenie o wzajemności hybrydowe
OE1 2014

200 OE1 2014

201 Dowód DLA KAŻDEJ k-tej GAŁĘZI ZACHODZI: Czyli: Skąd: OE1 2014

202 Uzasadnienie twierdzenia o wzajemności oczkowego
OE1 2014

203 Uzasadnienie twierdzenia o wzajemności węzłowego
OE1 2014

204 Twierdzenie o wzajemności hybrydowe - dowód
OE1 2014