zespolone : dualne, podwójne hiperzespolone :

Prezentacja na temat: "zespolone : dualne, podwójne hiperzespolone :"— Zapis prezentacji:

1 zespolone : dualne, podwójne hiperzespolone :
Dziwne, nieznane liczby hiprrzeczywiste , nadrzeczywiste , zespolone : dualne, podwójne hiperzespolone : kwaterniony, tessariny, kokwaterniony, oktoniony, bikwaterniony, Sedeniony. Postaraj się przewidzieć co pojawi się w następnym polu tekstowym.

2 x + 3 = 0 x = -3 x ∙ 3 = 1 W prezentacjach :
@ Co to jest liczba ? Zbiór liczb @ Zbiór liczb całkowitych, @ Czy są liczby inne niż rzeczywiste dowiedzieliśmy się o matematycznej konstrukcji wymienionych zbiorów. Ale podczas szkolnej edukacji matematycznej, poznaliśmy te podstawowe zbiory liczbowe, krocząc inną drogą, drogą praktyki ( odcinać - odejmowanie, podział – dzielenie, wykonywanie działań na tej samej liczbie – = 3 ∙ 2 ; mnożenie, 2 ∙ 2 ∙ 2 = 23 ; potęgowanie ) przetłumaczoną na język matematyki, i wyrażoną za pomocą równań. W zbiorze liczb naturalnych, równanie x + 3 = 0 nie ma rozwiązania. Aby równanie to miało rozwiązanie, trzeba zdefiniować zbiór liczb całkowitych C ( Z ) ; x = -3 Znając tylko liczby całkowite, nie potrafimy rozwiązać równania x ∙ 3 = 1

3 x = 1/3 x 2 = 2 <=> x = ± √ 2 , 2 x = 2 <=> x = log 2 2
Aby równanie x ∙ 3 = 1 miało rozwiązanie, trzeba określić zbiór liczb wymiernych W ( Q ) ; x = 1/3 W podstawówce znając tylko liczby wymierne, nie potrafiliście rozwiązać równania x 2 = 2 . Jak wiemy, pierwiastkami tego równania są liczby niewymierne, które poznaliście w gimnazjum. x 2 = 2 <=> x = ± √ 2 , a w liceum 2 x = 2 <=> x = log 2 2 W ᴗ NW = R Wiemy, że zbiory liczb : C ( Zahlen ) , W ( Quotient ) , R ( Real ) można definiować na kilka sposobów, co zasygnalizowaliśmy w poprzednich prezentacjach. W pewnych zagadnieniach matematycznych wygodnie jest rozważać rozszerzony zbiór liczb rzeczywistych. Z tymi problemami spotykają się licealiści, którzy poznali ciągi zbieżne do nieskończoności.

4 Aby wykonać działania na ciągach zbieżnych,
do zbioru liczb rzeczywistych dołączamy dwa „ elementy nieskończone ” : Zbiór ten nazywamy rozszerzeniem dwupunktowym lub afinicznym liczb rzeczywistych ( prostej rzeczywistej ) i oznaczamy Ci, którzy umieją obliczać granice ciągów , znają działania arytmetyczne w zbiorze Prawdziwe pozostają prawa działań arytmetycznych, pod warunkiem jednak, że wszystkie występujące w nich wyrażenia są określone.

5 To ostatnie zastrzeżenie sprawia, że zbiór
nie jest ciałem, ani nawet pierścieniem. Na zbiór można rozszerzyć wiele funkcji. Przykładem może być funkcja potęgowa która dla szczególnych argumentów przyjmuje wartości według definicji : znane jako twierdzenia o granicach funkcji. W podobny okresla się wiele innych funkcji, np. funkcję wykładniczą, logarytmiczną, czy tangens , itp. Co więcej wspomniane funkcje są ciągłe na całym zbiorze co upraszcza dowody wielu twierdzeń i stanowi główną motywację dla rozpatrywania rozszerzeń zbioru liczb rzeczywistych.

6 Abraham Robinson  ( 1918 w Wałbrzychu – 1974 )
najbardziej znany jako autor analizy niestandardowej, poszedł dalej w rozszerzaniu zbioru liczb, bo do systemu liczb rzeczywistych włączył wartości nieskończenie duże i nieskończenie małe, definiując zbiór liczb hiperrzeczywistych Aby te pojęcia zrozumieć, trzeba znać przynajmniej podstawowe pojęcia z analizy matematycznej ( które niegdyś uczono w liceum ). Zasygnalizujmy niektóre z tych pojęć, nie wdając się w precyzyjne rozważania. Nieskończenie małe ( infinitezymalne ) – określenie wielkości, która w danym przejściu granicznym dąży do zera. Niech x0 oznacza liczbę rzeczywistą lub ± ∞. Funkcję f (x) nazywamy nieskończenie małą przy x dążącym do x0 jeżeli jej granica jest równa  0 :

7 sin x i x Dwie nieskończenie małe f (x) i g(x) są równoważne jeżeli
Relacja „ równoważności " nieskończenie małych jest rzeczywiście relacją równoważnościową. sin x jest nieskończenie małą w punkcie 0 bo Równość ta oznacza jednocześnie, że sin x i x nieskończenie małe w punkcie 0 , są równoważne. Aksjomatykę i konstrukcję liczb hiperrzeczywistych poznają na studiach tylko ci, którzy będą potrzebowali je do rozważania pewnych szczególnych zagadnień. Ale warto wiedzieć, że własności zbioru liczb hiperrzeczywistych, są analogiczne do własności zbioru liczb rzeczywistych. Liczby hiperrzeczywiste można porównywać, rozpoznawać liczby nieujemne ( jako kwadraty ).

8 Niektóre z liczb hiperrzeczywistych utożsamiamy
z liczbami hipercałkowitymi. Można mówić o ich dzielnikach, o liczbach pierwszych i tak dalej. Pamiętajmy nazwisko A. Robinsona jako autora analizy niestandardowej, która jest bardzo młodą dziedziną matematyki i jej najlepsze czasy są przed nami. Każda(y) z was może się do tego przyczynić ! Jeden z najwybitniejszych logików matematycznych Kurt Gödel powiedział : „ Są powody wierzyć, że analiza niestandardowa w tej czy innej wersji, będzie analizą przyszłości. ” Ważne jest, że analiza niestandardowa pozwala bardziej intuicyjnie formułować znane pojęcia i twierdzenia, jak również uzyskać nowe wyniki w wielu gałęziach matematyki.

9 Analizę niestandardową wykorzystuje się w  badaniach ,
np. w  teorii równań różniczkowych hydrodynamiki, mechanice Newtona skończonych układów materialnych, dobrze opisuje znane z fizyki ruchy Browna, itd. Gwoli ścisłości należy nadmienić, że literatura z analizy niestandardowej nie jest popularna a w internecie znalazłem uwagę, że analiza niestandardowa nie otworzyła nowej raptownie rozwijającej się dziedziny matematyki. Skoro są liczby hiperrzeczywiste pojawili się matematycy , jak Ebbinghaus, Hermes, Hirzebruch, określili nowe liczby, nadrzeczywiste. Liczby nadrzeczywiste – klasa obiektów, spełniająca aksjomaty ciała, która zawiera w sobie zarówno liczby rzeczywiste, hiperrzeczywiste jak i porządkowe.

10 Ponieważ zbiór liczb nadrzeczywistych jest sumą
trzech poprzednich zbiorów, zatem aksjomatyka liczb nadrzeczywistych musi obejmować trzy poprzednie i nie jest prosta. Tymi liczbami zajmą się na studiach ci, którym będą one potrzebne do rozwiązywania zagadnień w danej interesującej ich dziedzinie. Konstrukcja liczb nadrzeczywistych oparta jest na uogólnieniu idei przekrojów Dedekinda zastosowanej przy konstrukcji liczb rzeczywistych. Przykład liczby nadrzeczywistej utożsamioną z rzeczywistej : liczby nadrzeczywistej , utożsamioną z hiperrzeczywistą ( nieskończenie małą - infinitezymalnej ) :

11 x 2 = - 1 . W zbiorze liczb nadrzeczywistych, który na ogół
oznaczamy symbolem F, określamy działania podobnie jak na przekrojach Dedekinda. Ale jak już wspomniałem, tymi problemami zajmą się na studiach tylko nieliczni. Porzućmy liczby hiper oraz nad i powróćmy do „ starych ” , znanych nam liczb z edukacji szkolnej, a raczej do szkolnego sposobu konstruowania nowych liczb, który wynikał z naturalnej chęci rozwiązania podstawowych równań z którymi na lekcji matematyki spotykaliśmy się prawie na każdym kroku. Czy każde równanie wymienionej wyżej postaci potrafimy rozwiązać ? Sądzę, że wszyscy wskażą przykład takiego równania. x 2 = - 1 . I znowu nie ma liczby rzeczywistej, której kwadrat wynosi - 1.

12 imaginarius - liczby wyimaginowane, urojone
x 2 = - 1 Skoro nie ma liczby rzeczywistej, której kwadrat wynosi - 1, wiemy już co zrobić. Jeśli chcemy, by powyższe równanie miało rozwiązanie, trzeba wykreować, stworzyć nową liczbę, której kwadrat byłby równy - 1. Czy ma ona sens ? Czy ma jakieś zastosowanie ? Czy taka liczba „ realnie ” istnieje ? Ma sens pod warunkiem, że ich pojawienie się nie zagrozi działaniom na liczbach już istniejących. Takie liczby zostały wprowadzone w XVII w. przez Kartezjusza a wcześniej operował nimi G. Cardano, przy rozwiązywaniu równań wyższych stopni. W 1777 r. L. Euler w miejsce , wprowadził symbol i. Tak powstały nowe obiekty – liczby : które nazwano imaginarius - liczby wyimaginowane, urojone i zapisujemy je w postaci

13 Wprawdzie dotychczas „ praktycznego ” zastosowania
takich liczb nie znamy, ale teoretyczne, algebraiczne , przynajmniej jedno możemy zauważyć np. rozwiązując proste równanie Ponadto już gimnazjaliści patrząc na zapis liczby zespolonej automatycznie kojarzą z liczbami na których potrafimy wykonywać działania : dodawania, mnożenia, potęgowania. Stąd dość zaskakujący tytuł mojej prezentacji @ Czy gimnazjalista potrafi wykonywać działania na liczbach zespolonych ? @ Nie muszę dodawać, że odpowiedź na powyższe pytanie jest pozytywna. W zasadzie, pomimo, że niewiele powiedzieliśmy o liczbach zespolonych, dosyć dużo operacji potrafimy na nich wykonywać. Zainteresowanych zapraszam do prezentacji @ Liczby zespolone a punkty @ @ Liczby zespolone a trygonometria @

14 Przypomnijmy teoretyczną konstrukcję zbioru liczb zespolonych
zwaną konstrukcją Cayleya-Dicksona. i zasygnalizujmy problemy związane z teorią tych liczb. Zespolone Mamy zbiór liczb rzeczywistych R. Bierzemy W tym zbiorze określamy działania : „ + ” , „ ∙ ” ciało liczb zespolonych. gdzie, gdy to Uzasadnienie wzorów działań, uzyska każdy kto wykona operacje gdy Łatwo wykazać, że te działania spełniają własności, pozwalają stwierdzić, że jest ciałem. Wróćmy do geometrycznej interpretacji podstawowych zbiorów liczbowych poznanych w szkole.

15 . . . . . . . . . . . . . . . . . ……………………………………………………………………………………..….
R płaszczyzna . . b X = ( a , b ) . . . . . . . . . . . . . . . ……………………………………………………………………………………..…. ……………………………………………………………………………….………. ……………………………………………………………………………….………. W R N C -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 a 4 5 7 8 9 Od izolowanych, kolejno równoodległych punktów ( współrzędne punktów są liczbami naturalnymi ), przez wszystkie punkty na prostej ( współrzędne punktów są liczbami rzeczywistymi ), przechodzimy do punktów całej płaszczyzny ( współrzędne punktów to pary liczb rzeczywistych). Płaszczyzna Jak już wiemy, w/g konstrukcji Cayleya-Dicksona zbiór liczb zespolonych Z to właśnie czyli mamy geometryczną interpretację zbioru liczb zespolonych. Dzięki tej interpretacji liczby zespolone możemy przedstawiać w różnych postaciach o których była mowa w wymienionych prezentacjach. Przypomnijmy te postacie liczby zespolonej.

16 . . . . . Niech Wspominałem już, że między innymi
= ( a , b ) b . r = | z | . . x O a Niech Wspominałem już, że między innymi liczby zespolone są wygodnym narzędziem do określenia i badania przekształceń i ich własności. Na płaszczyźnie zespolonej wzory na przekształcenia punktu są proste, np. translacja o wektor wyraża się wzorem a obrót wokół początku układu współrzędnych o kąt Niektóre dziedziny nauki w których zastosowanie mają liczby zespolone, wymieniałem w poprzedniej prezentacji.

17 i 2 = -1 na np Ponieważ liczbom zespolonym poświęciliśmy
kilka wspomnianych wcześniej prezentacji, które polecam zainteresowanym, proponuję teraz zająć się budowaniem dalszych nowych zbiorów liczbowych. Liczby zespolone to obiekty postaci Konstrukcja liczby i , której kwadrat wynosi -1, była konsekwencją dążenia , by równanie x = 0 miało rozwiązanie. Ale po zbudowaniu teorii liczb zespolonych, dociekliwi być może zastanawiali się, co by było ( częste rozumowanie w matematyce ) gdyby zmienić warunek. i 2 = -1 na np i 2 = 0 lub i 2 = 1 . Zdefiniujmy wiec nową liczbę ( obiekt, wyrażenie ) Liczba dualna ( w algebrze ) to wyrażenie postaci gdzie oraz ( jest nilpotentem ).

18 Liczby dualne można ściśle zdefiniować jako zbiór par
liczb rzeczywistych z następującymi dwoma działaniami : Para jest elementem neutralnym dodawania elementem neutralnym mnożenia oraz Ponieważ stąd ostatni związek podpowiada aby przyjąć, że oraz skąd wzięła się definicja mnożenia. Analogicznie do liczb zespolonych można otrzymać następującą postać kanoniczną : Łatwo wykazać, że zbiór liczb dualnych z tymi działaniami jest pierścieniem przemiennym z jedynką i dzielnikami zera. ( d - dzielnik zera , gdy istnieje

19 Dzielniki zera mają postać
bowiem Jak widać pomysł utworzenia takich liczb okazał się ciekawy, bo otrzymaliśmy znaną nam strukturę, pierścień z dzielnikami zera. Dla liczby dualnej nie będącej dzielnikiem zera tj. istnieje odwrotność. Znajdujemy ją analogicznie do czynności przy obliczaniu odwrotności liczby zespolonej ( rozszerza się przez liczbę sprzężoną do mianownika ) Sądzę, że jesteśmy chyba zaskoczeni, iż nasz pomysł przyniósł takie rezultaty. Warto wiedzieć, że konsekwencją naszej definicji par dualnych ( dwoistych ) jest konstrukcja przestrzeni dualnej ( związana z iloczynem skalarnym wektorów ), modułu dualnego, przekształceń dualnych.

20 lub i =-1 Tym, którzy znają pojęcie macierzy,
( zainteresowani macierzami, podstawowe pojęcia znajdą w prezentacji @ Definicja macierzy, działania @ ) podpowiem, że istnieje odpowiedniość ( izomorfizm ), między liczbami dualnymi a macierzami 2 – go st. w szczególności Po tym niewątpliwym sukcesie, idźmy za ciosem. Co się stanie, gdy warunek i 2 = -1 zmienimy np. na i 2 =1 . Ale przecież ten warunek oznacza, że i =1 lub i =-1 i nic nowego nie otrzymamy. Hola, hola, przecież i , to nie liczba, tylko para liczb Zdefiniujmy więc nową liczbę ( obiekt, wyrażenie ) Liczba podwójną ( w algebrze ) to wyrażenie postaci gdzie oraz

21 Liczby podwójne można ściśle zdefiniować jako zbiór par
liczb rzeczywistych z następującymi dwoma działaniami : Para jest elementem neutralnym dodawania elementem neutralnym mnożenia oraz Ponieważ stąd ostatni związek podpowiada aby przyjąć, że oraz skąd wzięła się definicja mnożenia. Analogicznie do liczb zespolonych można otrzymać następującą postać kanoniczną : Łatwo wykazać, że zbiór liczb dualnych z tymi działaniami jest pierścieniem przemiennym z jedynką i dzielnikami zera. ( d - dzielnik zera , gdy istnieje

22 Dzielniki zera mają postać
bowiem Czyli jest dzielnikiem zera gdy Dla liczby podwójnej nie będącej dzielnikiem zera tj. istnieje odwrotność. Umiemy ją znaleźć ( rozszerza się przez liczbę sprzężoną do mianownika ) Tym razem jesteśmy może mniej zaskoczeni niż poprzednio, iż nasz pomysł przyniósł takie rezultaty. Zatem, znowu sukces ! I nadal istnieje odpowiedniość ( izomorfizm ), między liczbami podwójnymi a macierzami 2 – go st. w szczególności

23 є Ponieważ wyczerpaliśmy przypadki ingerujące
w warunki jednostki urojonej i liczby zespolonej, dalsze jakiejś konstrukcje należy poszukiwać rozbudowując, podwajając liczbę zespoloną. Skoro z sukcesem wykonywaliśmy taką konstrukcję czterokrotnie, definiując liczby całkowite, wymierne, zespolone, wykonajmy ją jeszcze raz. Bierzemy ( pary liczb zespolonych ). є para liczb zespolonych dwie pary liczb rzeczywistych czwórka liczb rzeczywistych Takie czwórki liczb rzeczywistych wprowadził W. Hamilton Obiekty te nazywamy liczbami hiperzespolonymi lub krócej kwaternionami. Najprostszą postacią liczby zespolonej jest zapis

24 Również kwaterniony można przedstawić w różnych
postaciach, z których najprostszą jest Sądzę, że każdy patrząc na te warunki pyta, skąd one się wzięły ? Wydaje mi się, że odpowiedź jest prozaiczna. Hamilton, podobnie jak inni uczeni ( np. Mendelejew budując swoje tablice – okresowy układ pierwiastków chemicznych ) niemało i długo trudzili się ( kombinowali ) by otrzymać zadowalający efekt. Nam, wykorzystując pomysł konstrukcji tych liczb pozostaje problem, jak te warunki zapamiętać. Każdy skuteczny pomysł jest dobry. Te warunki są oczywiste. Tu zauważamy cykliczność ( zgodny z alfabetem )

25 . Tutaj zaś widać cykl odwrotny ( niezgodny z alfabetem )
Ponieważ kwaterniony znalazły zastosowanie w grafice komputerowej do wykonywania obrotów w przestrzeni trójwymiarowej, ci którzy znają iloczyn wektorowy zauważą, że gdy są wersorami ( wektorami długości 1 i parami prostopadłymi ) . to są spełnione warunki Dodawanie i mnożenie kwaternionów, podobnie jak działania na liczbach zespolonych, jest proste lecz czasochłonne, ale łatwo wykazać, że zbiór kwaternionów z działaniami „ + ” i „ ∙ ” ma strukturę pierścienia nieprzemiennego. Co więcej : w zbiorze kwaternionów z działaniami spełnione są w nim wszystkie aksjomaty ciała  z wyjątkiem przemienności mnożenia.

26 W poprzedniej prezentacji pokazaliśmy, że
pewne podzbiory kwaternionów można utożsamiać ze zbiorem liczb rzeczywistych, oraz z ciałem liczb zespolonych. Tam też, podałem kilka zastosowań kwaternionów w różnych działach matematyki. Skoro Hamilton skonstruował dziwne liczby, kwaterniony, spełniające określone warunki, inni matematycy, zaczęli rozważać możliwości zmiany tych założeń. W r. J. Cockle, wprowadził tessariny a w rok później kokwaterniony. Tessariny ( liczby dwuzespolone ) to liczby postaci : z czego wynika, że

27 Kokwaterniony ( kwaterniony rozdzielne ) to liczby postaci
Dodawania, mnożenia kokwaternionów jest oczywiste i łatwo wykazać własności działań. Podobnie jak kwaterniony Hamiltona z mnożeniem, kokwaterniony kształtują czterowymiarową rzeczywistą przestrzeń wektorową, a z dodawaniem i mnożeniem tworzy strukturę pierścienia ( nieprzemiennego ). Jest oczywiste ( co słychać w nazwie liczb – hiperzespolone ), że liczby zespolone są szczególnymi przypadkami liczb, kwaternionów, tessaryn, kokwaternionów. Postawmy podobne pytanie : czy liczby dualne, podwojone, są tez szczególnymi przypadkami liczb hiperzespolonych ?

28 Przypomnijmy określenia tych liczb
Liczba dualna Liczba podwójna gdzie gdzie Porównując warunki tych liczb z definicjami liczb hiperzespolonych, łatwo zauważyć, że liczby podwójne są szczególnymi przypadkami tessarinów i kokwaternionów ale nie kwaternionów Liczby dualne nie są szczególnymi liczb hiperzespolonych. W tej prezentacji parokrotnie wykonaliśmy pewną konstrukcję dzięki której zbudowaliśmy zbiory liczb całkowitych, wymiernych, zespolonych i kwaternionów. Powtórzmy konstrukcję tworzenia par liczb, tym razem kwaternionów.

29 є Weźmy ( pary kwaternionów )
para kwaternionów dwie czwórki liczb rzeczywistych ósemka liczb rzeczywistych Takie obiekty w r. wprowadził A. Cayley. Liczby te nazywamy oktawami Cayleya lub krótko oktoniami ( łac. octo - osiem ). Podobnie do zapisu liczby zespolonej i kwaternionu możemy przedstawić oktoniany. Ponieważ w zapisie występuje 15 liter, jest on kłopotliwy. Ale kto ma doświadczenie, choćby z wielomianami, ma propozycję, by litery od a do h, oraz od i , j , k, …. zastąpić dwiema literami ze wskaźnikami ( numerami , indeksami, ).

30 Oktoniony ( oktawy Cayleya )
a działanie mnożenia definiuje poniższa tabela : 1 e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 -1 -e2 -e5 -e3 -e4 -e6 -e7 -e1 Kolejność w mnożeniu to wiersze ( ei ) kolumny ( ej ). Stąd też : Łatwo ( choć żmudnie ) wykazuje się, że mnożenie oktonionów nie jest przemienne, ani nie jest łączne. Jest ono rozdzielne względem dodawania.

31 Zbiór oktonionów z dodawaniem i mnożeniem,
tworzą strukturę pierścienia nieprzemiennego i niełącznego z dzieleniem ( każdy element niezerowy ma element odwrotny ). Oktoniony są dziwniejsze od kwaternionów, jak przeczytaliśmy wyżej , bo mnożenie, nie tylko nie jest przemienne, ale naruszone jest prawo łączności. Nabierzmy do tych liczb respektu, bo aby zobaczyć do czego one mogą się przydać, potrzebna jest wiedza ze współczesnej fizyki cząstek elementarnych , szczególnie teorii strun. Oktoniony ( oktawy Cayleya ) są trzecią z kolei po liczbach zespolonych i kwaternionach algebrą powstałą przez zastosowanie konstrukcji Cayleya- Dicksona do liczb rzeczywistych. Chyba wszyscy już podejrzewają, że wykonamy tą konstrukcję jeszcze raz.

32 є Wykonujemy konstrukcję Cayleya. Bierzemy ( pary oktonionów )
para oktonionów dwie ósemki liczb rzeczywistych ciąg szesnastu liczb rzeczywistych Ten obiekt – liczbę nazywamy sedenionem. Każdy sedenion można przedstawić a mnożenie można zdefiniować tabelką, którą łatwo znaleźć w podręczniku. Tak jak w przypadku oktonionów, mnożenie sedenionów nie jest przemienne, ani nie jest łączne. Jest ono rozdzielne względem dodawania. Zbiór sedenionów z dodawaniem i mnożeniem, tworzą strukturę pierścienia nieprzemiennego i niełącznego ( każdy element niezerowy ma element odwrotny ).

33 Podczas gdy liczby zespolone możemy utożsamiać
z punktami na płaszczyźnie, liczbom hiperzespolonym można przyporządkować jako punkty w pewnej przestrzeni euklidesowej  o większej liczbie wymiarów ( 4 w przypadku kwaternionów, tessarinów i kokwaternionów, 8 w przypadku oktonionów i bikwaternionów oraz 16 w przypadku sedenionów ). Liczby hiperzespolone uzyskaliśmy wykonując na zbiorze liczb rzeczywistych czterokrotnie konstrukcję Cayleya. Wykonując kolejne konstrukcje, otrzymane zbiory mają jednak coraz gorsze właściwości algebraiczne: kwaterniony nie tworzą już ciała, ponieważ mnożenie przestaje być przemienne, a w oktawach mnożenie przestaje być nawet łączne. Mimo wszystko liczby te znajdują swoje zastosowania.

34 Czy budować tą konstrukcję jeszcze raz ?
Teoretycznie można, ale nowy otrzymany zbiór obiektów będzie miał jeszcze mniej własności ( będzie gorszy ) i najprawdopodobniej, nie będzie miał praktycznego zastosowania. Zatem może warto popatrzeć na to co już mamy : liczby zespolone kwaterniony tessaryny kokwaterniony oktoniony sedeniony

35 Chyba wszyscy zauważyli, że liczby zespolone, kwaterniony,
oktoniony i sedeniony, można przedstawić w postaci : to różnego rodzaju jednostki urojone Działania na liczbach są całkowicie określone przez ustalenie iloczynów ei ∙ ej jednostek urojonych. Uogólniając te liczby i definiując na nich działania. Clifford utworzył strukturę zwaną algebrą Clifforda. Pozwalając na odmienne definicje iloczynów ei ∙ ej przy czym w niezdegenerowanych algebrach Clifforda lub do konstrukcji liczb przyjmuje się zawsze:

36 Na elementach ( bazy przestrzeni )
definiujemy mnożenie. Ilość elementów, których kwadraty są równe +1, oznaczmy symbolem p, a ilość tych, których kwadrat wynosi - 1 , przez q. Liczby p , q określają jednoznacznie odpowiadające sobie ( z dokładnością do izomorfizmu ) całą wygenerowaną w ten sposób algebrę. Jest ona wówczas oznaczana Czy wszystkie rozważane przez nas zbiory liczb są algebrami Clifforda ? Aby odpowiedzieć na to pytanie, należy odwołać się do definicji tych zbiorów. Liczby zespolone tworzą algebrę Clifforda typu Cℓ0,1(R) zaś zbiór liczb podwójnych gdzie jest algebrą Cℓ1,0(R)

37 Zapraszam Koniec prezentacji Zbiór kwaternionów jest algebrą Cℓ0,3(R)
Liczby dualne gdzie z działniami nie tworzą algebry Clifforda. Jeszcze raz podkreślmy, że informacje w tej prezentacji to tylko zasygnalizowanie licealistom ciekawej wiedzy, z którą nie spotkają się w szkole, a precyzyjne definicje tych pojęć , być może poznają na studiach. Zapraszam do następnej prezentacji. Opr. WWWęgrzyn i-lo. tarnów. Bardzo proszę o krytyczne przeanalizowanie prezentacji i przekazanie uwag, by po korekcie, można było ją uznać za poprawną. Z góry dziękuję. tel Koniec prezentacji op.pl