Uczniowska Grupa Projektowa Liceum Ogólnokształcącego w Sławnie ID grupy: 97/2_MF_G2 Opiekun : Mariola Freyter Kompetencja: matematyczno-fizyczna Temat projektowy: Elementy geometrii trójkąta. Semestr V , rok szkolny 2011/2012

Spis treści Twierdzenie Napoleona Okrąg Feuerbacha Prosta Eulera Twierdzenie Miguela: Punkt Nagela Twierdzenie Cevy Punkt Lemoine‘ Twierdzenie Menelaosa Prosta Simsona

Twierdzenie Napoleona Tradycyjnie przypisuje się je Napoleonowi Bonaparte, choć nie ma żadnych dowodów na jego wkład w sformułowanie bądź udowodnienie twierdzenia.

Na czym polega twierdzenie Napoleona? Jest to twierdzenie geometryczne orzekające, że: ortocentra trójkątów równobocznych zbudowanych na bokach dowolnego trójkąta są wierzchołkami trójkąta równobocznego. ortocentrum - punkt przecięcia wysokości w trójkącie

Ilustracja Twierdzenia Napoleona

Ponieważ trójkąty zbudowane na bokach trójkąta ABC są równoboczne, to kąty zaznaczone na rysunku na czerwono mają miarę 60° oraz Niebieskie odcinki leżą jednocześnie na wysokościach i dwusiecznych trójkątów równobocznych.

więc trójkąt AMN i trójkąt ACZ są podobne. Zatem: Stąd Ponieważ więc trójkąt AMN i trójkąt ACZ są podobne. Zatem: Niebieskie odcinki leżą jednocześnie na wysokościach i dwusiecznych trójkątów równobocznych.

Analogicznie pokazujemy, że trójkąt BLN i trójkąt BCZ są podobne, więc Stąd |LN| = |MN| Analogicznie pokazujemy, że |LN| = |LM|, więc trójkąt LMN jest równoboczny. Niebieskie odcinki leżą jednocześnie na wysokościach i dwusiecznych trójkątów równobocznych.

Konstrukcje Napoleona 1. Bazą jest trójkąt równoboczny

2. Bazą jest trójkąt równoramienny

3. Bazą jest trójkąt prostokątny

4. Bazą jest trójkąt rozwartokątny

5. Bazą jest trójkąt ostrokątny

Okrąg dziewięciu punktów - okrąg Feuerbacha Jest to okrąg, który przechodzi przez: Środki boków dowolnego trójkąta; Spodki trzech wysokości; Punkty dzielące na połowy trzy odcinki, które łączą wierzchołki tego trójkąta jego ortocentrum.

Punkty: Niebieskie - środki boków; Czerwone - spodki trzech wysokości; Zielone -  dzielące na połowy trzy odcinki, które łączą wierzchołki tego trójkąta z jego ortocentrum.

Środek okręgu Feuerbacha leży na prostej Eulera i jest środkiem odcinka łączącego ortocentrum ze środkiem okręgu opisanego na tym trójkącie, zaś jego promień jest równy połowie promienia okręgu opisanego.

Więc punkty ,B', C', leżą na jednym okręgu. H – ortocentrum Zatem SCB‘ || AHA. więc B'C‘ || CB. Zatem  Więc punkty  ,B', C', leżą na jednym okręgu. Z czego wynika, że wszystkie dziewięć punktów leży na jednym okręgu.

Okazuje się, że okrąg dziewięciu punktów jest styczny do okręgu wpisanego  i trzech okręgów dopisanych. Okrąg dopisany - okrąg styczny  do jednego z boków trójkąta  i przedłużeń dwóch pozostałych boków.

Prosta Eulera Dla trójkąta niebędącego trójkątem równobocznym, jest to prosta, która przechodzi przez ortocentrum tego trójkąta, środek okręgu opisanego, środek ciężkości trójkąta oraz środek okręgu dziewięciu punktów. Prosta Eulera

Dowód prostej Eulera Niech A’, B’, H’ będą obrazami punktów A, B, H w jednokładności o skali 0,5 i środku w punkcie C, wtedy 2* A’H’ = AH . Czworokąt A’OB’H’ jest równoległobokiem, więc OB’= A’H’, zatem 2* OB’ = AH. Środek ciężkości G dzieli środkowe w trójkącie w stosunku 2:1, więc AG = 2* B’G. Ponieważ OB’ II AH, to trójkąt OB’G= trójkątowi HAG bo są to kąty naprzemianległe. Zatem trójkąt B’OG, jest obrazem trójkąta AHG w jednokładności o środku w G i skali -0,5 . Stąd otrzymujemy, że H, G, O leżą na jednej prostej oraz HG= 2*GO .

Twierdzenie Miguela: Jeśli opiszemy 4 okręgi na trójkątach utworzonych przez cztery proste przecinające się , to wówczas okręgi te przechodzą zawsze przez wspólny punkt, a ich środki leżą na innym - piątym okręgu. 

Punkt Nagela Jest to punkt, w którym przecinają się proste łączące wierzchołki z punktami styczności przeciwległych boków z odpowiednimi okręgami dopisanymi. N- punkt Nagela N

PUNKT NAGELA C B N A N – punkt Nagela

Twierdzenie Cevy Jeżeli trzy proste AD, BE i CF przechodzące przez wierzchołki trójkąta ABC przecinają się w jednym punkcie to:

PRZYPADEK 1. PRZYPADEK 2. Trzy proste mają wspólny punkt O na zewnątrz trójkąta ABC. Trzy proste mają wspólny punkt O wewnątrz trójkąta ABC.

Dowód Przyjmijmy, że: Wtedy: oraz Z tego wynika, że:

Zatem: Po skróceniu otrzymujemy: ale: Więc:

Symediana Punkt Lemoine'a Prosta Cevy będąca odbiciem symetrycznym środkowej trójkąta względem dwusiecznej wychodzącej z tego samego wierzchołka. Symediany przecinają się w jednym punkcie. Jest to punkt przecięcia się wszystkich symedian trójkąta.

Punkt Lemoine'a Kolor różowy – symediany Kolor zielony – dwusieczne kątów Kolor niebieski – środkowe boków trójkątów Punkt K – Punkt Lemoine’a Punkt I – punkt przecięcia się dwusiecznych kątów Punkt G – punkt przecięcia się środkowych boków trójkąta

Twierdzenie Menelaosa Dowolna poprzeczna wyznacza na dwóch bokach trójkąta ABC oraz przedłużeniu trzeciego boku (lub na przedłużeniach wszystkich boków) punkty D, E, F w ten sposób, że iloczyn długości trzech do siebie nie przyległych odcinków jest równy iloczynowi długości trzech pozostałych, czyli:

Zapamiętanie twierdzenia ułatwia również sztuczka mnemotechniczna polegająca na kolejnym przechodzeniu od wierzchołka trójkąta (poczynając od dowolnie ustalonego) do punktu przecięcia poprzecznej na boku (przedłużeniu) zawierającym ten punkt do kolejnego wierzchołka i wróceniu w ten sposób do punktu wyjścia: skrótowo zapisywane zwykle jako co pomaga w zapamiętaniu, które z odcinków winny znaleźć się w liczniku, a które w mianowniku:

Dowód czyli Niech X będzie przecięciem prostej równoległej do AC  przechodzącej przez punkt B z poprzeczną. Trójkąty XBF i EAF są podobne. Z twierdzenia Talesa: czyli Trójkąty CED i BXD są podobne zatem: czyli

Po pomnożeniu otrzymanych równości stronami dostajemy : Co należało wykazać.

Prosta Simsona Jest prostą, przechodzącą przez rzuty prostopadłe dowolnego punktu okręgu opisanego na trójkącie na proste zawierające boki tegoż trójkąta.

Bibliografia http://www.deszynski.pl/p12/Zielinski/ http://www.profesor.pl/publikacja,16740,Referaty,Kola-w-trojkatach http://www.informacje.info-polska.com.pl/artykul_trojkat_78181 http://www.matematyka.pl/57212.htm http://www.interklasa.pl/portal/dokumenty/cabri/cab2a2.htm http://pl.wikipedia.org/wiki/Twierdzenie_Menelaosa http://hybris.wikidot.com/twierdzenie-cevy http://imageshack.us/f/153/beztytuubvf.jpg/

Koniec