na poziomie rozszerzonym

Prezentacja na temat: "na poziomie rozszerzonym"— Zapis prezentacji:

1 na poziomie rozszerzonym
Matura 2010 z matematyki na poziomie rozszerzonym

2 PLANIMETRIA

3 Twierdzenie o dwusiecznej kąta wewnętrznego trójkąta
. Dwusieczna kąta wewnętrznego w trójkącie dzieli przeciwległy bok proporcjonalnie do długości pozostałych boków. W oznaczeniach przyjętych na rysunku treść twierdzenia wyraża proporcja:

4 Niech: DOWÓD: Na mocy twierdzenia sinusów ( Snelliiusa ) zastosowanego do trójkątów ΔADC i ΔDBC mamy: a także otrzymujemy tezę:

5 Zad. 1. Wykaż, że jeżeli w trójkącie ABC │AB│= c, │BC│= a,
│AC│= b, a CD jest odcinkiem dwusiecznej kąta ACB zawartym w trójkącie, to │AD│= i │BD│= DOWÓD: C B A x b c a D

6 Zad. 2. W trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają
długość a i b. Oblicz długość odcinków na jakie dzieli przeciwprostokątną dwusieczna kąta prostego. DOWÓD: C A B D a b

7 Zad. 3. W trójkącie ABC │BC│= a, │AC│= b oraz │CD│= d,
gdzie CD jest odcinkiem leżącym na dwusiecznej kąta ACB zawartym w trójkącie. Oblicz długość boku │AB│ tego trójkąta. DOWÓD:

8 Zad. 4. Wykaż, że jeżeli suma długości wysokości trójkąta jest 9 razy
większa od długości promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt, to trójkąt jest równoboczny. DOWÓD:

9 Zad. 5. Trójkąt ABC ma pole równe P. Utworzono trójkąt A'B'C' w taki
sposób, że A' = SB( A ), B' = SC( B ) i C' = SA( C ). Oblicz pole trójkąta A'B'C'. DOWÓD: A B C C’ A’ B’ PABC = S PA’AC’ = 2S PA’BB’ = 2S PC’CB’ = 2S Stąd pole PA’B’C’ = 7S

10 Zad. 6. W trójkącie poprowadzono środkowe boków. Podzieliły one
trójkąt na sześć mniejszych trójkątów. Wykaż, że pola powstałych trójkątów są równe. DOWÓD:

11 Zad. 7. Wykaż, że okrąg wpisany w trójkąt prostokątny jest styczny
do przeciwprostokątnej w punkcie dzielącym ją na dwa odcinki, których iloczyn długości jest równy polu tego trójkąta. DOWÓD:

12 Zad. 8. Wyznacz długość boku c trójkąta, jeśli dane są długości a i b
boków trójkąta oraz wiadomo, że ha + hb = hc, gdzie ha, hb, hc są długościami wysokości opuszczonych na odpowiednie boki trójkąta. DOWÓD:

13 Zad. 9. Wykaż, że jeżeli kąty wewnętrzne trójkąta spełniają zależność
, to trójkąt ten jest równoramienny. DOWÓD:

14 Zad. 10. Wykaż, że trójkąt, którego długości boków są trzema kolejnymi
wyrazami ciągu geometrycznego, miary kątów zaś trzema kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego jest trójkątem równobocznym. DOWÓD:

15 Zad. 11 Na przeciwprostokątnej AB trójkąta prostokątnego ABC
obrano punkty C1 oraz C2 takie, że │AC1│= │AC│ oraz │BC2│= │BC│. Wykaż, że miara kąta C1C C2 jest równa 45o. DOWÓD: Jeżeli kąt CAB ma miarę x, to kąt CC2A ma miarę 90o – ½ x. Wówczas kąt CBA ma miarę 90o – x a co zatem kąt CC1B ma miarę 45o + ½x. Mamy zatem: miara kąta C1CC2 = 180o – 90o + ½ x – 45o – ½ x = 45o B C2 C1 C A

16 LICZBY RZECZYWISTE

17 Zad. 1. Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a, b zachodzi
nierówność: a2 + b2 + 2  2 ( a + b ) DOWÓD: Mamy pokazać, że a2 + b2 + 2  2 ( a + b ) ale a2 + b2 + 2  2 a + 2b a2 – 2a + b2 – 2b + 2  0 a2 – 2a b2 – 2b + 1  0 ( a – 1 )2 + ( b – 1 )2  0

18 Zad. 2. Wykaż, że liczba 318 – 218 jest liczbą podzielną przez 19.
DOWÓD: 318 – 218 = ( 39 – 29 )( ) = =(33 – 23 )( )( ) = =19 ( )( )

19 Zad. 3. Udowodnij, że trzy liczby a, b, c tworzące ciąg geometryczny
spełniają warunek: ( a + b + c )( a – b + c ) = a2 + b2 + c2, DOWÓD: Dane są liczby; a, b = aq, c = aq2 wówczas ( a + b + c )( a – b + c ) = a2 (1 + q + q2 )( 1 – q + q2 ) = = a2 (1 – q + q2 + q – q2 + q3 + q2 – q3 + q4 ) = = a2 (1 + q2 + q4 ) = a2 + a2 q2 + a2 q4 = a2 + b2 + c2

20 Zad. 4. Udowodnij, że w ciągu geometrycznym o parzystej liczbie
wyrazów stosunek sumy wyrazów stojących na miejscach parzystych do sumy wyrazów stojących na miejscach nieparzystych jest równy ilorazowi tego ciągu. DOWÓD:

21 Zad. 5. Udowodnij, że jeśli różne liczby a2, b2, c2 tworzą ciąg arytmetyczny,
to liczby też tworzą ciąg arytmetyczny. DOWÓD:

22 Zad Wykaż, że: gdzie a  b, b  c i a  c DOWÓD: