METODY PODEJMOWANIA DECYZJI ZAGADNIENIE SZEREGOWANIA ZADAŃ AUTOR: DR INŻ. MICHAŁ KRZEMIŃSKI

PODZIAŁ PROCESÓW W BUDOWNICTWIE

Procesy jednego typu Procesy jednego typu charakteryzują się wykonywaniem prac na określonej ilości działek o takiej samej powierzchni i technologii wykonywania prac. Np.: układanie terakoty 2560 – bo tyle pikseli mają 2 komórki w Excel-u 2010

Procesy jednorodne Procesy jednorodne to te w których technologia pozostaje niezmienna, zmienia się natomiast wielkość działek. Proporcjonalna jest pracochłonność i wielkość działki. Np.: układanie terakoty

Procesy niejednorodne Procesy niejednorodne to takie w których nie występuje żadna stała zależność pomiędzy wielkością działki a pracochłonnością, niezmienna pozostaje jedynie technologia wykonywania robót. Np.: malowanie ścian zaznaczonych na czerwono Działka 1 – pow. 2560 – 104 mb ściany Działka 2 – pow. 5120 – 128 mb ściany Działka 3 – pow. 7680 – 232 mb ściany

SYSTEMY GNIAZDOWE I PRZEPŁYWOWE

W modelach przepływowych (ang W modelach przepływowych (ang. Flowshop, FS) na każdej działce roboczej praca powinna zostać wykonana przez określone brygady w określonej kolejności. Zakłada się również że dana wyspecjalizowana brygada wykonuje pracę tylko raz na kolejnej działce. W modelach gniazdowych (ang. jobshop, JS) nie występuje wymóg kolejnościowy wykonywania prac. Brygady mogą również wykonywać kilkakrotnie pracę na tych samych działkach. Ważne jest to że w obu modelach w danym czasie prace na działkach mogą być wykonywane przez jedną brygadę.

Najczęściej stosowane kryteria optymalizacyjne to: sumaryczne / ilościowe opóźnienie (ang. Tardiness), średni czas przebywania zadania w systemie (ang. Flowtime) czas wykonania wszystkich zadań (ang. Makespan) Można stwierdzić że oba systemy produkcji znajdują swoje zastosowanie w budownictwie. System przepływowy pasuje bardziej do produkcji w warunkach budowy, system gniazdowy do wytwarzania materiałów budowlanych.

WYZNACZANIE TERMINÓW I SUMARYCZNEGO CZASU PRACY BRYGAD NA DZIAŁKACH

Chcąc wyznaczyć terminy rozpoczynania i kończenia zadań przez poszczególne brygady na kolejnych działkach roboczych, a także całkowity czas realizacji robót należy czasy wykonania prac na działkach przedstawić w formie macierzy [ 𝑡 𝑖𝑗 ] gdzie „𝑖” oznacza numer brygady natomiast „𝑗” to numer kolejnej działki.

Terminy pracy poszczególnych maszyn na kolejnych działkach można obliczyć stosując następujące wzory: 𝑇 𝑖𝑗 𝑝 =𝑚𝑎𝑥 𝑇 𝑖−1,𝑗 𝑘 , 𝑇 𝑖, 𝑗−1 𝑘 𝑇 𝑖𝑗 𝑘 = 𝑇 𝑖𝑗 𝑝 + 𝑡 𝑖𝑗 gdzie: 𝑇 𝑖𝑗 𝑝 −𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛 𝑟𝑜𝑧𝑝𝑜𝑐𝑧ę𝑐𝑖𝑎 𝑝𝑟𝑎𝑐 𝑝𝑟𝑧𝑒𝑧 𝑖−𝑡ą 𝑏𝑟𝑦𝑔𝑎𝑑ę 𝑛𝑎 𝑗−𝑡𝑒𝑗 𝑑𝑧𝑖𝑎ł𝑐𝑒 𝑇 𝑖𝑗 𝑘 −𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛 𝑧𝑎𝑘𝑜ń𝑐𝑧𝑒𝑛𝑖𝑎 𝑝𝑟𝑎𝑐 𝑝𝑟𝑧𝑒𝑧 𝑖−𝑡ą 𝑏𝑟𝑦𝑔𝑎𝑑ę 𝑛𝑎 𝑗−𝑡𝑒𝑗 𝑑𝑧𝑖𝑎ł𝑐𝑒 𝑡 𝑖𝑗 −𝑡𝑐𝑧𝑎𝑠 𝑤𝑦𝑘𝑜𝑛𝑦𝑤𝑎𝑛𝑖𝑎 𝑝𝑟𝑎𝑐 𝑝𝑟𝑧𝑒𝑧 𝑖−𝑡ą 𝑏𝑟𝑦𝑔𝑎𝑑ę 𝑛𝑎 𝑗−𝑡𝑒𝑗 𝑑𝑧𝑖𝑎ł𝑐𝑒 𝑖=1, 2, …,𝑛, 𝑔𝑑𝑧𝑖𝑒 𝑛−𝑖𝑙𝑜ść 𝑏𝑟𝑦𝑔𝑎𝑑 𝑟𝑜𝑏𝑜𝑐𝑧𝑦𝑐ℎ 𝑗=1, 2, …,𝑚, 𝑔𝑑𝑧𝑖𝑒 𝑚−𝑖𝑙𝑜ść 𝑑𝑧𝑖𝑎ł𝑒𝑘 𝑟𝑜𝑏𝑜𝑐𝑧𝑦𝑐ℎ Chcąc wyznaczyć całkowity czas realizacji wszystkich prac należy wyznaczyć termin zakończenia prac dla ostatniej działki roboczej 𝑇 𝑛𝑚 𝑘 .

ALGORYTM JOHNSONA

Algorytm ten dotyczy zagadnienia harmonogramowania pracy dwóch maszyn na „n” działkach roboczych (obiektach), Został sformułowany przy założeniu, że harmonogramowanie jest wieloetapowym procesem planowania, Algorytm Johnsona charakteryzuje się prostotą i małym zakresem obliczeń numerycznych.

Oznaczenia w algorytmie: a – pierwsza maszyna, b – druga maszyna, aj – { } zbiór zawierający czasy trwania czynności wykonywanych przez pierwszą maszynę na kolejnych obiektach, bj – { } zbiór zawierający czasy trwania czynności wykonywanych przez drugą maszynę na kolejnych obiektach, i1, i2, ..., in - oznacza permutację (ustawienie w kolejności elementów zbioru skończonego), określającą optymalną kolejność obiektów.

Algorytm Johnsona jest następujący: Przyjąć r = 1, s = n. Znaleźć najmniejszą liczbę spośród czasów aj, bj (j = 1, 2, ..., n). Jeżeli liczbą tą jest ak, to ir = k oraz r: = r +1, jeżeli zaś liczbą tą jest bl to is = l oraz s: = s - 1. Usunąć ze zbioru czasów trwania parę (ak, bk) lub (al, bl). Powtórzyć postępowanie od punktu 2.

Przykład Dwie różne maszyny budowlane mają wykonywać prace na sześciu obiektach, Czasy wykonania robót na kolejnych obiektach przez maszynę pierwszą wynoszą odpowiednio: aj = { 2, 3, 5, 1, 7, 6 }, Czasy wykonania robót na kolejnych obiektach przez maszynę drugą wynoszą odpowiednio: bj = { 3, 4, 4, 2, 5, 5 }, Należy wyznaczyć kolejność realizacji obiektów budowlanych, której odpowiada minimalny cykl realizacji wszystkich robót łącznie.

Interacja 1 Przyjąć r = 1, s = 6. Wyznaczyć min{a1, a2, a3, a4, a5, a6, b1, b2, b3, b4, b5, b6} = a4 = 1 Ponieważ liczbą tą jest a4, to i1 = 4 oraz r = 1 + 1 = 2. Usuwamy ze zbioru parę (a4, b4) = (1, 2). Powtarzamy postępowanie od punktu 2.

Interacja 2 Z poprzedniego kroku r = 2, s = 6. Wyznaczyć min{a1, a2, a3, a5, a6, b1, b2, b3, b5, b6} = a1 = 2 Ponieważ liczbą tą jest a4, to i2 = 1 oraz r = 2 + 1 = 3. Usuwamy ze zbioru parę (a1, b1) = (2, 3). Powtarzamy postępowanie od punktu 2.

Interacja 3 Z poprzedniego kroku r = 3, s = 6. Wyznaczyć min{ a2, a3, a5, a6, b2, b3, b5, b6} = a2 = 3 Ponieważ liczbą tą jest a2, to i3 = 2 oraz r = 3 + 1 = 4. Usuwamy ze zbioru parę (a2, b2) = (3, 4). Powtarzamy postępowanie od punktu 2.

Interacja 4 Z poprzedniego kroku r = 4, s = 6. Wyznaczyć min{ a3, a5, a6, b3, b5, b6} = b3 = 4 Ponieważ liczbą tą jest b3, to i6 = 3 oraz s = 6 – 1 = 5. Usuwamy ze zbioru parę (a3, b3) = (5, 4). Powtarzamy postępowanie od punktu 2.

Interacja 5 Z poprzedniego kroku r = 4, s = 5. Wyznaczyć min{ a5, a6, b5, b6} = b5 = 5 Ponieważ liczbą tą jest b5, to i5 = 5 oraz s = 5 – 1 = 4. Usuwamy ze zbioru parę (a5, b5) = (7, 5). Powtarzamy postępowanie od punktu 2.

Interacja 6 Wykonanie iteracji 6 nie jest konieczne, ponieważ w sześcioelementowym zbiorze obiektów wyznaczyliśmy już kolejność realizacji pięciu obiektów, a mianowicie: i1 = 4, i2 = 1, i3 = 2, i5 = 5, i6 = 3. Widać więc, że obiekt 6, dla którego nie ustalono dotychczas kolejności, powinien być realizowany jako czwarty (po obiekcie 2, i4=6).

Wynik algorytmu Permutacją określającą optymalną kolejność realizacji obiektów jest permutacja: i1=4, i2=1, i3=2, i4=6, i5=5, i6=3.

Wynik algorytmu

ALGORYTM JOHNSONA + MODYFIKACJA KOSZTOWA

ALGORYTM JOHNSONA + MODYFIKACJA KOSZTOWA

ALGORYTM JOHNSONA + MODYFIKACJA KOSZTOWA

ALGORYTM JOHNSONA + MODYFIKACJA KOSZTOWA

ALGORYTM JOHNSONA + MODYFIKACJA KOSZTOWA

ALGORYTM JOHNSONA + MODYFIKACJA KOSZTOWA L.p. Szeregi preferencyjne – kryterium czasowe T = 16 Koszty wybranych szeregów preferencyjnych 1 3 → 5 → 2 → 4 → 6 → 1 Maszyna A → 3 + 4 + 1 + 4 + 1 = 13 Maszyna B → 3 + 2 + 3 + 3 + 3 = 14 RAZEM 27 2 3 → 2 → 4 → 5 → 6 → 1 Maszyna A → 2 + 1 + 1 + 3 + 1 = 8 Maszyna B → 3 + 3 + 2 + 4 + 3 = 15 RAZEM 23 3 3 → 2 → 5 → 4 → 6 → 1 Maszyna A → 2 + 4 + 1 + 4 + 1 = 12 Maszyna B → 3 + 1 + 2 + 3 + 3 = 12 RAZEM 24 4 3 → 5 → 2 → 4 → 1 → 6 Maszyna A → 3 + 4 + 1 + 5 + 1 = 14 Maszyna B → 3 + 2 + 3 + 5 + 2 = 15 RAZEM 29 5 3 → 2 → 4 → 5 → 1 → 6 Maszyna A → 2 + 1 + 1 + 2 + 1 = 7 Maszyna B → 3 + 3 + 2 + 3 + 2 = 13 RAZEM 20 6 3 → 2 → 5 → 4 → 1 → 6 Maszyna A → 2 + 4 + 1 + 5 + 1 = 13 Maszyna B → 3 + 1 + 2 + 5 + 2 = 13 RAZEM 26

ALGORYTM JOHNSONA + MODYFIKACJA KOSZTOWA Diagram Hassego dla optymalnego uszeregowania działek roboczych 4 5 1 6 2 3

ALGORYTM CDS

Nazwa algorytmu pochodzi od pierwszych liter nazwisk twórców, Herbert Campbell, Richard Dudek, Milton Smith (1970r.). Algorytm jest uogólnieniem algorytmu Johnsona, pozwalającym na optymalizację dla więcej niż dwóch maszyn. Zasada działania algorytmu polega na podzieleniu zadania z więcej niż dwoma maszynami na kilka zadań z dwoma maszynami, podzadania optymalizowane są przy użyciu algorytmu Johnsona. Następnie wybiera się taki układ zadań który da najmniejszy czas całkowity.

ALGORYTM NEH

Nazwa algorytmu pochodzi od pierwszych liter nazwisk twórców, Muhammad Nawaz, Emory Enscore, Inyong Ham (1983r.). Zasadą działania modelu jest nadawanie zadaniom o większym sumarycznym czasie trwania wyższego priorytetu. Poniżej znajduje się opis kolejnych kroków algorytmu: Sortujemy zadania zgodnie z malejącym (nierosnącym) sumarycznym czasem obróbki na wszystkich maszynach, Ustawiamy dwa pierwsze zadania w kolejności umożliwiającej uzyskanie krótszego czasu zakończenia Cmax(dwie możliwości) Dla k= 3, … , N wykonujemy krok 4 Wstawiamy k-te zadanie do sekwencji w miejsce, gwarantujące najmniejszy przyrost czasu Cmax(k możliwości) Uzyskana sekwencja traktowana jest jako wynik działania algorytmu

ALGORYTMY ŁOMNICKIEGO I BROWNA – ŁOMNICKIEGO

Algorytmy wykorzystujące metodę podziałów i ograniczeń Algorytmy wykorzystujące metodę podziałów i ograniczeń. Algorytm Łomnickiego opracowany został w celu ustalenia kolejności obróbki detali na maszynach. Możliwe jest również zaadoptowanie go do warunków budowlanych, do wyznaczania kolejności pracy m maszyn na n działkach. Algorytm Browna Łomnickiego będący uogólnieniem metody Łomnickiego różni się jedynie postacią funkcji ograniczającej zbiór permutacji.

ALGORYTM SYMULACYJNY SZEREGOWANIA ZADAŃ

SZEREGOWANIE ZADAŃ Z ZASTOSOWANIEM ALGORYTMU SYMULACYJNEGO Algorytm symulacyjny możemy stasować przy dowolnej liczbie maszyn, jednak nie zapewnia on znalezienia rozwiązania optymalnego, lecz jedynie suboptymalnego. Polega on na losowaniu kolejności realizacji działek na podstawie generatora liczb losowych i obliczaniu łącznego czasu trwania robót T dla założonego wariantu. Przy odpowiedniej liczbie prób najlepszy wynik powinien zbliżyć się do rozwiązania optymalnego, a na pewno być lepszy od jednego przypadkowego rozwiązania.

SZEREGOWANIE ZADAŃ Z ZASTOSOWANIEM ALGORYTMU SYMULACYJNEGO Przykład Na obiekcie budowlanym wydzielono 5 frontów robót. Na każdym z frontów należy wykonać po pięć kolejnych czynności. Czasy wykonania tych czynności zestawiono w tabeli na następnym slajdzie.

Front I II III IV V Czynność 5 2 4 3 6 1 7 8

SZEREGOWANIE ZADAŃ Z ZASTOSOWANIEM ALGORYTMU SYMULACYJNEGO Pierwsza wylosowana kolejność F1 > F2 > F3 > F4 > F5   1 C1 2C C3 C4 C5 Całkowity czas realizacji to 41 jednostek czasowych

SZEREGOWANIE ZADAŃ Z ZASTOSOWANIEM ALGORYTMU SYMULACYJNEGO Druga wylosowana kolejność F2 > F4 > F1 > F5 > F3 C1   C2 C3 C4 C5 Całkowity czas realizacji to 40 jednostek czasowych

SZEREGOWANIE ZADAŃ Z ZASTOSOWANIEM ALGORYTMU SYMULACYJNEGO Trzecia wylosowana kolejność F4 > F2 > F1 > F3 > F5 C1   C2 C3 C4 C5 Całkowity czas realizacji to 36 jednostek czasowych

SZEREGOWANIE ZADAŃ Z ZASTOSOWANIEM ALGORYTMU SYMULACYJNEGO Dokładność obliczeń symulacyjnych zależy od liczby przeprowadzonych eksperymentów. Z trzech eks­ perymentów można już jednak wnioskować, że w przedstawiony sposób można poszukiwać cyklu realizacji robót budowlanych, odpowiadającego przyjętemu kryterium czasowemu.

PRZEMYSŁOWE MODELE SZEREGOWANIA ZADAŃ

SPT (shortest processing time) Jest to model oparty o zasadę najkrótszego czasu przetwarzania. Algorytm służący do wyznaczania kolejności zadań przy której całkowity czas trwania procesu będzie najkrótszy. Zasadą algorytmu, jest umiejscawianie na początku działek na których czas wykonywania czynności jest najkrótszy. Dotyczy to sumarycznego czasu wykonania prac na działce przez wszystkie kolejne maszyny. Jeżeli występuje kilka działek dla których sumaryczny czas wykonywania wszystkich czynności jest sobie równy algorytm umiejscawia na pierwszym miejscu działki posiadające krótsze czasy w czynnościach początkowych. Algorytm nadaje się do stosowania w optymalizacji procesów niejednorodnych przy zastosowaniu modelu flowshop.

SPT (shortest processing time) Dla procesów jednorodnych o ustalonym rytmie uzyskujemy ciągłość pracy na działkach

LPT (longest processing time) Jest to model oparty o zasadę najdłuższego czasu przetwarzania. Algorytm służący do wyznaczania kolejności zadań przy której całkowity czas trwania procesu będzie najkrótszy. Zasadą algorytmu, jest umiejscawianie na początku działek na których czas wykonywania czynności jest najdłuższy. Dotyczy to sumarycznego czasu wykonania prac na działce przez wszystkie kolejne maszyny. Jeżeli występuje kilka działek dla których sumaryczny czas wykonywania wszystkich czynności jest sobie równy algorytm umiejscawia na pierwszym miejscu działki posiadające krótsze czasy w czynnościach początkowych. Algorytm nadaje się do stosowania w optymalizacji procesów niejednorodnych przy zastosowaniu modelu flowshop.

LPT (longest processing time) Dla procesów jednorodnych o ustalonym rytmie uzyskujemy ciągłość pracy brygad

WSPT (weighted shortest processing time) Model działa w na zasadzie wcześniej opisanego modelu SPT. Na etapie wprowadzania danych każdej kolejno definiowanej działce roboczej dopisujemy wagę. Algorytm wykonując szeregowanie zadań będzie ją uwzględniał przesuwając na początek działki o najwyższej wadze. Przy założeniu że ti oznacza czas trwania procesu a wi przypisaną danej działce wagę, działanie modelu opisuje poniższa zależność: t1/w1 <= t2/w2 <= … <=tn/w n, gdzie i = 1,2,…,n.

EDD (earliest due date) Model zakłada kolejność wykonania zadań według terminów zamknięcia zleceń, czyli ich zadanych czasów zakończenia (ang. earliest due date). Algorytm działa licząc sumę czasów począwszy od przybycia zlecenia do systemu aż do zakończenia danego zlecenia następnie wybieramy zlecenie z mniejszą sumą. Przyjmując że di oznaczać będzie ostateczny termin zakończenia zadania, działanie modelu przedstawia poniższa zależność: di <= di+1 <= … <= dn, gdzie i = 1,2,…,n. Wyniki działania modelu nierzadko będą zbliżone do wyników jakie uzyskuje się z zastosowania modelu SPT, jest to powodowane faktem że najkrócej w systemie znajdują się działki na których zaplanowano najkrótszy czas wykonywania prac.

FCFS (first come first serve) Model charakteryzuje się brakiem jakiegokolwiek skomplikowania. Polega na uszeregowaniu zadań zgodnie z kolejnością wprowadzania danych. Model jest prosty, jednakże dla budownictwa może mieć duże znaczenie. Planując budowę wydzielamy poszczególne fronty robót na których mamy podział na działki. Każdy planista ma swoją wizję organizacji budowy. Dzięki zastosowaniu modelu może sprawdzić jaki czas uzyskałby przy organizacji pracy w najbardziej intuicyjny dla niego sposób. Uszeregowanie może być również wynikową technologii prowadzenia robót, kosztów przemieszczania się kolejnych brygad pomiędzy działkami, może też zależeć od innych czynników wpływających na pracę na budowie.

di-ti <= di+1-ti+1 <= … <= dn-tn, gdzie i = 1,2,…,n. MS (minimum slack) Zadaniem modelu jest takie uszeregowanie zadań które daje możliwie najmniejsze przestoje w pracy brygad. Przyjmijmy że di to termin zakończenia zadania, natomiast ti to czas trwania zadania. Zależność opisująca działanie modelu została przedstawiona poniżej: di-ti <= di+1-ti+1 <= … <= dn-tn, gdzie i = 1,2,…,n.

System komputerowy LEKIN jest systemem służącym do szergowania zadań opracowanym w Stern School of Business, NYU. Projekt w ramach którego system został opracowany kierowany był przez profesora Michaela L. Pinedo.[C] Nazewnictwo w systemie: jobs – działki workcenters - brygady

Kryteria szeregowania zadań

Proponowane kryteria Najkrótszy czas realizacji Ciągłość pracy brygad Nieprzekraczalność terminów Koszt przenoszenia frontów robót

KASS v1.0 Program szeregowania zadań z zastosowaniem przeglądu zupełnego

Do pobrania www.ipb.edu.pl PROGRAMY  KASS v1.0