Automatyka Wykład 3 Modele matematyczne (opis matematyczny) liniowych jednowymiarowych (o jednym wejściu i jednym wyjściu) obiektów regulacji.
Transmitancja operatorowa i widmowa Równania stanu i równanie wyjścia y(t) u(t) Obiekt regulacji Równanie wejścia – wyjścia Transmitancja operatorowa i widmowa Równania stanu i równanie wyjścia
Równanie wejścia – wyjścia określa związek zachodzący między sygnałem wejściowym u(t) obiektu a jego sygnałem wyjściowym y(t) i wynika z prawa równowagi dynamicznej ( prawo Newtona, prawa Kirchchoffa itd.) Transmitancję operatorową uzyskuje się z równania wejścia - wyjścia po jego przekształceniu wg. Laplace’a. Transmitancja widmowa opisuje obiekt, którego sygnał wejściowy i wyjściowy mają przebiegi sinusoidalne. Równania stanu uzyskuje się z równania wejścia – wyjścia. Stan obiektu w każdej chwili określają zmienne stanu związane z magazynami energii występującymi w obiekcie. Równanie wyjścia określa zależność sygnału wyjściowego y(t) od zmiennych stanu x1(t), x2(t), … .
Równanie wejścia – wyjścia obiektu (1) Transmitancja operatorowa obiektu Zakładając zerowe warunki początkowe i przekształcając równanie (1) wg. Laplace’a otrzymujemy (2) (3) (4)
Transmitancja widmowa obiektu regulacji
Obiekt liniowy
Równania stanu i równanie wyjścia
Obiekty regulacji Obiekty statyczne Obiekty astatyczne Bezinercyjne Inercyjne Oscylacyjne
Obiekty statyczne Obiekt bezinercyjny Równanie wejścia – wyjścia: Transmitancja operatorowa: Transmitancja widmowa:
Równanie wejścia – wyjścia: Przykład: Równanie wejścia – wyjścia: uwe(t) uwy(t) R1 R2 i(t) Transmitancja operatorowa: Transmitancja widmowa:
Obiekty inercyjne Obiekt inercyjny pierwszego rzędu Równanie wejścia – wyjścia: T – stała czasowa, k - wzmocnienie Transmitancja operatorowa: Transmitancja widmowa:
Równanie stanu: Równanie wyjścia:
Czwórnik RC jako przykład obiektu inercyjnego I rzędu uwe(t) uwy(t) i(t) R Równanie wejścia – wyjścia: Transmitancja operatorowa:
Transmitancja widmowa: Równanie stanu: zmienna stanu