Systemy liniowe stacjonarne – modele różniczkowe i różnicowe

Prezentacja na temat: "Systemy liniowe stacjonarne – modele różniczkowe i różnicowe"— Zapis prezentacji:

1 Systemy liniowe stacjonarne – modele różniczkowe i różnicowe
Systemy dynamiczne Systemy liniowe stacjonarne – modele różniczkowe i różnicowe W dziedzinie czasu relacja pomiędzy wejściem a wyjściem systemu liniowego stacjonarnego może być często opisana za pomocą: system ciągły – równania różniczkowe zwyczajne liniowe o stałych współczynnikach system dyskretny – równania różnicowe liniowe o stałych współczynnikach

2 Modele wejście – wyjście
System ciągły; model wejście - wyjście: System dyskretny; model wejście - wyjście:

3 Modele przestrzeni stanu
System ciągły; model przestrzeni stanu Jeżeli mamy p wejść, n stanów, q wyjść x – stany u – wejścia y - wyjścia – macierz stanu – macierz sterowania – macierz wyjścia – macierz bezpośredniego sterowania

4 System dyskretny; model przestrzeni stanu
Jeżeli mamy p wejść, n stanów, q wyjść x – stany u – wejścia y - wyjścia – macierz stanu – macierz sterowania – macierz wyjścia – macierz bezpośredniego sterowania

5 System ciągły; model przestrzeni stanu (zmiennych stanu) - odpowiedzi
Poszukujemy rozwiązań x – stany u – wejścia y - wyjścia Odpowiedź stanu – w dziedzinie czasu Składowa swobodna Składowa wymuszona Składowa przy zerowym wymuszeniu (Zero Input ZI) Składowa przy zerowym stanie początkowym (Zero State ZS) Odpowiedź wyjścia – w dziedzinie wyjścia

6 Odpowiedź stanu – w dziedzinie zmiennej zespolonej s
Odpowiedź wyjścia – w dziedzinie zmiennej zespolonej s

7 Kluczowy problem – obliczenie
- macierz tranzycji stanu, macierz fundamentalna I sposób – z definicji szeregu wykładniczego II sposób – z porównania odpowiadających składników odpowiedzi w dziedzinie czasu i zmiennej zespolonej s

8 Funkcja przejścia - transmitancja
Związki opisu w przestrzeni stanu z transmitancją Dla układu SISO: Odpowiedź wyjścia: Funkcja tranzycji stanu Funkcja przejścia - transmitancja Otrzymujemy:

9 Poszukujemy rozwiązań
System dyskretny; model przestrzeni stanu (zmiennych stanu) – odpowiedzi Poszukujemy rozwiązań x – stany u – wejścia y - wyjścia Przyjmuje się: Odpowiedź stanu – w dziedzinie czasu Porównanie odpowiedzi stanu Składowa swobodna Składowa wymuszona Odpowiedź wyjścia – w dziedzinie czasu

10 Odpowiedź stanu – w dziedzinie zmiennej zespolonej z
Odpowiedź wyjścia – w dziedzinie zmiennej zespolonej z

11 Obliczenie macierzy tranzycji stanu
Jest to odpowiednik w dziedzinie czasu ciągłego macierzy I sposób – z rozwiązania odpowiedzi stanu II sposób – z porównania odpowiadających składników odpowiedzi w dziedzinie czasu i zmiennej zespolonej z

12 Funkcja przejścia - transmitancja
Związki opisu w przestrzeni stanu z transmitancją Dla warunku początkowego Funkcja przejścia - transmitancja Wyjście Wejście Transmitancja systemu dyskretnego

13 Sterowanie ze sprzężeniem od stanu – metoda alokacji biegunów
Stosowane dalej oznaczenia System MIMO Przy czym: wymiar wymiar wymiar wymiar wymiar wymiar wymiar oraz rząd ; rząd Przy ekstrapolacji zerowego rzędu i czasie zatrzaśnięcia Ts jeżeli istnieje

14 : macierz systemu, stała, rzeczywista, wymiaru ,
Sformułowanie problemu Zasadniczo rozważa się przypadki, kiedy gdzie: : macierz systemu, stała, rzeczywista, wymiaru , tzn. : wektor stanu, rzeczywisty, wymiaru , tzn. : wektor wejścia, rzeczywisty, wymiaru , tzn. : macierz wejścia, stała, rzeczywista, wymiaru , tzn. : wektor wyjścia lub obserwacji, rzeczywisty, wymiaru , tzn. : macierz wyjścia lub obserwacji, stała, rzeczywista, wymiaru , tzn.

15 Zadanie sterowania: System będący w chwili początkowej ( dla systemów stacjonarnych) w stanie początkowym , należy przeprowadzić do pożądanego stanu końcowego, lub operacyjnego , zapewniając w stanie przejściowym spełnienie określonych wymagań dynamicznych takich jak np. czas narastania, przeregulowania, oscylacyjność … . Po osiągnięciu stanu operacyjnego , wartość wyjścia musi być zwykle równa narzuconej wartości zadanej

16 Propozycja rozwiązania – z zastosowaniem sprzężenia w przód:
Na system działają dwie wielkości zewnętrzne - stan początkowy - sygnał wartości zadanej Przesłanie zwrotne wektora stanu na wejście z wykorzystaniem macierzy sprzężenia zwrotnego od stan działanie regulacyjne Przesłanie w przód wektora wartości zadanej na wejście z wykorzystaniem macierzy sprzężenia w przód działanie śledzące

17 Macierz kompensacji wzmocnień statycznych (macierz sprzężenia w przód)
Rozwiązanie - struktura Przypadek ciągły: Obiekt Sterownik (prawo sterowania) Macierz kompensacji wzmocnień statycznych (macierz sprzężenia w przód)

18 Równania opisujące system zamknięty:
Stąd: Równanie stanu systemu zamkniętego i macierz systemu zamkniętego CL – close loop oraz macierz wejścia

19 Przypomnienie: na system działają dwie wielkości zewnętrzne
- stan początkowy - sygnał wartości zadanej Rozważamy systemy liniowe – zasada superpozycji upoważnia do rozdzielnego rozważania

20 Przypadek ciągły – działanie regulacyjne
Działanie regulacyjne ma na celu przeprowadzenie wektora stanu systemu ze stanu początkowego do stanu operacyjnego (końcowego) przy zadanych warunkach tego przejścia i/lub osłabieniu wpływu zakłóceń tak, aby osiągnąć stan ustalony Będzie to wynikać z odpowiedniego doboru macierzy Dla obliczenia macierzy przyjmujemy (zgodnie z zasadą superpozycji) Równanie Redukuje się do postaci Wymaganie minimalne – stabilność: wszystkie wartości własne macierzy w lewej półpłaszczyźnie - zapewnienie odwracalności i osiągnięcie stanu równowagi

21 Macierz jest stałą macierzą o wymiarze i nazywana jest macierzą wzmocnień sterownika
Cechy: - w skrajnym przypadku ma elementów, - jako macierz stała związana ze stanem pełni rolę sterownika proporcjonalnego - poprzez związek pełni też rolę sterownika różniczkującego - nie daje sprzężenia o charakterze całkującym

22 Przypadek ciągły – działanie śledzące
Działanie śledzące ma na celu uzyskanie w stanie ustalonym ( ) spełnienie warunku Równanie stanu systemu zamkniętego sprowadza się do stąd Równanie wyjścia systemu zamkniętego przyjmuje postać stąd - warunek jednostkowego wzmocnienia

23 Macierz kompensacji wzmocnień statycznych (macierz sprzężenia w przód)
Rozwiązanie - struktura Przypadek dyskretny: Obiekt Sterownik (prawo sterowania) Macierz kompensacji wzmocnień statycznych (macierz sprzężenia w przód) Opóźnienie

24 Równania opisujące system zamknięty:
Stąd: Równanie stanu systemu zamkniętego i macierz systemu zamkniętego CL – close loop oraz macierz wejścia

25 Przypadek dyskretny – działanie regulacyjne
Podobnie jak w przypadku ciągłym, przyjmujemy Problem sterowania sprowadza się do określenia sekwencji wartości otrzymywanych dla z zależności , która przeprowadzi system ze stanu początkowego w stan końcowy

26 Przypadek dyskretny – działanie śledzące
Działanie śledzące ma na celu uzyskanie w stanie ustalonym ( ) spełnienia warunku Równanie stanu systemu zamkniętego sprowadza się do stąd Równanie wyjścia systemu zamkniętego przyjmuje postać stąd - warunek jednostkowego wzmocnienia

27 Metody projektowania macierzy sterowania (sprzężenia zwrotnego) L
 Metody alokowania biegunów (metody rozmieszczania biegunów) Dane jest a priori rozmieszczenie biegunów systemu zamkniętego (na płaszczyźnie s lub z) i macierz L jest wyznaczana tak, aby system zamknięty posiadał rzeczywiście takie bieguny

28 Schemat sterowania systemu ze sprzężeniem od stanu
Metoda alokacji biegunów Podstawy metody Metoda związana z działaniem regulacyjnym (związane z warunkiem początkowym , przy przyjęciu Nie bierze się pod uwagę równania wyjścia , gdyż brane jest ono pod uwagę przy projektowaniu macierz kompensacji wzmocnień lub Schemat sterowania systemu ze sprzężeniem od stanu

29 Projektowanie metodą alokacji biegunów polega znalezieniu stałej macierzy sprzężenia zwrotnego (od stanu) takiej, że wartości własne systemu zamkniętego zarówno systemu ciągłego jak i dyskretnego, znajdują się w danych położeniach na płaszczyźnie s lub z

30 Warunki istnienia macierzy
Wszystkie wartości własne systemu mogą być przemieszczone do nowych dowolnych położeń wtedy i tylko wtedy, gdy system jest całkowicie sterowalny Sterowalność, warunki sterowalności, dekompozycja kanoniczna sterowalności

31 Ogólna procedura wyznaczania macierzy L
Przy warunku równanie stanu systemu zamkniętego Wartości własne macierzy systemu zamkniętego , które zostały wybrane, są zerami wielomianu charakterystycznego systemu zamkniętego gdzie, oznacza, że współczynnik wielomianu zależy od elementów nieznanej macierzy Z drugiej strony, arbitralny wybór wartości własnych jest równoważny arbitralnemu wyborowi współczynników wielomianu, ponieważ

32 Przyrównując do siebie współczynniki powyższych wielomianów, otrzymujemy układ równań
() t.j. układ n równań (określone ) o p x n niewiadomych (wymiar macierzy L) Konsekwencje:  p = 1, system jednowymiarowy, układ określony, istnieje jednoznaczne rozwiązanie  p > 1, system wielowymiarowy, układ niedookreślony, nie istnieje jednoznaczne rozwiązanie

33 Przykład – mały silnik p. s
Przykład – mały silnik p.s. z obciążeniem inercyjnym i pomijalną indukcyjnością obwodu twornika i sztywnym wałem k = , L = 0 Zmienne modelu: - zmienne stanu - zmienna wyjścia

34 Równania stanu w postaci macierzowej:
Równania wyjścia w postaci macierzowej: Schemat blokowy analogowy modelu silnika PS

35 Silnik używany do sterowania położeniem kątowym lub liniowym
Przykład – pozycjonowanie głowicy plotera Model w postaci nie-macierzowej Transformacja Laplace’a

36 Transmitancja operatorowa

37 gdzie, - wzmocnienie w torze napięcie – położenie, - stała czasowa silnika
W wielu przypadkach

38 gdzie, - wzmocnienie w torze napięcie – położenie, - stała czasowa silnika
W wielu przypadkach

39 Pożądany obszar alokacji biegunów systemu zamkniętego
Wówczas i Równania stanu dla tych warunków Chcemy umieścić wartości własne systemu zamkniętego w określonych miejscach Pożądany obszar alokacji biegunów systemu zamkniętego Linie stałej wartości współczynnika tłumienia i pulsacji drgań nietłumionych systemu rzędu drugiego

40 Wybierzmy Postulowany wielomian charakterystyczny systemu zamkniętego Jest to też wielomian charakterystyczny macierzy systemu zamkniętego Równania opisujące system zamknięty: Stąd Równanie stanu systemu zamkniętego i macierz systemu zamkniętego

41 Wielomian charakterystyczny macierzy systemu zamkniętego wyrażony przez parametry systemu
W przykładzie Stąd

42 Z porównania dwóch wielomianów charakterystycznych
i stąd Wybierając możemy określić Z klasycznej teorii:  odwrotność stałej czasowej – pulsacja załamania

43  Dla systemu drugiego rzędu
oraz Gdyby np. pulsacja drgań nietłumionych miałaby być pięciokrotnie większa od pulsacji załamania, a współczynnik tłumienia stąd i wzmocnienia

44 Schemat zbudowanego systemu sterowania
Silnik

45 Propozycja rozwiązania – wykorzystanie działania całkującego
Zastosowanie macierzy kompensacji M pozwala zapewnić wzmocnienie w torze wartość zadana – wartość aktualna wyjścia równą jeden, inaczej mówiąc równość tych dwóch wielkości Wada: rozwiązanie takie nie gwarantuje zerowej wartości uchybu ustalonego, np. w sytuacjach, kiedy model systemu nie jest dokładnie znany Alternatywa: dodanie jednego lub kilku integratorów (elementów całkujących) w pętli sterowania

46 Rozwiązanie - struktura
Przypadek ciągły: Dla zlikwidowania uchybu ustalonego, - wprowadzamy integratory w liczbie na wyjściu komparatora (elementu porównującego) wartości zadanej (referencyjnej) i aktualnej wielkości wyjściowej systemu – po jednym dla każdej składowej wektora wielkości referencyjnej - poprzez macierz zamykamy sprzężenie zwrotne (ujemne) - sprzężenie od wektora stanu realizowane jest jak poprzednio za pomocą macierzy oznaczonej

47 Pojawiają się nowe zmienne stanu będące skutkiem wprowadzenia integratorów
Niech system jest dany jako Nowe zmienne stanu Łącząc zmienne stanu otrzymujemy system rozszerzony Równania stanu systemu rozszerzonego

48 Pełny opis systemu rozszerzonego (otwartego)
Macierze wzmocnień dla działania regulacyjnego wprowadzamy jak poprzednio

49 Równania stanu systemu po zamknięciu sprzężenia
Pełny opis systemu po zamknięciu sprzężenia

50 Projektowanie sterowania ze sprzężeniem od stanu
Opis systemu rozszerzonego może być dany gdzie

51 Problem polega teraz na określeniu rozszerzonej macierzy wzmocnień sprzężenia zwrotnego od stanu
tak, aby system zamknięty realizujący prawo sterowania i mający macierz systemu posiadał wymagane własności dynamiczne Rozwiązanie problemu – jak dla podejścia ze sprzężeniem w przód

52 Rozwiązanie – struktura
Przypadek dyskretny: Opóźnienie

53 Wyście integratora (dyskretnego)
gdzie, zmienne reprezentują dodatkowych zmiennych stanu Równania systemu rozszerzonego Pełny opis systemu rozszerzonego (otwartego)

54 Sterowanie przez sprzężenie zwrotne od stanu
Prawo sterowania System z zamkniętą pętlą sterowania Uchyb sterowania w stanie równowagi Stan równowagi

55 Dziękuję za uczestnictwo w wykładzie i uwagę