Metoda graficzna opracowanie na podstawie Metody wspomagające podejmowanie decyzji w zarządzaniu D. Witkowska, Menadżer Łódź Zadania, w których występują dwie zmienne decyzyjne można rozwiązać za pomocą metody graficznej.
Przykład n Szef działu reklamy firmy "Press" otrzymał zlecenie na przeprowadzenie kampanii reklamowej wyrobu "Twigo". Kampania ta ma być zrealizowana poprzez dwie grupy środków masowego przekazu: radio i telewizję. Oszacowane ceny emisji reklamy wynoszą odpowiednio: w przypadku emisji radiowej 3 euro i telewizyjnej 6 euro. Koszty ponoszone przez firmę "Press" na emisji reklamy radiowej wynoszą 2 euro, a na telewizyjnej 1 euro, a przyjmowane jest zlecenie jeżeli jej koszty nie przekraczają 6 euro. Zleceniodawca żąda, aby wyemitowano co najmniej dwie reklamy, w tym co najmniej jedną reklamę telewizyjną. n Natomiast telewizja przyjmuje zlecenie emisji, jeśli reklama będzie emitowana co najwyżej cztery razy. n Określ optymalną liczbę emisji reklamy w przekazie radiowym i telewizyjnym.
Model matematyczny III Zmienne decyzyjne : x 1 - liczba emisji reklamy radiowej; x 2 - liczba emisji reklamy telewizyjnej. funkcja celu: f(x)=3x 1 + 6x 2 min (koszty zleceniodawcy w tys. zł) warunki ograniczające: 2 x 1 + x 2 6 warunek na koszty ponoszone przez firmę "Press", x 1 + x 2 2 warunek zleceniodawcy na emisję reklam, x 2 1 dolne ograniczenie uwzględniające żądanie zleceniodawcy, x 2 4 górne ograniczenie dotyczące warunków nałożonych przez TV, warunki brzegowe: x 1 0, x 2 0, x 1 C, x 2 C.
x1 x2 Zbiór rozwiązań dopuszczalnych A D E B C 2 x 1 + x 2 6 x 1 + x 2 2 x 2 1 x 2 4
x1 x2 A D E B C f(x)=3x 1 + 6x 2 min c=[3 6]
Rozwiązanie optymalne jednoznaczne
Interpretacja rozwiązania Zmienne decyzyjne : x 1 = 1- emitujemy jedną reklamę radiową; x 2 =1- emitujemy jedną reklamę telewizyjną. funkcja celu: f(x)=9 minimalne koszty wynoszą 9 tys. zł warunki ograniczające: - firma "Press nie ponosi maksymalnie możliwych kosztów ( 3<6 ), - emitujemy dokładnie tyle reklam ile wynosi zakładane minimum (emitujemy minimalnie dwie reklamy), - emitujemy dokładnie tyle reklam telewizyjnych ile wynosi dolne ograniczenie uwzględniające żądanie zleceniodawcy, - emitujemy o trzy reklamy telewizyjne mniej niż wynosi górne ograniczenie dotyczące warunków nałożonych przez TV.
Model matematyczny IV Zmienne decyzyjne : x 1 - liczba emisji reklamy radiowej; x 2 - liczba emisji reklamy telewizyjnej. funkcja celu: f(x)=5x 1 + 5x 2 min warunki ograniczające: 2 x 1 + x 2 6 x 1 + x 2 2 x 2 1 x 2 4 warunki brzegowe: x 1 0, x 2 0, x 1 C, x 2 C.
x1 x2 A D E B C
Rozwiązanie optymalne niejednoznaczne
Problem 2 n Ile węgla brunatnego w tonach i ropy naftowej w hl można wydobywać wiedząc, że potrzebne maszyny mogą pracować co najwyżej 8 godz. I na każda ton węgla potrzeba 2 godz. pracy maszyn, a na hl ropy tylko 1 godz., a zatrudnionych musi być przynajmniej 10 pracowników i na każdą jednostkę wyrobu potrzeba jednego pracownika. Zysk na wydobyciu 1 tony węgla wynosi 3 tys. zł, a 1hl ropy 6 tys. zł
Model matematyczny I Zmienne decyzyjne : x 1 - ilość wydobywanego węgla w tonach; x 2 - ilość wydobywanej ropy w hl. funkcja celu: f(x)=3x 1 + 6x 2 max(zysk w tys. zł) warunki ograniczające: 2 x 1 + x 2 8 warunek na czas pracy maszyn w godz. x 1 + x 2 10 warunek na liczbę zatrudnianych osób, warunki brzegowe: x 1 0, x 2 0.
x1 x2 Nie ma zbioru rozwiązań dopuszczalnych 2 x1 + x2 8 x1 + x2 10
Nie ma rozwiązania optymalnego n Nie istnieje zbiór rozwiązań dopuszczalnych. n Układ warunków ograniczających i brzegowych jest sprzeczny
Problem 2 n Ile węgla brunatnego w tonach i ropy naftowej w hl można wydobywać wiedząc, że potrzebne maszyny mogą pracować co najmniej 8 godz. I na każda ton węgla potrzeba 2 godz. pracy maszyn, a na hl ropy tylko 1 godz., a zatrudnionych musi być przynajmniej 10 pracowników i na każdą jednostkę wyrobu potrzeba jednego pracownika. Zysk na wydobyciu 1 tony węgla wynosi 3 tys. zł, a 1hl ropy 6 tys. zł
Model matematyczny II Zmienne decyzyjne : x 1 - ilość wydobywanego węgla w tonach; x 2 - ilość wydobywanej ropy w hl. funkcja celu: f(x)=3x 1 + 6x 2 max(zysk w tys. zł) warunki ograniczające: 2 x 1 + x 2 8 warunek na czas pracy maszyn w godz. x 1 + x 2 10 warunek na liczbę zatrudnianych osób, warunki brzegowe: x 1 0, x 2 0.
x1 x2 zbiór rozwiązań dopuszczalnych jest nieograniczony 2 x1 + x2 8 x1 + x2 10
Rozwiązanie nieograniczone n Funkcja celu dąży do max i zbiór rozwiązań dopuszczalnych jest nieograniczony.
Zmiana parametrów funkcji celu Zmienne decyzyjne : x 1 - liczba emisji reklamy radiowej; x 2 - liczba emisji reklamy telewizyjnej. funkcja celu: f(x)=cx 1 + 6x 2 min warunki ograniczające: 2 x 1 + x 2 6 x 1 + x 2 2 x 2 1 x 2 4 warunki brzegowe: x 1 0, x 2 0, x 1 C, x 2 C.
x1 x2 A D E B C
Zmiana ograniczeń Zmienne decyzyjne : x 1 - liczba emisji reklamy radiowej; x 2 - liczba emisji reklamy telewizyjnej. funkcja celu: f(x)=3x 1 + 6x 2 min warunki ograniczające: 2 x 1 + x 2 b x 1 + x 2 2 x 2 1 x 2 4 warunki brzegowe: x 1 0, x 2 0, x 1 C, x 2 C.
x1 x2
Model matematyczny V Zmienne decyzyjne : x 1 - liczba emisji reklamy radiowej; x 2 - liczba emisji reklamy telewizyjnej. funkcja celu: f(x)=30x 1 + 6x 2 max(zysk w tys. zł) warunki ograniczające: 2 x 1 + x 2 6warunek na koszty ponoszone przez firmę "Press", x 1 + x 2 2warunek zleceniodawcy na emisję reklam, x 2 1dolne ograniczenie uwzględniające żądanie zleceniodawcy, x 2 4górne ograniczenie dotyczące warunków nałożonych przez TV, warunki brzegowe: x 1 0, x 2 0, x 1 C, x 2 C.
x1 x2 A D E B C
x1 x2
Rozwiązanie optymalne jednoznaczne
Zadnie pierwotne n Max f. celu n Współczynniki f. celu n Warunki <= n Warunki >= n Warunki = n Macierz parametrów Zadnie dualne n Min f. celu n Wartości ograniczeń n zmienne >= dla max lub <= dla min n zmienne = dla min n Zmienne ze zbioru R n transponowana macierz parametrów
Interpretacja cen dualnych (y i ) n Jeżeli w i-tym ograniczeniu ZP wyraz wolny wzrośnie o jednostkę to optymalna wartości funkcji celu pierwotnego zadania wzrośnie o y i jednostek. n Cena dualna to graniczna wartość powyżej której dokonywanie dodatkowego zakupu tego środka nie jest już opłacalne.