Metody optymalizacji – metody badań operacyjnych

Prezentacja na temat: "Metody optymalizacji – metody badań operacyjnych"— Zapis prezentacji:

1 Metody optymalizacji – metody badań operacyjnych

2 Badania Operacyjne (Operations Research, Management Science)
Badania Operacyjne (BO) należą do matematycznych nauk interdyscyplinarnych zajmujących się efektywnym wykorzystaniem środków przez różnego typu organizacje. Istotne znaczenie w BO ma interakcja pomiędzy człowiekiem a technologią – nacisk na praktyczne zastosowania metod matematycznych.

3 Badania operacyjne – zakres metod
BO korzystają z narzędzi, m.in.: Rachunku prawdopodobieństwa, Statystyki, Ekonometrii, Metod optymalizacji, Teorii podejmowania decyzji i teorii gier, Teorii kolejek (masowej obsługi), Teorii grafów, Symulacji.

4 PROGRAMOWANIE LINIOWE

5 Wstęp do Programowania Liniowego (PL)
Model PL ma na celu poszukiwanie maksimum bądź minimum funkcji liniowej przy liniowych ograniczeniach Elementy modelu PL: Zbiór zmiennych decyzyjnych Funkcja kryterium. Układ ograniczeń.

6 Model Programowania Liniowego w postaci klasycznej

7 Model Programowania Liniowego w postaci klasycznej

8 Wstęp do PL Zastosowania modeli LP w różnych dziedzinach: Produkcja
Finanse Rolnictwo Marketing i reklama, itd..

9 Wstęp do PL Istotna rola Programowania Liniowego
Efektywne algorytmy obliczeniowe gwarantujące znalezienie rozwiązania optymalnego Możliwa analiza wrażliwości rozwiązania optymalnego – co by było, gdyby...?.

10 Wstęp do PL Założenia modelu PL: Znane wartości parametrów,
Funkcja kryterium i ograniczenia mają własność stałych przyrostów (constant returns to scale) – ten sam co do wielkości przyrost zmiennej , bez względu na początkowy poziom, powoduje zawsze taki sam przyrost wartości funkcji Addytywność efektów związanych ze zmiennymi, Zmienne decyzyjne mają charakter ciągły – mogą przyjąć każdą wartość z określonego przedziału liczbowego (inne modelowanie dla zmiennych całkowitoliczbowych czy też binarnych), Zakłada się nieujemność zmiennych decyzyjnych.

11 Firma „Puchatek” – problem optymalnego planu produkcji
Firma produkuje dwa rodzaje zabawek plastikowych - samochodzików - dla dzieci powyżej 1 roku: ciężarówka. traktor. Występują ograniczone zasoby dwóch środków produkcji: 1000 kg specjalnego plastiku. Czas produkcji w ciągu tygodnia ograniczony do 40 godzin.

12 Firma „Puchatek” – problem optymalnego planu produkcji
Wymagania rynkowe Wielkość produkcji nie może przekroczyć 7000 szt. Liczba ciężarówek nie może przekroczyć liczby traktorów o więcej niż 3500 szt. Informacja technologiczna Ciężarówka wymaga 20 dkg plastiku i 0,3 minut czasu produkcji, Traktor wymaga 10 dkg plastiku i 0,4 minut czasu pracy.

13 Firma „Puchatek” – problem optymalnego planu produkcji
Obecna strategia planowania produkcji: Produkować jak najwięcej produktu bardziej zyskownego (Ciężarówka – zysk jedn. 8 zł za dziesięć sztuk), Pozostałe środki przeznaczyć na produkt mniej zyskowny (Traktor – zysk jedn. 5 zł za dziesięć sztuk), pamiętając o zaleceniach działu marketingu. Obecny tygodniowy plan produkcji: Ciężarówka = sztuk Traktor = 1000 sztuk Szacowany zysk = 4100 zł tygodniowo 8(450) + 5(100)

14 Firma szuka rozwiązania, które może przynieść zwiększenie zysku

15 Model PL dla firmy „Puchatek”
Zmienne decyzyjne: X1 = tygodniowa wielkość produkcji ciężarówek (w 10 szt.) X2 = tygodniowa wielkość produkcji traktorów Funkcja kryterium: maksymalizacja zysku tygodniowego

16 Model PL dla firmy „Puchatek”
Max z(x) = 8X1 + 5X2 (zysk tygodniowy w zł) przy ograniczeniach: 2X1 + 1X2 <= (plastik w kg) 3X1 + 4X2 <= (czas produkcji w minutach) X1 + X2 <= (wielkość produkcji w 10 szt.) X X2 <= (Mix) Xj 0, j = 1, (nieujemność zmiennych decyzyjnych)

17 Analiza graficzna zadania PL
Zbiór punktów, które spełniają wszystkie ograniczenia to ZBIÓR ROZWIĄZAŃ DOPUSZCZALNYCH

18 Analiza graficzna – zbiór rozwiązań dopuszczalnych
Ograniczenia na nieujemność zmiennych X2 X1

19 Analiza graficzna – zbiór rozwiązań dopuszczalnych
X2 1000 Plastik 2X1+X2 <= 1000 700 Produkcja całkowita: X1+X2 <=700 (nieistotne) 500 Niedopuszczalne Czas produkcji 3X1+4X2 <=2400 Dopuszczalne X1 500 700

20 Analiza graficzna – zbiór rozwiązań dopuszczalnych
X2 1000 Plastik 2X1+X2 <= 1000 700 Produkcja całkowita: X1+X2 <=700 (nieistotne) 500 Niedopuszczalne Mix X1-X2 <= 350 Czas produkcji 3X1+4X2<= 2400 Dopuszczalne X1 500 700 Punkty wewnętrzne. Punkty brzegowe Punkty wierzchołkowe Trzy rodzaje rozwiązań dopuszczalnych

21 Poszukiwanie rozwiązania optymalnego

22 Poszukiwanie rozwiązania optymalnego
Ustalamy dowolną wielkość zysku, np. = 2000 zł, i rysujemy odpowiadającą izokwantę funkcji kryterium. (Izokwanta liniowej funkcji kryterium to prosta mająca tę własność, że dla wszystkich punktów tej prostej wartość funkcji jest jednakowa) X2 1000 700 Zysk =4360 zł 500 Zwiększamy zysk tak dalece jak to możliwe... ...i kontynuujemy, dopóki jest to dopuszczalne X1 500

23 Podsumowanie rozwiązania optymalnego
Ciężarówki = 3200 szt. Traktory = 3600 szt. Zysk maksymalny = zł Rozwiązanie optymalne wykorzystuje cały zasób surowca – plastik oraz czasu produkcji – ograniczenia wiążące. Produkcja całkowita to 6800 szt. (a nie max 7000szt.) Ograniczenie na Mix produktów spełnione jako nierówność: = -40 < 350

24 Punkty wierzchołkowe a rozwiązanie optymalne
Jeżeli problem PL posiada rozwiązanie optymalne, to jest nim punkt wierzchołkowy, przynajmniej jeden.

25 Punkty wierzchołkowe a rozwiązanie optymalne
Jeżeli dokonany zostanie wybór rozwiązania optymalnego, to proste przecinające się w punkcie wierzchołkowym, będącym rozwiązaniem optymalnym, odpowiadają ograniczeniom wiążącym, tj. spełnionym jako równania. W problemie firmy „Puchatek” ograniczeniami wiążącymi są: zapas plastiku oraz czas produkcji. Oznacza to, że cały zapas surowca jest wykorzystany. Również czas produkcji wykorzystany jest w 100% Pozostałe ograniczenia są niewiążące – obserwujemy zapas w ograniczeniu na wielkość produkcji oraz mix produktów. Zapas – różnica między wartością prawej i lewej strony ograniczenia

26 Niejednoznaczne rozwiązanie optymalne
W przypadku niejednoznaczności rozwiązania optymalnego, izokwanta funkcji kryterium jest równoległa do jednego z ograniczeń. W przypadku niejednoznacznosci każda liniowa kombinacja (średnia ważona) optymalnych rozwiązań wierzchołkowych jest również optymalna

27 Analiza wrażliwości rozwiązania optymalnego
Jak wrażliwe jest rozwiązanie optymalne na zmiany parametrów modelu? Powody przeprowadzania analizy wrażliwości: Założenie o znanych wartościach parametrów nie jest prawdziwe – znamy tylko wartości ocen statystycznych lub eksperckich parametrów – możliwy błąd szacunku, Wartości parametrów mogą zmieniać się w czasie, Analiza wrażliwości dostarcza cennej informacji dla celów zarządzania.

28 Wrażliwość rozwiązania na zmiany parametrów funkcji kryterium.
Przedział optymalności Rozwiązanie optymalne pozostaje niezmienne tak długo jak Parametr funkcji kryterium należy do przedziału optymalności Nie obserwujemy zmian innych parametrów modelu. Wartość funkcji kryterium ulegnie zmianie, jeżeli analizowany parametr dotyczy zmiennej, której wartość jest większa od zera.

29 Wrażliwość rozwiązania na zmiany parametrów funkcji kryterium.
X2 1000 Max 4X1 + 5X2 Max 3.75X1 + 5X2 Max 8X1 + 5X2 500 Max 2X1 + 5X2 X1 500 800

30 Wrażliwość rozwiązania na zmiany parametrów funkcji kryterium.
X2 1000 Max8X1 + 5X2 Przedział optymalności: [3.75, 10] 500 Max 10 X1 + 5X2 Max 3.75X1 + 5X2 X1 400 600 800

31 Wrażliwość rozwiązania na zmiany parametrów funkcji kryterium.
Interpretacja przedziału optymalności dla parametru c1: Zakładając, że inne elementy modelu (parametry, ograniczenia) nie ulegną zmianie, to zmiana zysku jednostkowego (w 10 szt.) dla ciężarówek w przedziale [3,75 ;10] zł nie spowoduje utraty optymalności przez uzyskane rozwiązanie. Maksymalny zysk odpowiada produkcji 3200 ciężarówek i 3600 szt. traktorów. Oczywiście, zmiana zysku jednostkowego dla ciężarówek spowoduje zmianę wartości maksymalnego zysku, np. dla c1=9zł/10szt. maksymalny zysk wyniesie 320*9+360*5= 4680 zł.

32 Analiza wrażliwości rozwiązania na zmianę prawych stron ograniczeń
Jak zmieni się optymalna wartość funkcji kryterium (np. maksymalny zysk), jeżeli prawa strona wybranego ograniczenia wzrośnie o jednostkę? Dla jak dużych przyrostów bądź spadków wartości prawej strony ograniczenia, wyznaczona wartość przyrostu funkcji kryterium pozostanie niezmieniona?

33 Analiza wrażliwości rozwiązania na zmianę prawych stron ograniczeń
Każda zmiana wartości prawej strony ograniczenia wiążącego spowoduje zmianę rozwiązania optymalnego. Dowolna zmiana prawej strony ograniczenia niewiążącego, mniejsza od wielkości zapasu, nie spowoduje zmiany rozwiązania optymalnego,

34 Dualizm w programowaniu liniowym

35 Własności zadania dualnego:
Jeżeli jedno z pary zadań nie posiada skończonego rozwiązania optymalnego, to drugie z zadań jest sprzeczne, Jeżeli jedno z pary zadań jest sprzeczne, to drugie może być sprzeczne bądź nie posiadać skończonego rozwiązania optymalnego, Każda ze zmiennych dualnych odpowiada konkretnemu ograniczeniu zadania prymalnego,

36 Interpretacja wycen dualnych
interpretacja wynika z własności równości optymalnych wartości funkcji kryterium obu zadań: przyrost optymalnej wartości funkcji kryterium zadania prymalnego spowodowany marginalnym przyrostem prawej strony odpowiadającego ograniczenia (pamiętamy, że zmiana wartości prawej strony ograniczenia powoduje, w ogólnym przypadku, zmianę wartości zmiennych zadania PL).

37 Wyceny dualne (Shadow Prices)
Zakładając, że nie występują zmiany żadnych innych parametrów wejściowych modelu, zmiana optymalnej (max albo min) wartości funkcji kryterium na jednostkę przyrostu wartości prawej strony ograniczenia nazywana jest wyceną (ceną) dualną (najczęściej, wyceną dualną zasobu)

38 Wyceny dualne – ilustracja graficzna
Plastik Jeżeli dostępna jest większa ilość plastiku (ograniczenie na zasób plastiku będzie rozluźnione), wzrasta wartość prawej strony ograniczenia X2 1000 Max zysk = 4360 zł 2X1 + 1x2 <=1001 2X1 + 1x2 <=1000 Max zysk = zł 500 Wycena dualna = – = 3.40 Czas produkcji X1 500

39 Wyceny dualne – interpretacja c.d.
Zmienna dualna posiada miano, wynikające ze sposobu pomiaru wartości funkcji kryterium i wartości ograniczenia, np. y1=3,4 $/kg (dla 1. ograniczenia na zasób plastiku) Jeżeli zapas plastiku zwiększy się o 1 kg to maksymalny zysk (odpowiadający nowemu rozwiązaniu optymalnemu) zwiększy się o 3,4 $ i wyniesie ,4 =4363,4 $.

40 Własności zadania dualnego c.d.:
W przypadku modeli PL o mieszanych warunkach ograniczających, zmienne dualne odpowiadające ograniczeniom o przeciwnych znakach niż dla symetrycznej pary (max „” oraz min „”) są niedodatnie; w przypadku ograniczeń równościowych nie można przewidzieć znaku zmiennej dualnej.

41 Przedział dopuszczalności
Zakładając brak zmian wartości innych parametrów wejściowych modelu, przedziałem dopuszczalności nazywamy: Przedział wartości prawej strony ograniczenia, w zakresie którego nie ulegają zmianie wyceny dualne. W obrębie przedziału dopuszczalności, zmianę optymalnej wartości funkcji kryterium możemy wyznaczyć następująco: Zmiana wartości f. kryterium = [wycena dualna]x[zmiana wartości prawej strony ograniczenia]

42 Przedział dopuszczalności
Plastik X2 Zwiększanie zasobu plastiku przynosi efekt tylko do czasu, aż pojawi się nowe ograniczenie wiążące. 1000 2X1 + 1x2 <=1000 Nowe ograniczenie wiążące Produkcja całkowita X1 + X2≤700 500 To jest rozwiązanie niedopuszczalne Czas produkcji X1 500

43 Przedział dopuszczalności
Plastik X2 Zauważmy, jak zmienia się zysk, gdy rośnie zasób plastiku. 2X1 + 1x2 <=1000 1000 500 Czas produkcji X1 500

44 Przedział dopuszczalności
X2 Zasób plastiku zmniejsza się (ograniczenie jest bardziej restrykcyjne). 1000 Rozwiązanie niedopuszczalne Zysk zmniejsza się 500 2X1 + 1X2 <= 1100 Nowe ograniczenie wiążące X1 500

45 „Puchatek” – wprowadzanie danych w programie WinQSB

46 „Puchatek” – rozwiązanie graficzne w programie WinQSB
Zapas plastiku Ilość wyrobów mix Czas pracy

47 „Puchatek” – rozwiązanie w programie WinQSB
Przedziały optymalności Wyceny dualne Przedziały dopuszczalności Zapas/nadmiar

48 Możliwe, inne niż jednoznaczne, wyniki optymalizacji
Sprzeczność zadania: Zbiór rozwiązań dopuszczalnych jest pusty. Powodem są zbyt restrykcyjne ograniczenia. Nieograniczoność: Funkcja kryterium może być dowolnie duża. Powodem jest brak istotnego ograniczenia w modelu. Rozwiązanie niejednoznaczne: Więcej niż jeden punkt odpowiada optymalnej wartości funkcji kryterium

49 Zadanie PL jest sprzeczne
. 2 3 1

50 Rozwiązanie nieograniczone
Maksymalizacja funkcji kryterium Zbiór rozwiązań dopuszczalnych