1

DANE INFORMACYJNE Gimnazjum im. Powstańców Wielkopolskich w Stęszewie Nazwa szkoły: Gimnazjum im. Powstańców Wielkopolskich w Stęszewie ID grupy: 98/12_mf_g1 Kompetencja: Matematyka Semestr/rok szkolny: piąty 2011/2012 Temat projektowy: Od równań liniowych 2

Równanie liniowe ax + b = 0 Równaniem nazywamy dwa wyrażenia algebraiczne połączone znakiem równości. Równanie postaci ax + b = 0 (lub każde dające się sprowadzić do tej postaci), gdzie x jest niewiadomą oraz a i b są dowolnymi liczbami nazywamy równaniem liniowym z jedną niewiadomą. Liczby a i b nazywamy współczynnikami równania.

Rozwiązanie równania liniowego Rozwiązaniem równania liniowego z jedną niewiadomą nazywamy każdą liczbę, która podstawiona w miejsce niewiadomej spełnia to równanie.

Równanie liniowe rozwiązujemy następująco - niewiadomą przenosimy na jedną stronę równania, a liczby na drugą stronę równania, - mnożymy lub dzielimy obie strony przez taką wartość tak, aby pozbyć się liczby przy niewiadomej x, - przy przenoszeniu liczby lub niewiadomej na drugą stronę równania, zmieniamy jej znak na przeciwny.

Przykłady rozwiązywania równań 2x + 5 = 14,8 + x-3 Przenosimy niewiadomą x z prawej strony równania na lewą stronę oraz liczbę 5 z lewej strony równania na prawą stronę zmieniając przy tym znak. 2x – x = 14,8 – 3 – 5 Po redukcji wyrazów do siebie podobnych otrzymujemy rozwiązanie. X = 6,8

Przykład 2. 0,2(10-5x) = 3 + 2(x - 1) Usuwamy nawiasy wymnażając 2 – x = 3 + 2x – 2 Przenosimy wyrażenia zawierające x na lewą stronę, a liczby na prawą stronę równania zmieniając znak -x – 2x = 3 – 2 – 2 Po redukcji otrzymujemy równanie -3x = -1 |:(-3) Dzieląc obustronnie równanie przez -3 otrzymujemy rozwiązanie x =

Równanie liniowe z jedną niewiadomą może być: Równaniem sprzecznym nazywamy takie równanie, którego nie spełnia żadna liczba rzeczywista. Przykłady równań sprzecznych: 1. x + 1 = x – 1 2. 3x – 2 = 3x + 7 Równanie tożsamościowym to takie równania, które mają nieskończenie wiele rozwiązań. Jeżeli w takim równaniu podstawimy pod x-a dowolną liczbę to otrzymamy zawsze równanie prawdziwe. Przykłady równań tożsamościowych: 1. 5x – 7 = -7 + 5x 2. 2x = 2x

Nierówności liniowe Najprostszą nierównością jest nierówność liniowa (nierówność stopnia pierwszego), tj. nierówność, po której obu stronach występują funkcje liniowe.

Przykład: aby rozwiązać nierówność 2x – 15 > 3x dodajemy do obu stron nierówności 15: 2x > 3x + 15 odejmujemy od obu stron nierówności : 3x – x > 15 dzielimy obie strony nierówności przez zmieniając jej znak: x< -15 Rozwiązaniem nierówności jest każda liczba mniejsza od -15 .

Równania liniowe z dwiema niewiadomymi Równanie postaci ax + by + c = 0, gdzie x jest niewiadomą oraz a, b, c są dowolnymi liczbami oraz a2 + b2 ≠ 0 nazywamy równaniem liniowym z dwiema niewiadomymi.

Rozwiązaniem równania pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi x i y jest para (x0, y0) wtedy i tylko wtedy, gdy po podstawieniu do tego równania x0 w miejsce x oraz y0 w miejsce y otrzymuje się zdanie prawdziwe. Równanie pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi ma nieskończenie wiele rozwiązań. Obrazem graficznym (wykresem) zbioru rozwiązań równania pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi jest prosta.

Rozwiązanie graficzne równania liniowego z dwiema niewiadomymi

Układ równań liniowych z dwiema niewiadomymi a1x+b1y=c1 a2x+b2y=c2 gdzie a1, a2, b1, b2, c1, c2 są dowolnymi liczbami przy czym a1 i a2 oraz b1 i b2 nie mogą być jednocześnie zerami nazywamy układem dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi.

Rozwiązaniem układu dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi nazywamy każdą parę liczb (x, y), która spełnia jednocześnie oba równania układu. Liczba rozwiązań układu dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi zależy od wartości współczynników obu równań liniowych układu. Układ równań liniowych z dwiema niewiadomymi może: - mieć dokładnie jedno rozwiązanie, którym jest para liczb (układ oznaczony), - mieć nieskończenie wiele rozwiązań (układ nieoznaczony), - nie mieć rozwiązań (układ sprzeczny).

Metody rozwiązywania układów równań liniowych z dwiema niewiadomymi. Metoda podstawiania Metoda polega na wyznaczeniu jednej niewiadomej z jednego z równań układu i podstawieniu wyznaczonej niewiadomej do drugiego równania. Uzyskujemy w ten sposób równanie liniowe z jedną niewiadomą. Wyznaczoną z tego równania niewiadomą podstawiamy do drugiego równania i otrzymujemy wartość drugiej niewiadomej. Przykład:

Wyznaczamy „y” z drugiego równania Podstawiamy do pierwszego równania Obliczamy x z pierwszego równania Obliczoną niewiadomą x podstawiamy do drugiego równani obliczając y Otrzymujemy rozwiązanie

Metoda przeciwnych współczynników Metoda ta polega na pomnożeniu równań układu przez odpowiednio dobrane liczby, tak aby po dodaniu równań stronami otrzymać równanie z jedną niewiadomą. Przykład: Mnożymy obustronnie drugie równanie przez -2: Otrzymujemy równanie Dodajemy równania do siebie otrzymując:

Następnie mnożymy obustronnie drugie równanie przez -3: Otrzymujemy układ: Dodajemy stronami i obliczamy x: Rozwiązaniem jest para liczb:

Metoda mieszana. Metoda polega na obliczeniu jednej niewiadomej x lub y metodą przeciwnych współczynników, a następnie obliczoną wartość podstawiamy do jednego z równań aby obliczyć drugą niewiadomą. Przykład: Mnożymy obustronnie drugie równanie przez -2: Otrzymujemy równanie Dodajemy równania do siebie otrzymując:

Następnie pod y w równaniu drugim podstawiamy 6 i obliczamy x: Rozwiązaniem jest para liczb:

Graficzne rozwiązanie układu równań liniowych. Metoda ta polega na wykreśleniu w prostokątnym układzie współrzędnych wykresu (linii prostej) każdego równania układu i odczytaniu współrzędnych punktów wspólnych dla obu prostych.

Jeżeli dwie proste są równoległe i nie mają punktów wspólnych, to układ równań nie ma rozwiązania.

Jeżeli natomiast równania układu opisują tę samą prostą, to rozwiązaniem układu równań są współrzędne wszystkich punktów należących do tej prostej - jest ich nieskończenie wiele.

Kilka zdjęć z rozwiązywania układów równań

ŹRÓDŁA: 1. http://www.math.edu.pl 2.Podręcznik do Gimnazjum do klasy 3, autorzy m.in. Anna Bazyluk , Anna Dubiecka, wyd. WSiP 3.Encyklopedia Szkolna Matematyka wyd. WSiP Warszwa 1989 4. http://pl.wikipedia.org

30