Materiały pochodzą z Platformy Edukacyjnej Portalu

Prezentacja na temat: "Materiały pochodzą z Platformy Edukacyjnej Portalu"— Zapis prezentacji:

1 Materiały pochodzą z Platformy Edukacyjnej Portalu www.szkolnictwo.pl
Wszelkie treści i zasoby edukacyjne publikowane na łamach Portalu mogą być wykorzystywane przez jego Użytkowników wyłącznie w zakresie własnego użytku osobistego oraz do użytku w szkołach podczas zajęć dydaktycznych. Kopiowanie, wprowadzanie zmian, przesyłanie, publiczne odtwarzanie i wszelkie wykorzystywanie tych treści do celów komercyjnych jest niedozwolone. Plik można dowolnie modernizować na potrzeby własne oraz do wykorzystania w szkołach podczas zajęć dydaktycznych.

2 Seweryn Eugeniusz Barbag
„Małżeństwo ze stanowiska matematycznego jest równaniem o dwóch niewiadomych.” Seweryn Eugeniusz Barbag

3 TWORZENIE UKŁADÓW RÓWNAŃ.
Nie każde zadanie, w którym występują niewiadome, da się rozwiązać przy pomocy równania. Czasem mamy do czynienia z sytuacjami, w których występuje wiele niewiadomych, wtedy niezbędnym narzędziem okazują się być układy równań. Będziemy się zajmować przede wszystkim układami dwóch równań z dwiema niewiadomymi.

4 UKŁAD DWÓCH RÓWNAŃ Z DWIEMA NIEWIADOMYMI
Przyjrzyjmy się następującej sytuacji: Jaś kupił 2 porcje frytek i hamburgera i zapłacił 11 zł. Ania kupiła jedną porcję frytek i 2 hamburgery i zapłaciła 13 zł. Ile kosztowały frytki a ile hamburger? Nie rozwiążemy tego zadania równaniem z jedną niewiadomą, gdyż występują tu dwie niewiadome: x – cena frytek y – cena hamburgera Na szczęście możemy ułożyć też dwa równania, a więc możliwe jest stworzenie układu równań z dwiema niewiadomymi.

5 UKŁAD DWÓCH RÓWNAŃ Z DWIEMA NIEWIADOMYMI
Jaś kupił 2 porcje frytek i hamburgera i zapłacił 11 zł. Ania kupiła jedną porcję frytek i 2 hamburgery i zapłaciła 13 zł. Ile kosztowały frytki a ile hamburger? x – cena frytek y – cena hamburgera 2x + y = 11 – zakupy Jasia x + 2y = 13 – zakupy Ani Układ dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi.

6 gdzie A, B, C są dowolnymi liczbami oraz A i B są różne od zera.
ODROBINA TEORII. Równaniem stopnia pierwszego z dwiema niewiadomymi x i y nazywamy każde równanie, które można przedstawić w postaci Ax + By + C = 0, gdzie A, B, C są dowolnymi liczbami oraz A i B są różne od zera. Przykłady: 2x + 3y = 6 -5x + y = 0 0,4x + 0,5y = 12 Równaniem liniowym nazywamy równanie stopnia pierwszego z dwiema niewiadomymi a także każde równanie postaci y = A lub x = B, gdzie A i B są dowolnymi liczbami.

7 ODROBINA TEORII. Mówimy, że para liczb spełnia równanie stopnia pierwszego z dwiema niewiadomymi, jeżeli po podstawieniu tych liczb do równania w miejsce niewiadomych otrzymamy równość prawdziwą Przykład: Para liczb x = 0 i y = 2 spełnia równanie 2x + 3y = 6, ponieważ 2 ∙ ∙ 2 = 6. Parę tę możemy zapisać: (0; 2). Rozwiązaniem równania stopnia pierwszego z dwiema niewiadomymi nazywamy każdą parę liczb spełniającą to równanie. Wszystkie takie pary nazywamy zbiorem rozwiązań równania stopnia pierwszego z dwiema niewiadomymi.

8 ODROBINA TEORII. Układem dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi, nazywamy dwa równania liniowe, zapisane jedno pod drugim i połączone klamrą. Przykłady:

9 ROZWIĄZANIE UKŁADU RÓWNAŃ.
Rozwiązaniem układu dwóch równań z dwiema niewiadomymi nazywamy parę liczb spełniającą jednocześnie oba równania. Przykład: Rozwiązaniem powyższego układu równań jest para liczb x = 3, y = 5, czyli (3; 5) ponieważ 2 ∙ = 11 i jednocześnie ∙ 5 = 13. Rozwiązaniem tego układu nie jest natomiast para (0, 11) gdyż spełnia tylko pierwsze równanie a drugiego już nie spełnia.

10 TWORZENIE UKŁADÓW RÓWNAŃ.
Zanim zabierzesz się za rozwiązywanie układów równań, musisz zdobyć umiejętność ich tworzenia. Aby rozwiązywać problemy, w których konieczne jest użycie układu równań, trzeba umieć zapisać odpowiedni układ do danego zadania.

11 PRZYKŁADY. PRZYKŁAD 1. Zapisz informację w postaci układu równań: Liczba a jest o 5 większa od liczby b. Średnia arytmetyczna tych liczb wynosi 9,5. Analiza zadania: a = b + 5 – „Liczba a jest o 5 większa od liczby b.” - „ Średnia arytmetyczna tych liczb wynosi 9,5.” Układ równań:

12 PRZYKŁADY. PRZYKŁAD 2. Gdy do 30% liczby x dodamy liczbę y, otrzymamy 15. Gdy do liczby x dodamy 30% liczby y otrzymamy 20. Analiza zadania: 0,3x – 30% liczby x 0,3y – 30% liczby y 0,3x + y = 15 – „ Gdy do 30% liczby x dodamy liczbę y, otrzymamy 15.” x + 0,3y = 20 - „ Gdy do liczby x dodamy 30% liczby y otrzymamy 20.” Układ równań:

13 PRZYKŁADY. PRZYKŁAD 3. W trakcie konkursu każda drużyna otrzymała plastelinę i 120 patyczków tej samej długości. Zadanie polegało na zbudowaniu ze wszystkich patyczków 15 model sześcianów i czworościanów. Przyjmując za x liczbę czworościanów a za y liczbę sześcianów utwórz układ równań, dzięki któremu drużyny będą wiedziały ile modeli każdej z figur muszą zbudować. x – liczba czworościanów y – liczba sześcianów x + y = 15 – ilość wszystkich figur

14 PRZYKŁADY. PRZYKŁAD 3 – ciąg dalszy. 6 – ilość krawędzi czworościanu 12 – ilość krawędzi sześcianu 6x – ilość słomek potrzebnych na zbudowanie x modeli czworościanu 12y – ilość słomek potrzebnych na zbudowanie y modeli sześcianu 6x + 12y = 120 – ilość wszystkich słomek Układ równań: