Zbieżność szeregu Fouriera Warunki zbieżności Dirichleta Zachowanie szeregu Fouriera w punktach nieciągłości Peter G. L. Dirichlet Zbieżność średniokwadratowa Twierdzenie Parsevala Moc ułamkowa Efekt Gibbsa Okna Fejera, Lanczosa... Podsumowanie „Teoria sygnałów”  Zdzisław Papir

Szereg Fouriera sygnału x(t) „Teoria sygnałów”  Zdzisław Papir

Warunek zbieżności Dirichleta (I) Jeżeli sygnał x(t) w przedziale [0, T]: klasa sygnałów A A1) posiada skończoną liczbę punktów nieciągłości I rodzaju, A2) posiada skończoną liczbę ekstremów, A3) jest ograniczony klasa sygnałów B B1) posiada skończoną liczbę punktów nieciągłości II rodzaju, B2) poza punktami nieciągłości B1) spełnia warunki A1A3, B3) jest bezwzględnie całkowalny to wykładniczy szereg Fouriera jest zbieżny (jednostajnie) do sygnału x(t) we wszystkich punktach jego ciągłości. Warunki Dirichleta są warunkami wystarczającymi. „Teoria sygnałów”  Zdzisław Papir

Warunek Dirichleta (I) „Teoria sygnałów”  Zdzisław Papir czas x(t) T sygnał klasy A I

Warunek Dirichleta (I) „Teoria sygnałów”  Zdzisław Papir czas x(t) T sygnał klasy B II I

Warunek Dirichleta (I) W punktach nieciągłości I rodzaju szereg Fouriera przyjmuje wartość: sugerujący, że w punktach nieciągłości sygnału x(t) jego wartość powinna być równa średniej arytmetycznej granicy lewo- i prawostronnej. Umowa ta gwarantuje zbieżność szeregu Fouriera do sygnału we wszystkich chwilach czasu (ale jednostajną wyłącznie w punktach ciągłości). „Teoria sygnałów”  Zdzisław Papir

Zachowanie szeregu Fouriera w punkcie nieciągłości x(t-) x(t) x(t+) czas t T „Teoria sygnałów”  Zdzisław Papir

Punkt nieciągłości Zachowanie się szeregu Fouriera w pkt. nieciągłości 12 10 8 6 4 2 (10 harmonicznych) -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 czas „Teoria sygnałów”  Zdzisław Papir

Punkt nieciągłości -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 2 4 6 8 10 12 Zachowanie się szeregu Fouriera w pkt. nieciągłości czas (20 harmonicznych) „Teoria sygnałów”  Zdzisław Papir

Warunek zbieżności Dirichleta - II warunek II Jeżeli sygnał x(t) w przedziale [0, T]: klasa sygnałów A A1) ma wahanie ograniczone klasa sygnałów B B1) posiada skończoną liczbę punktów nieciągłości II rodzaju, B2) poza punktami nieciągłości B1) spełnia warunek A1, B3) jest bezwzględnie całkowalny to wykładniczy szereg Fouriera jest zbieżny (jednostajnie) do sygnału x(t) we wszystkich punktach jego ciągłości. warunek I „Teoria sygnałów”  Zdzisław Papir

Warunek zbieżności Dirichleta - II Sygnał bezwzględnie całkowalny wg. G. M. Fichtenholz „Rachunek różniczkowy i całkowy”, tom II, str. 507 „Teoria sygnałów”  Zdzisław Papir

Warunek zbieżności Dirichleta - II „Teoria sygnałów”  Zdzisław Papir

Peter Gustav Lejeune Dirichlet Matematyk niemiecki, I poł. XIX wieku Najważniejsze osiągnięcia: teoria liczb - funkcje dzeta teoria mnogości - zasada szufladkowa teoria szeregów - zasada zbieżności „Teoria sygnałów”  Zdzisław Papir

Peter Gustav Lejeune Dirichlet Funkcje dzeta Riemanna: (przypadek funkcji Dirichleta) Tożsamość Eulera: „Teoria sygnałów”  Zdzisław Papir

Peter Gustav Lejeune Dirichlet Hipoteza Riemanna: (nieudowodniona do dzisiaj) Wszystkie miejsca zerowe (a jest ich nieskończenie wiele) funkcji dzeta Riemanna mają postać: Dowód hipotezy Riemanna zmieniłby oblicze teorii liczb; obliczenia numeryczne wskazują, że przeszło 1,5 x 109 liczb spełnia hipotezę Riemanna. „Teoria sygnałów”  Zdzisław Papir

Peter Gustav Lejeune Dirichlet Twierdzenie o liczbach pierwszych: (korzysta z funkcji dzeta Dirichleta) Błąd oszacowania: x = 1010 4,5% x = 1014 3,0% x = 1018 2,5% „Teoria sygnałów”  Zdzisław Papir

Peter Gustav Lejeune Dirichlet Zasada pudełkowa Dirichleta: Jeżeli N przedmiotów umieścimy w K < N pudełkach, to w którymś z pudełek znajdą się co najmniej 2 przedmioty. N = 4 K = 3 Zastosowanie: W Krakowie mieszkają 2 osoby mające tę samą liczbę włosów na głowie (N  800.000) Największa liczba włosów na głowie - K = 500 000 „Teoria sygnałów”  Zdzisław Papir

Zbieżność średniokwadratowa szereg Fouriera aproksymacja szeregiem Fouriera Średniokwadratowy błąd aproksymacji „Teoria sygnałów”  Zdzisław Papir

Zbieżność średniokwadratowa Szereg Fouriera stanowi aproksymację średniokwadratową sygnału. Warunkiem jej istnienia jest skończona wartość całki: a więc skończona energia (moc) sygnału. „Teoria sygnałów”  Zdzisław Papir

Twierdzenie Parsevala Twierdzenie Parsevala pozwala wyznaczyć moc sygnału: w dziedzinie częstotliwości: „Teoria sygnałów”  Zdzisław Papir

Moc ułamkowa 1 t T = 1 |Xk| Moc ułamkowa kfo 0.2 T = 1 t 1 0.15 |Xk| 0.1 Moc ułamkowa 0.05 5 10 15 20 25 30 35 kfo „Teoria sygnałów”  Zdzisław Papir

Moc ułamkowa 1 t T = 1 P(kfo) [%] Sygnał piłokształtny kf0 5 10 15 20 25 30 35 75 80 85 90 95 100 kf0 P(kfo) [%] Sygnał piłokształtny T = 1 t 1 „Teoria sygnałów”  Zdzisław Papir

Moc ułamkowa (sygnał piłokształtny - 90%) 0.5 1 1.5 0.2 0.4 0.6 0.8 Aproksymacja sygnału piłokształtnego 2 harmoniczne 90% mocy sygnału T = 1 t 1 „Teoria sygnałów”  Zdzisław Papir

Moc ułamkowa (sygnał piłokształtny - 95%) 0.5 1 1.5 0.2 0.4 0.6 0.8 Aproksymacja sygnału piłokształtnego 4 harmoniczne 95% mocy sygnału T = 1 t 1 „Teoria sygnałów”  Zdzisław Papir

Moc ułamkowa (sygnał piłokształtny - 99%) 0.5 1 1.5 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1.2 Aproksymacja sygnału piłokształtnego 16 harmonicznych 99% mocy sygnału T = 1 t 1 „Teoria sygnałów”  Zdzisław Papir

Efekt Gibbsa -0.5 0.5 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 efekt Gibbsa 0.5 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 efekt Gibbsa Impuls prostokątny 11 harmonicznych „Teoria sygnałów”  Zdzisław Papir

Efekt Gibbsa -0.5 0.5 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 efekt Gibbsa 0.5 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 efekt Gibbsa Impuls prostokątny 39 harmonicznych „Teoria sygnałów”  Zdzisław Papir

Efekt Gibbsa -0.5 0.5 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 efekt Gibbsa 0.5 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 efekt Gibbsa Impuls prostokątny 79 harmonicznych „Teoria sygnałów”  Zdzisław Papir

Efekt Gibbsa Efekt Gibbsa występuje w punktach nieciągłości sygnału, a objawia się jako nadmierne oscylacje aproksymacji skończonym szeregiem Fouriera; poziom oscylacji jest niezależny od długości aproksymacji. „Teoria sygnałów”  Zdzisław Papir

Okna Fejera, Lanczosa... Funkcja okna (ang. window) jest dobierana w celu minimalizacji efektu Gibbsa. W klasycznej aproksymacji jest stosowane okno prostokątne o wagach „Teoria sygnałów”  Zdzisław Papir

Okna Fejera, Lanczosa... Okno prostokątne Okno Fejera Okno Lanczosa Okno von Hanna, Hamminga, Kaisera... „Teoria sygnałów”  Zdzisław Papir

Okna Fejera, Lanczosa... -15 -10 -5 5 10 15 0.2 0.4 0.6 0.8 1 5 10 15 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Okna aproksymacji szeregiem Fouriera numery wyrazów szeregu Fouriera n waga wn okno prostokątne okno Fejera okno Lanczosa okno von Hanna podwójna szerokość okna 2*k + 1 „Teoria sygnałów”  Zdzisław Papir

Okna Fejera, Lanczosa... Impuls prostokątny 7 harmonicznych -0.5 0.5 0.5 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 okno prostokatne impuls prostokątny okno Fejera okno Lanczosa Impuls prostokątny 11 harmonicznych Impuls prostokątny 7 harmonicznych „Teoria sygnałów”  Zdzisław Papir

Okna Fejera, Lanczosa... -0.5 0.5 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 okno prostokatne impuls prostokątny okno Fejera okno Lanczosa Impuls prostokątny 15 harmonicznych „Teoria sygnałów”  Zdzisław Papir

Okna, efekt Gibbsa, błąd aproksymacji... Okna Fejera, Lanczosa pozwalają w dużym stopniu zmniejszyć efekt Gibbsa (oscylacje w pobliżu punktu nieciągłości sygnału), ale kosztem wzrostu błędu średniokwadratowego. Pamiętajmy, że przecież szereg Fouriera (z oknem prostokątnym) stanowi najlepszą aproksymację sygnału, zapewniającą minimum błędu średniokwadratowego. „Teoria sygnałów”  Zdzisław Papir

Podsumowanie Warunki Dirichleta zapewniają zbieżność szeregu Fouriera do wartości sygnału; w punktach nieciągłości szereg Fouriera generuje „średnią arytmetyczną” nieciągłości. Praktycznym warunkiem zbieżności jest skończona wartość mocy sygnału (zbieżność średniokwadratowa). Ze zbieżności średniokwadratowej wynika twierdzenie Parsevala pozwalające wyznaczyć moc sygnału poprzez moc poszczególnych składowych harmonicznych. Moc ułamkowa (konsekwencja tw. Parsevala) pozwala szacować w praktyce użyteczną szerokość pasma sygnału. W pobliżu punktów nieciągłości aproksymacja szeregiem Fouriera wykazuje nadmierne i utrzymujące się fluktuacje (efekt Gibbsa). Okna Fejera, Lanczosa i inne pozwalają redukować efekt Gibbsa, ale kosztem dokładności aproksymacji. „Teoria sygnałów”  Zdzisław Papir