Modelowanie i symulacja

Prezentacja na temat: "Modelowanie i symulacja"— Zapis prezentacji:

1 Modelowanie i symulacja
WYKŁAD 5,6

2 Ogólna postać układu równań różniczkowych

3 Formułowania ODE - przykład

4 Formułowania ODE - przykład
II zasada dynamiki Newtona: F=ma

5 Formułowania ODE - przykład
Zasada Galileusza: składowe ruchu w ortogonalnych kierunkach x,y można rozpatrywać niezależnie

6 Formułowania ODE - przykład
Chcemy znać trajektorię, a więc współrzędne x, y w poszczególnych chwilach czasu t Przejście do zrealizowania: siły  przyspieszenia  prędkości  położenia Z definicji:

7 Formułowania ODE - przykład
Z definicji Potrzebne jest podwójne całkowanie

8 Formułowania ODE - przykład
W kierunku x:

9 Formułowania ODE - przykład

10 Formułowania ODE - przykład

11 Formułowania ODE - przykład

12 Formułowania ODE - przykład
Bardziej realistyczne zjawisko: zamiast rzutu ukośnego – wystrzał rakiety oprócz siły ciążenia – działa siła ciągu silnika działa także siła oporu powietrza masa rakiety zmienia się w czasie lotu

13 Formułowania ODE - przykład
Sposób postępowania jest analogiczny, jednak całkowanie symboliczne, w zależności od zależności siły ciągu i masy od czasu może być skomplikowane

14 Całkowanie numeryczne - schemat Eulera
Leonhard Euler ( )

15 Redukcja równania wyższego rzędu do niższego rzędu
Pierwotne równanie: Podstawienie: Powstaje układ równań:

16 Schemat Eulera Równanie różniczkowe w postaci normalnej:
Rozwinięcie Taylora:

17 Schemat Eulera Jeżeli znana jest wartość szukanej trajektorii y(t0) w pewnym momencie czasu t0, to można w przybliżeniu obliczyć wartość trajektorii dla niedalekiej chwili czasu t0+h Potrzebna jest do tego znajomość pochodnej trajektorii w chwili t0, czyli wartość funkcji f(y(t0),t0) Ta informacja dana jest przez równanie różniczkowe

18 Schemat Eulera Trzeba zacząć od pewnego znanego punktu np. y(0)
Przedział, w którym ma być wyznaczona trajektoria, to np. [0,tk] Przedział ten jest dzielony równomiernie na ciąg podprzedziałów o długości h (krok całkowania)

19 Schemat Eulera Zaczynając od znanej wartości y(0) powtarza się iteracyjnie przepis: dochodząc wreszcie do punktu końcowego tk Zapis oznacza przybliżoną wartość y(ti)

20 Schemat Eulera Cały proces nazywany jest całkowaniem numerycznym
Rozwiązanie równania różniczkowego polega na jego scałkowaniu

21 Schemat Eulera

22 Schemat Eulera Przybliżenie: jest tym lepsze, im mniejsze jest h

23 Schemat Eulera

24 Schemat Eulera

25 Schemat Eulera Pole kierunkowe – ilustracja informacji podanej przez równanie różniczkowe Prezentacja DField i PPlane

26 Błędy schematu Eulera

27 Błąd lokalny (obcięcia)
Wynika z obciętego rozkładu Taylora

28 Błąd lokalny (obcięcia)
Wynika z aproksymacji liniowej, czy też różnicowego oszacowania pochodnej: Błąd lokalny jest rzędu Dwukrotne zmniejszenie kroku zmniejsza błąd o 75%

29 Błąd globalny Nie jest po prostu sumą błędów lokalnych
Błędem jest obarczona także informacja o pochodnej, ponieważ jest wyznaczana na podstawie przybliżonego rozwiązania cząstkowego Dla schematu Eulera globalny błąd jest rzędu O(h)

30 Zagrożenie rozbieżności

31 Zagadnienie zbieżności
Czy jeśli h dąży do zera, to błąd dąży do zera? A jeśli błąd dąży do zera, to jaka szybka jest zbieżność, tzn. na ile mały musi być krok, żeby osiągnąć pożądany poziom błędu?

32 Modyfikacja schematu Eulera
Zamiast: Stosujemy: Czyli pochodna jest brana z końca przedziału całkowania

33 Modyfikacja schematu Eulera

34 Modyfikacja schematu Eulera
Te same oszacowania błędów Jednak odwrócony schemat Eulera jest zwykle bardziej stabilny i dokładniejszy Odwrócony schemat Eulera nie jest metodą bezpośrednią – wyznaczana wartość występuje po obu stronach przepisu

35 Poprawa schematu Eulera
Prosty schemat Eulera – „reprezentantem” pierwszej pochodnej w całym przedziale jest wartość z początku przedziału Odwrócony schemat Eulera – „reprezentantem” pierwszej pochodnej w całym przedziale jest wartość z końca przedziału Twierdzenie o wartości pośredniej:

36 Poprawa schematu Eulera
Twierdzenie o wartości pośredniej Równość jest dokładna! Trzeba tylko wiedzieć, jaka jest wartość p Wartość pochodnej wyznaczona w odpowiednim punkcie przedziału umożliwiłaby osiągnięcie zerowego błędu

37 Poprawa schematu Eulera

38

39 Schemat Heuna Błąd lokalny – proporcjonalny do h3
Błąd globalny – do h2

40 Metoda konstruowania schematów wyższych rzędów
Różnicowe przybliżenie drugiej pochodnej Rozwinięcie Taylora drugiego rzędu:

41 Martin Wilhelm Kutta (1867 – 1944)
Runge-Kutta Martin Wilhelm Kutta (1867 – 1944) Carl David Runge (1856 – 1927)

42 Metoda Runge-Kutta 4-tego rzędu