Funkcja  Riemanna Dariusz Pasternak

Prezentacja na temat: "Funkcja  Riemanna Dariusz Pasternak"— Zapis prezentacji:

1 Funkcja  Riemanna Dariusz Pasternak
Wydział Fizyk i Informatyki Stosowanej Funkcja  Riemanna Dariusz Pasternak

2 Plan Prezentacji Opis funkcji (s) Zbieżność szeregu
Przedłużenie analityczne funkcji (s) Równość Eulera – dowód Zależność pomiędzy (s) a (s) Powiązanie funkcji (s) z Funkcją  (x) Funkcja Li(x) Liczby Pierwsze a analiza zespolona

3 Opis funkcji (s) Funkcja dzeta Riemana określona jest wzorem:
Dla re s > 1

4 Zbieżność szeregu re s > 1 Dla mamy A stąd wynika, że szereg ten jest zbieżny jednostajnie w każdym podzbiorze zwartym tej płaszczyzny i funkcja  jest holomorficzna.

5 Przedłużenie analityczne
O funkcji (s) Riemanna dowodzi się że: Jest ona przedłużalna analitycznie na całej płaszczyźnie otwartej bez punktu s=1 i w punkcie s=1 ma biegun o części głównej 1/(z-1). W półpłaszczyźnie re s > 1 funkcja (s) jest różna od zera, w półpłaszczyźnie re s < 0 ma zera jednokrotne a w pasie [0;1] ma nieskończenie wiele zer.

6 Przedłużenie analityczne
Rozszerzenie funkcji dzeta definiujemy jako:

7 Iloczyn Eulera Prawdziwa jest następująca tożsamość, gdzie w iloczynie występują wszystkie liczby piewsze:

8 Dowód Załóżmy że przemnożymy funkcję (s) w następujący sposób: następnie

9 Dowód Podobnie raz jeszcze Bardziej ogólnie

10 Dowód W związku z tym że rozkład przybiera taką formę możemy kontynuować procedurę ostatecznie otrzymując wzór na Iloczyn Eulera:

11 Zależność pomiędzy (s) a (s)
re s > 0 podstawiamy x=nt korzystając z identyczności

12 Zależność pomiędzy (s) a (s)
Otrzymujemy dla re s > 1, k dodatnich

13 Zależność pomiędzy (s) a (s)
Ponieważ obie części są zbieżne wykaże że drugi człon dąży do 0 gdy k dąży do nieskończoności przyjmijmy  > 0, oraz takie  że:

14 Zależność pomiędzy (s) a (s)
następnie dobieramy takie duże k aby: w rezultacie otrzymujemy:

15 Powiązanie funkcji (s) z Funkcją  (x)

16 Powiązanie funkcji (s) z Funkcją  (x)

17 Funkcja Li(x) (logarytm całkowy)
Funkcja Li(x) okazała się niezwykle przydatna przy szacowaniu liczby liczb pierwszych. Jest dokładniejsza niż zaproponowanie przez Gausa zależność:

18 Wykresy funkcji

19 Wykresy funkcji

20 Wykresy funkcji

21 Liczby Pierwsze a analiza zespolona
Twierdzenie o liczbach pierwszych Tw.

22 Literatura F.Leja „Funkcje Zespolone”
S.Ponnusamy, Herb Silverman „Complex Variables with Aplications” Funkcja Dzeta Riemana, Praca Riemana z 1859r.

23 Dziękuję Dariusz Pasternak