– czyli sztuka odwracania kota ogonem Sofizmaty – czyli sztuka odwracania kota ogonem Uczniowie klas II Publicznego Gimnazjum w Goszczynie Opiekun: Agnieszka Popkowicz

Cel ogólny: zastosowanie matematyki w praktyce Cele szczegółowe : Wyszukanie informacji co to jest sofizmat i jaka jest jego historia, Tworzenie sofizmatów arytmetycznych, Tworzenie sofizmatów algebraicznych, Tworzenie sofizmatów geometrycznych, Zastosowanie sofizmatów w matematyce, Przy pomocy programu PowerPoint tworzenie prezentacji, zawierającej wiadomości na temat wykonanej pracy.

Opis projektu Projekt miał za zadanie pokazać uczniom jak wiele zastosowań ma matematyka i że nie zawsze stosowanie działań matematycznych dowodzi prawdę. Uczniowie mieli za zadanie wykazać, że sofizmat to zwodniczy „dowód” matematyczny, pozornie poprawny, lecz faktycznie błędny, zawierający wprowadzony rozmyślnie błąd logiczny, na pierwszy rzut oka trudny do wykrycia, oraz praktyczne zastosowanie tej wiedzy w życiu codziennym. W czasie jego realizacji uczniowie powtórzyli wiadomości realizowane podczas lekcji matematyki oraz poszerzyli ich zakres poprzez wykorzystanie fachowej literatury i Internetu. W swej pracy nad projektem wykorzystywali współczesne narzędzia (komputer i Internet), zarówno do wyszukiwania informacji, wykonywania konstrukcji, jak również do zaprezentowania końcowych efektów swojej pracy.

Narzędzia lub programy komputerowe i internetowe wykorzystane w projekcie Microsoft Word – opracowanie materiałów na gazetki, materiałów związanych z promocją i dokumentacją projektu Microsoft Publisher – opracowanie dyplomu uczestnictwa w projekcie Microsoft PowerPoint – wykonanie prezentacji multimedialnych Google – wyszukiwanie informacji w Internecie dotyczących realizowanych zadań Poczta elektroniczna – szybka komunikacja między uczestnikami projektu, przesyłanie plików Aparat cyfrowy – dokumentowanie realizacji projektu za pomocą zdjęć Projektor multimedialny – wykorzystany podczas podsumowania projektu

Organizacja pracy zespołów zadaniowych W projekcie wzięli udział uczniowie klasy II a i IIb, którzy pracowali w czterech zespołach. Łącznie projekt realizowało 12 uczniów. Uczniowie sami między sobą dokonali podziału na grupy. Wszyscy uczyli się obsługi poznawanych programów komputerowych, a następnie w grupach opracowane zostały przydzielone zadania dotyczące głównych zagadnień projektu: Sofizmaty arytmetyczne, Sofizmaty algebraiczne Sofizmaty geometryczne, Zastosowanie sofizmatów w matematyce.

Rola nauczyciela Wraz z uczniami po raz pierwszy braliśmy udział w projekcie, zatem moja rola to: zachęcanie uczniów do podjęcia wyzwania – realizacji projektu matematycznego pomoc przy ustaleniu zadań jakie wykonamy, pomogłam przy wyborze zagadnień do realizacji zaproponowałam tematykę projektu, który dla uczniów był nowy, poprosiłam, aby wszyscy uczniowie mieli konta poczty elektronicznej, dbałam o dostępność pracowni komputerowej dla uczniów – indywidualnie, pomogłam przy selekcji pozyskanych informacji, pomoc przy rozwiązywaniu sporów wspierałam przy „zwątpieniu” we własne możliwości i umiejętności, przygotowanie podsumowania projektu prowadzenie ciągłego monitoringu realizacji projektu

Działania uczniów Uczniowie instalują na komputerach potrzebne programy i uczą się ich obsługi. Uczniowie wyszukują i selekcjonują różne informacje dotyczące sofizmatów. Uczniowie wybierają narzędzia komputerowe niezbędne przy pracy nad projektem. Uczniowie zbierają potrzebne materiały i na bieżąco opracowują je graficznie. Uczniowie na bieżąco prowadzą dokumentacje projekt w formie notatek oraz zdjęć cyfrowych. Uczniowie samodzielnie prowadzą prezentacje projektu.

Rezultaty pracy uczniów: historia pojęcia Autorem sofizmatów jest Euklides – grecki matematyk żyjący około 300 roku p.n.e. Napisał on dzieło Pseudoria, które nie doczekało naszych czasów. Pozostała po nim tylko tradycja., Sofistami w starożytnej Grecji nazywano „nauczycieli mądrości”, Zwracali baczną uwagę na rolę słów w procesie dyskusji i argumentacji, Sofistyka –świadome dowodzenie nieprawdziwej tezy.

Rezultaty pracy uczniów: SOFIZMAT - zwodniczy „dowód” matematyczny, pozornie poprawny, lecz faktycznie błędny, zawierający wprowadzony rozmyślnie błąd logiczny, na pierwszy rzut oka trudny do wykrycia, - wypowiedź lub sformułowanie, w którym świadomie został ukryty błąd rozumowania nadający pozory prawdy fałszywym twierdzeniom - wszelka próba dowiedzenia swoich racji, bez względu na wartość logiczną prezentowanej argumentacji

6=6 10-4=15-9 4-10=9-15 4-10+25/4=9-15+25/4 (2-5/2)²=(3-5/2)² Rezultaty pracy uczniów: sofizmaty arytmetyczne Czy to możliwe, że 1=2 i 2=3? Jeśli nie – znajdź błędy! 6=6 10-4=15-9 4-10=9-15 4-10+25/4=9-15+25/4 (2-5/2)²=(3-5/2)² 2-5/2=3-5/2 2=3 2=2 3-1=4-6 1-3=4-6 1-3+9/4=4-6+9/4 (1-3/2)²=(2-3/2)² 1-3/2=2-3/2 1=2 Wyjaśnienie: Błąd polega na obustronnym pierwiastkowaniu równania. Po tej czynności należy uwzględnić wartość pierwiastka kwadratowego z liczby dodatniej a

x=3 /-1 x-1=2 /·(x-5) x²-6x+5=2x-10 /-(x-7) x²-7x+12=x-3 Rezultaty pracy uczniów: sofizmaty algebraiczne Czy to możliwe, że jednocześnie x=3 i x=5? Czy każda liczba jest równa swej połowie? Jeśli nie znajdź błędy! x=3 /-1 x-1=2 /·(x-5) x²-6x+5=2x-10 /-(x-7) x²-7x+12=x-3 (x-3)(x-4)=x-3 /:(x-3) x-4=1 x=5

Rezultaty pracy uczniów: sofizmaty algebraiczne (a+b)(a-b)=a²-b² Jeśli a=b, to (a+a)(a-a)=a²-a² (a+a)(a-a)=a(a-a) /:(a-a) a+a=a 2a=a /:2 a=0,5a

Rezultaty pracy uczniów: sofizmaty algebraiczne Niech a>b i niech a=b+c. Równość tę mnożymy przez a-b: a(a-b)=(b+c)(a-b) Przekształcamy: a2-ab=ba-b2+ca-cb Przenosimy wyrazy: a2-ab-ac=ab-b2-bc Wyłączamy wspólny czynnik przed nawias: a(a-b-c)=b(a-b-c) Dzielimy przez (a-b-c) i otrzymujemy: a=b. Wniosek, że a=b, jest fałszywy, mimo iż pozornie wydaje się nam prawdziwy. Błąd powstał wskutek dzielenia równania przez wyrażenie, którego wartość wynosi 0 (a-b-c=0).

Rezultaty pracy uczniów: sofizmaty geometryczne Kwadrat o boku 8 rozcięto na trzy części tak jak na rysunku, a następnie ułożono z nich prostokąt o wymiarach 9x7. Czy to możliwe, że pola tych figur są różne? Jeśli nie – znajdź błędy? 64 63

Rezultaty pracy uczniów sofizmaty geometryczne Prostokąty o wymiarach13x11 rozcięto na cztery części tak jak na rysunku, a następnie ułożono z nich kwadrat o boku 12. Pozostały dwa trójkąty prostokątne równoramienne, które tworzą kwadrat o boku 1. Czy to możliwe, że pola tych figur są różne? Jeśli nie – znajdź błędy! 143 144

Rezultaty pracy uczniów przykłady w matematyce Problem Serbelonni W celi jest trzech więźniów: Piotr, Jakub i Marek; dwóch z nich ma być straconych a tylko jeden ocalony Piotr prosi strażnika, aby wyjawił, który z dwóch jego towarzyszy będzie stracony Strażnik zdradza, że Jakub Piotr uspokaja się nieco, gdyż szanse jego ocalenia wzrosły z 1/3 do ½ Czy Piotr rzeczywiście może czuć się spokojniejszy?

Rezultaty pracy uczniów: Mistrz i jego uczeń Masz rację? Profesor był niezwykle wspaniałomyślny wobec swego zdolnego, lecz biednego Ucznia i zaproponował mu taki oto układ: “Zapłacisz mi za naukę dopiero wówczas, gdy wygrasz swój pierwszy proces”. Po naukach u Profesora, Uczeń imał się różnych zajęć, zarabiał dobrze, ale nigdy nie brał udziału w żadnym procesie - w ten sposób chciał zakpić ze swego nauczyciela. Wreszcie Profesor uznał, że są to głupie żarty i zaskarżył go, myśląc przy tym: “Tak czy inaczej Uczeń wpadnie. Jeśli przegra proces, będzie musiał zastosować się do orzeczenia sędziów i zapłacić mi; jeśli zostanie uniewinniony, będzie i tak musiał zapłacić, wygra bowiem swój pierwszy proces”. Uczeń pokazał jednak, czego nauczył się u swego mistrza i odparł: “Nic mi nie grozi. Jeśli przegram proces, wówczas nie będę musiał zapłacić, ponieważ przegram swój pierwszy proces. Jeśli zostanę uniewinniony, wówczas zgodnie z orzeczeniem sędziów nie będę musiał płacić”.

Rezultaty pracy uczniów Po co sofizmaty? Po co tworzy się sofizmaty? Ukazanie częstych błędów popełnianych w rozwiązywaniu zadań. Dowiedzenie swoich racji ze względu na wszystko. Satysfakcja.

Szkolna prezentacja projektu Uczniowie zaprezentowali przybyłym gościom przebieg pracy nad projektem oraz jej efekty zgodnie z wcześniej przyjętym planem. 1. Prezentacja zebranych wiadomości wprowadzająca w tematykę projektu. 2. Prezentacje multimedialne w programie Power Point przygotowane przez poszczególne grupy zadaniowe. 4. Gazetka ścienna poświęcona zastosowania sofizmatów w życiu codziennym Najzabawniejsze dla uczniów w czasie prezentacji było podanie ostatecznego rozwiązania i znalezienie odpowiedzi czemu służy dany sofizmat. Sukcesem było przedstawienie prezentacji całej szkole.

Co projekt dał uczniom. Praca metodą projektu dała uczniom: - poszerzenie horyzontów wiedzy - nauczyli się nowych narzędzi komputerowych - utwierdzili się w przekonaniu, że potrafią pracować w grupie - ważna jest odpowiedzialność za podjęte zadania.

Co zyskałam realizując projekt. Praca metodą projektu mobilizowała mnie bardzo do podejmowania innych działań, niż te, które kierowały mną w poprzednich latach, warto próbować nowych rzeczy. Satysfakcję z pracy z uczniami.