Funkcje Autorzy: Piotr Romanowski Marcin Warszewski kl. III b Gimnazjum Nr 2 w Trzebini

Spis treści Co to jest funkcja? Dziedzina i zbiór wartości funkcji Sposoby opisu funkcji Przykłady funkcji liczbowych i nieliczbowych Przykłady funkcji liniowych i nieliniowych Odczytywanie własności funkcji z wykresu Funkcje na codzień

Co to jest funkcja? W codziennym życiu możemy zauważyć wiele funkcji. Każdy  banknot ma swój unikalny kod. Nie ma dwóch takich samych  kodów seryjnych. Więc można powiedzieć, że każdy banknot (x) ma przypisany tylko jeden kod seryjny (y).  X – zbiór banknotów, Y – zbiór kodów seryjnych Podsumowując: Funkcja jest to przyporządkowanie każdemu elementowi x zbioru X dokładnie jednego elementu y zbioru Y. Spis treści

Dziedzina i zbiór wartości Odwołując się do poprzedniego slajdu, zbiór banknotów (zbiór X) możemy nazwać dziedziną funkcji. Natomiast jeden banknot w tym zbiorze nazywa się argumentem funkcji x. Jak zapewne pamiętasz każdy banknot ma swój unikalny kod, nazywamy go wartością funkcji y. Zbiór kodów seryjnych (zbiór Y) nazywamy zbiorem wartości funkcji. Podsumowując: Zbiór X na którym określona jest funkcja, nazywamy dziedziną funkcji. Element x zbioru X nazywamy argumentem funkcji. Zbiór Y nazywamy zbiorem wartości funkcji. Element y zbioru Y nazywamy wartością funkcji. Spis treści

Sposoby opisywania funkcji Każdą funkcje można przedstawić na kilka sposobów, oto one: Opis słowny Wzór Tabelka Wykres Graf Spis treści

Opis słowny Często jadąc z rodzicami autem, zastanawiamy się ile km przejedziemy w określonym czasie. Możemy tę sytuację opisać słownie. Zastanawiamy się jaka jest zależność drogi (s) od czasu (t), gdy samochód jedzie ze stałą prędkością 60 km/h Spis sposobów Spis treści Dalej

Wzór Aby obliczyć ile przejdziemy km w danym czasie, możemy zastosować wzór. W tym przypadku będzie on następujący: s = 60 • t s – przebyta droga t – czas w jakim pokonaliśmy przebytą drogę Spis sposobów Spis treści Dalej

Tabela Za pomocą wzoru możemy obliczyć dane do tabeli. Spis sposobów Spis treści Dalej

Wykres Dane które zebraliśmy w tabeli możemy pokazać w sposób bardziej wizualny – wykres. Spis sposobów Spis treści Dalej

Graf Graf jest to następny wizualny sposób pokazania funkcji. Spis sposobów Spis treści

Funkcja liczbowa Z funkcjami można spotkać się także w świecie przyrody. Jedną z takich funkcji może być zależność wzrostu drzew (np. dębów), od ich wieku. Podsumowując: Jeśli mamy funkcje w której X i Y są zbiorami liczbowymi, to tę funkcje nazywamy funkcją liczbową. Spis treści Dalej

Funkcja nieliczbowa Czy wiesz że codziennie mamy styczność z funkcją ? A dokładniej z funkcją nieliczbową ? Przychodząc do szkoły nauczyciel czyta z dziennika listę obecności. Wtedy każdemu nazwisku i imieniu (x) jest przyporządkowany odpowiedni numer (y). Tak więc np. Jasiu Kowalski (x) ma numer w dzienniku 13 (y). Podsumowując: Jeśli mamy funkcje w której conajmniej jeden ze zbiorów X lub Y nie jest liczbowy, to tę funkcje nazywamy funkcją nieliczbową. Wstecz Spis treści

Funkcja liniowa b – wyznacza punkt przecięcia wykresu z osią y - (0,b) Dziedziną funkcji liniowej jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych. Ogólny wzór funkcji liniowej to y = ax + b, gdzie a,b są współczynnikami liczbowymi. Funkcja liniowa może być stała, rosnąca lub malejąca. a – mówi o tym czy funkcja jest rosnąca malejąca czy stała, ale także o kącie nachylenia wykresu funkcji do osi x b – wyznacza punkt przecięcia wykresu z osią y - (0,b) Spis treści Dalej

Funkcja liniowa y=ax+b jest stała, gdy: a = 0 Funkcja stała Funkcja jest stała gdy każdemu argumentowi jest przypisana ta sama wartość. Funkcja liniowa y=ax+b jest stała, gdy: a = 0 Spis treści Dalej

Funkcja liniowa y=ax+b jest rosnąca, gdy: a > 0 Funkcja rosnąca Funkcja jest rosnąca, gdy dla coraz większych argumentów funkcja przyjmuje coraz większe wartości Funkcja liniowa y=ax+b jest rosnąca, gdy: a > 0 Wstecz Spis treści Dalej

Funkcja liniowa y=ax+b jest malejąca, gdy: a < 0 Funkcja malejąca Funkcja jest malejąca, gdy dla coraz większych argumentów funkcja przyjmuje coraz mniejsze wartości Funkcja liniowa y=ax+b jest malejąca, gdy: a < 0 Wstecz Spis treści Dalej

Funkcja kwadratowa Wykres funkcji kwadratowej nazywamy parabolą. Dziedziną funkcji kwadratowej jest zbiór liczb rzeczywistych. Wstecz Spis treści Dalej

Jeszcze inna funkcja nieliniowa Wykres funkcji y=a/x+b, gdzie x≠0 nazywamy hiperbolą. Wstecz Spis treści

Miejsce zerowe Każdy argument dla którego funkcja przyjmuje wartość 0, nazywamy miejscem zerowym tej funkcji. Spis treści Dalej

Odczytywanie argumentów z wykresu Patrząc na wykres chcemy sprawdzić dla jakiego argumentu funkcja przyjmuje wartość 4 (y = 4). Wstecz Spis treści Dalej

Odczytywanie wartości z wykresu Patrząc na wykres chcemy sprawdzić dla jakiej wartości funkcja przyjmuje argument 2 (x = 2). Wstecz Spis treści

Funkcje na codzień Funkcje mogą przydać się między innym do prostych zadań matematycznych np. określenia zależności kwoty jaką zapłacimy za taksówkę od ilości przejechanych kilometrów. Powiedzmy, że za sam przyjazd taksówki musimy zapłacić 5 zł, natomiast za każdy przejechany kilometr 3 zł, więc wzór tej funkcji będzie następujący: y = 5 + 3x. y – poniesiony koszt x – liczba przejechanych kilometrów Spis treści