Wojtek Ciszewski, Paweł Szczypkowski 0 ∞ 𝜙 𝑎𝑥 −𝜙(𝑏𝑥) 𝑥 = ln 𝑏 𝑎 (𝜙 0 − lim 𝑥→∞ 𝜙(𝑥) ) Wzory Frullani’ego Wojtek Ciszewski, Paweł Szczypkowski
Chciałoby się to tak rozpisać... Kontynuacja na następnym slajdzie Policzmy całkę: 0 ∞ 𝑒 −𝑎𝑥 − 𝑒 −𝑏𝑥 𝑥 𝑑𝑥 : 𝑒 −𝑎𝑥 𝑥 𝑑𝑥− 𝑒 −𝑏𝑥 𝑥 𝑑𝑥= 𝑒 −𝑎𝑥 𝑎𝑥 𝑎𝑑𝑥− 𝑒 −𝑏𝑥 𝑏𝑥 𝑏𝑑𝑥 Chciałoby się to tak rozpisać... Kontynuacja na następnym slajdzie 𝑎𝑥=𝑡 𝑑𝑡=𝑎𝑑𝑥 𝛼= b 𝑎 0 ∞ 𝑒 −𝑎𝑥 − 𝑒 − 𝑏 𝑎 𝑎𝑥 𝑎𝑥 𝑎 𝑑𝑥 ≫ 𝐼(𝛼)= 0 ∞ 𝑒 −𝑡 − 𝑒 −𝛼𝑡 𝑡 𝑑𝑡 Zróżniczkujmy 𝐼 po 𝛼 𝑑𝐼 𝑑𝛼 = 0 ∞ 𝑑 𝑑𝛼 ( 𝑒 −𝑡 − 𝑒 −𝛼𝑡 𝑡 ) 𝑑𝑡= 0 ∞ 𝑒 −𝛼𝑡 𝑡 𝑡 𝑑t=− 1 𝛼 𝑒 −∞ − 𝑒 0 𝐼 𝛼 = 𝑒 0 − 𝑒 −∞ 1 𝛼 𝑑𝛼 = ln 𝛼 𝑒 0 − 𝑒 −∞ +𝐶 𝐼 1 =0 →𝐶=0
Druga droga 0 ∞ 𝜙(𝑎𝑥) 𝑎𝑥 𝑎𝑑𝑥 − 0 ∞ 𝜙 𝑏𝑥 𝑏𝑥 𝑏𝑑𝑥 = 𝛿 Δ 𝜙(𝑎𝑥) 𝑎𝑥 𝑎𝑑𝑥− 𝛿 Δ 𝜙(𝑏𝑥) 𝑏𝑥 𝑏𝑑𝑥= 𝑎𝑥=𝑡 𝑏𝑥=𝑧 = 𝑎𝛿,𝑎Δ = 𝑎𝛿 aΔ 𝜙(𝑡) 𝑡 𝑑𝑡− 𝑏𝛿 bΔ 𝜙(𝑧) 𝑧 𝑑𝑧=− 𝑏𝛿 a𝛿 𝜙(𝑡) 𝑡 𝑑𝑡+ 𝑏Δ aΔ 𝜙(𝑧) 𝑧 𝑑𝑧= 𝑏𝛿 𝑎𝛿 𝑏Δ 𝑎Δ Odjęty nadmiar To, co zostało lim 𝛿→0 lim Δ→∞ a𝛿 𝑏𝛿 𝜙(𝑡) 𝑡 𝑑𝑡− 𝑎Δ bΔ 𝜙(𝑧) 𝑧 𝑑𝑧=𝜙(𝜏) 𝑎𝛿 b𝛿 1 𝑡 𝑑𝑡−𝜙(𝜁) 𝑎Δ bΔ 1 𝑧 𝑑𝑧= =𝜙(𝜏)( ln 𝑏𝛿− ln 𝑎𝛿 )−𝜙(𝜁)( ln 𝑏Δ− ln 𝑎Δ)= ln 𝑏 𝑎 (𝜙 𝜏 −𝜙 𝜁 ) Przy zbieganiu 𝛿→0 i Δ→∞, 𝜏→0, 𝜁→∞
Przypadki szczególne Gdy funkcja 𝜙∈∁ 0, ∞ i 1 ∞ 𝜙 𝑥 𝑥 𝑑𝑥 jest zbieżna: 0 ∞ 𝜙 𝑎𝑥 −𝜙(𝑏𝑥) 𝑥 = 𝜙(0)ln 𝑏 𝑎 Gdy funkcja 𝜙∈∁ 0, ∞ i 0 1 𝜙 𝑥 𝑥 𝑑𝑥 jest zbieżna: 0 ∞ 𝜙 𝑎𝑥 −𝜙(𝑏𝑥) 𝑥 = −𝜙(∞)ln 𝑏 𝑎