Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa. Czy są prostokątne? Opracowanie: Beata Szabat

Twierdzenie Pitagorasa. Przypomnienie: Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.

Części twierdzenia: Zwróć uwagę, że zdanie to wyraźnie składa się z dwóch części: „Jeżeli trójkąt jest prostokątny” (oznacza to, że wszystko co dalej będzie podane dotyczy tylko i wyłącznie trójkątów mających kąt prosty); „to suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej” ( ta część opisuje własność jaka zachodzi dla ściśle określonych w pierwszej części zdania trójkątów)

Założenie i teza. Jeżeli…(założenie), to…(teza). Część pierwsza- od „Jeżeli…” do przecinka nazywana jest założeniem. Część druga – od „to…” do kropki nazywana jest tezą. Jeżeli…(założenie), to…(teza).

Boki w trójkącie prostokątnym. Przeciwprostokątna – zawsze najdłuższy bok Przyprostokątne- zawsze krótsze boki

Twierdzenie Pitagorasa. Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości dwóch krótszych jego boków jest równa kwadratowi długości jego najdłuższego boku.

twierdzeniem odwrotnym do twierdzenia Pitagorasa. A teraz zamiana: Jeżeli trójkąt jest prostokątny to suma kwadratów długości dwóch krótszych boków jest równa kwadratowi długości najdłuższego boku Założenie i teza twierdzenia Pitagorasa „zamieniły się miejscami”- tak powstałe twierdzenie nazywamy twierdzeniem odwrotnym do twierdzenia Pitagorasa.

Jeżeli suma kwadratów dwóch krótszych boków trójkąta jest równa kwadratowi najdłuższego boku, to taki trójkąt jest prostokątny. A jeżeli ta równość nie zachodzi ? To o jakim trójkącie wtedy mówimy? Okazuje się, że słuszne jest bardziej ogólne twierdzenie odwrotne do tw. Pitagorasa.

A to ciekawe… Jeżeli a, b, c są długościami boków trójkąta oraz i , to trójkąt ten jest: prostokątny, gdy rozwartokątny, gdy ostrokątny, gdy

A to ciekawe… Jeżeli n i k są liczbami naturalnymi i n>k, to liczby: a = n2 – k2 b = 2nk c = n2 + k2 spełniają zależność c2 = a2 + b2. Zależność pozwala znaleźć trójki pitagorejskie.

Sprawdź. Niech n=5, k=2 a= 52 – 22 = 25 – 4 = 21 b = 2·5·2 = 20 c = 52 + 22 = 25 + 4 = 29 Czy odcinki 20cm, 21cm, 29cm mogą być bokami trójkąta prostokątnego? 202= 400 212= 441 841 202+212=292 292= 841 Zachodzi równość, więc odcinki mogą być bokami trójkąta prostokątnego

Przykład 1. Czy kąt α ma miarę 60º? α 3 30o Kąt α będzie miał 60º jeżeli trójkąt będzie prostokątny. Trójkąt jest prostokątny, więc kąt ma 60º.

Przykład 2. Czy równoległobok o bokach 9 i 6 oraz przekątnej długości 12 jest prostokątem? Równoległobok będzie prostokątem jeżeli trójkąt o bokach 6,9 12 jest prostokątny. 9 6 12 Trójkąt o bokach 6,9,12 nie jest prostokątny, więc równoległobok nie jest prostokątem.

Nie zapomnij o zadaniach!!