Metody Badań Operacyjnych Michał Suchanek Katedra Ekonomiki i Funkcjonowania Przedsiębiorstw Transportowych

Badania operacyjne to nauka, która czerpie ze zbioru metod matematycznych, takich jak: Programowanie matematyczne Algorytmy sieciowe Teoria grafów Teoria kolejek (masowej obsługi) Łańcuchy Markowa Metody gradientowe

Programowanie matematyczne Modele programowania matematycznego służą optymalizacji (maksymalizacji albo minimalizacji) wielkości określonych zmiennych opisanych funkcją celu przy założonych warunkach ograniczających: F(x) -> max albo F(x) -> min Przy czym G(x)≤a albo G(x)≥b

Programowanie liniowe  

Przykładowy problem Pewien zakład stolarski produkuje dwa rodzaje desek: deski dębowe oraz deski bukowe. W toku produkcji drewno przygotowywane jest na dwóch obrabiarkach: O1 i O2. Aby uzyskać jeden pakiet desek dębowych należy obrabiać je przez 2 godziny na maszynie O1 oraz przez 4 godziny na maszynie O2. Aby uzyskać jeden pakiet desek bukowych należy obrabiać je przez 3 godziny na maszynie O1 oraz przez 2 godziny na maszynie O2. Dzienne limity pracy maszyn O1 i O2 wynoszą, odpowiednio: 12 oraz 16 godzin. Jaką ilość pakietów poszczególnych desek należy produkować, przy założeniu, że zyski z ich produkcji są równe i wynoszą 6 jednostek pieniężnych.

Warunki ograniczające Ujęcie tabelaryczne Deski bukowe Deski dębowe Warunki ograniczające Obrabiarka 1 2 3 12 Obrabiarka 2 4 16 Zyski jednostkowe 6

Warunki ograniczające: Równania problemu Funkcja celu: 61x1+62x2 -> max Warunki ograniczające: 2x1+3x2 ≤ 12 4x1+2x2 ≤ 16 Warunek brzegowy: x1,x2 ≥ 0

Rozwiązanie graficzne X2 8 4X1+2X2=16 6X1+6X2=30 6X1+6X2=18 4 3 2 2X1+3X2=12 X1 3 4 6

Programowanie dynamiczne Metody programowania dynamicznego zajmują się analizą sytuacji decyzyjnych, w których główną rolę odgrywa czynnik czasu Każda decyzja podjęta w określonym momencie, wpływa na możliwości decyzyjne w kolejnych momentach

Problem wyboru sekretarki Dyrektor zakładu stolarskiego pragnie zatrudnić sekretarkę i w tym celu poprosił agencję pracy o przysłanie trzech kandydatek Dyrektor wie, że kandydatka może być „doskonała”, „dobra” lub „przeciętna” i przypisuje im odpowiednio oceny 3, 2 i 1

Z doświadczenia wiadomo, że prawdopodobieństwo pojawienia się „doskonałej” kandydatki wynosi 0,2; „dobrej” 0,5; „przeciętnej” 0,3 Jeśli dyrektor nie zdecyduje się na zatrudnienie sekretarki tuż po rozmowie, to podejmie ona inną pracę Jeśli pierwsza kandydatka okaże się „doskonała”, dyrektor ją zatrudni Jeśli okaże się „przeciętna”, dyrektor nic nie straci przechodząc do następnej rozmowy

Jaką podjąć decyzję, gdy pierwsza kandydatka będzie „dobra”? Drzewo celów: stop 3 stop 3 3 stop I – 0,2 I – 0,2 I – 0,2 stop 1 kontyn. kontyn. II – 0,3 2 II – 0,3 3 II – 0,3 1 kontyn. kontyn. III – 0,5 III – 0,5 III – 0,5 stop stop stop 2 2 2 I – sekretarka doskonała; II – sekretarka przeciętna; III – sekretarka dobra

Jeśli dyrektor nie zatrudni żadnej z pierwszych dwóch sekretarek, to wartość oczekiwana dla trzeciej sekretarki wynosi: 0,2*3+0,3*1+0,5*2=1,9 stop 3 stop 3 3 stop I – 0,2 I – 0,2 I – 0,2 stop 1 kontyn. II – 0,3 2 II – 0,3 kontyn. 1,9 3 II – 0,3 1 kontyn. kontyn. III – 0,5 III – 0,5 III – 0,5 stop stop stop 2 2 2 Zatem, gdy druga kandydatka jest dobra, należy ją zatrudnić, bo 2>1,9

Jeśli dyrektor nie zatrudni pierwszej sekretarki, to wartość oczekiwana rozmowy z drugą sekretarką wynosi 3*0,2+2*0,5+1,9*0,3=2,17 stop 3 stop 3 3 stop I – 0,2 I – 0,2 I – 0,2 stop 1 kontyn. 2,17 II – 0,3 2 II – 0,3 kontyn. 1,9 3 II – 0,3 1 kontyn. kontyn. III – 0,5 III – 0,5 III – 0,5 stop stop stop 2 2 2 Zatem, gdy pierwsza kandydatka jest dobra, nie należy jej zatrudniać, gdyż 2,17>2

Wartość oczekiwana całego ciągu trzech rozmów wynosi 3. 0,2+2,17 stop 3 stop 3 3 stop I – 0,2 I – 0,2 I – 0,2 stop 2,336 1 kontyn. II – 0,3 2 2,17 II – 0,3 kontyn. 1,9 3 II – 0,3 1 kontyn. kontyn. III – 0,5 III – 0,5 III – 0,5 stop stop stop 2 2 2

Werdykt Kandydatkę doskonałą należy zatrudniać zawsze; Kandydatkę przeciętną, tylko gdy przybędzie jako ostatnia; Kandydatkę dobrą, gdy przybędzie jako druga, bądź jako trzecia; Korzyść z przeprowadzenia rozmowy z trzema kandydatkami, a nie z jedną wynosi 2,336-1,9=0,436; Tego typu procedura rozumowania nazywa się indukcją odwrotną.

Królewiec

Grafy Graf jest to zbiór punktów (wierzchołków) połączonych krawędziami (łukami).

Grafy zorientowane Grafy, w których łuki pomiędzy wierzchołkami są skierowane, a ich kolejność określona nazywa się grafami zorientowanymi.

Grafy ważone Graf ważony to taki, w którym każdej krawędzi przypisana jest określona wartość, która oznaczać może na przykład odległość.

Pętla Pętla jest to krawędź mająca swój początek i koniec w tym samym wierzchołku.

Trasa Trasą w grafie nazywa się ciąg krawędzi AB, BC,… prowadzący od wierzchołka początkowego do wierzchołka końcowego w którym każde dwie kolejne krawędzie są sąsiednie lub identyczne. Przykładowa trasa: AC, CE, EE, ED, DC, CB. W tym wypadku wierzchołkiem początkowym jest A, a wierzchołkiem końcowym B.

Droga Jeśli wszystkie krawędzie i wierzchołki do niej należące są różne, trasę nazywa się drogą. Trasa, w której wszystkie krawędzie są różne, a wierzchołek początkowy jest równy wierzchołkowi końcowemu nazywa się cyklem. Przykładowa droga: AC, CB, BD, DE; Przykładowy cykl: AC, CE, ED, DA

Sieci Grafy zorientowane, w których nie występują pętle ani cykle nazywa się sieciami.

Sieć zależności Jest to sieciowy model przedsięwzięcia wraz ze wszystkimi składającymi się na niego czynnościami. Ma ona jeden wierzchołek początkowy i jeden wierzchołek końcowy. Krawędzie sieci reprezentują czynności, zaś wierzchołki zdarzenia.

Sieci czynności Krawędzie opisuje się wartościami liczbowymi określającymi czas trwania poszczególnych czynności. Wierzchołki przypisane mają numery porządkowe. Analiza takich sieci polega na określeniu czynności krytycznych i wyznaczeniu czasu trwania przedsięwzięcia.

Rodzaje czynności Czynności szeregowe występują kolejno po sobie w ściśle określonej kolejności. Czynności zbieżne lub rozbieżne, to takie, które kończą się lub rozpoczynają w jednym momencie.

Czynność pozorna Czynność pozorna jest czynnością, która nie pochłania żadnych zasobów, ani nie ma określonego czasu trwania. Jest ona używana do zilustrowania zależności pomiędzy innymi czynnościami.

Przykład analizy sieciowej W toku pewnego przedsięwzięcia wyróżnić można 8 zdarzeń (wraz z początkowym) oraz 11 czynności. Wyznaczyć należy drogę krytyczną oraz najkrótszy czas realizacji projektu. Czynności (i-j) Czas trwania 1-2 6 4-6 8 1-3 10 5-6 7 2-3 5-7 2-5 12 6-7 3-4 5 7-8 3-5

Czynności (i-j) Czas trwania 1-2 6 4-6 8 1-3 10 5-6 7 2-3 5-7 2-5 12 6-7 3-4 5 7-8 3-5

Drogę krytyczną stanowi ciąg tych czynności od zdarzenia początkowego do końcowego, których opóźnienie realizacji spowoduje opóźnienie realizacji całego przedsięwzięcia. Minimalny czas trwania projektu to 6+6+8+7+6+7=40

Sieć transportowa