Menu Jednomiany Wyrażenia algebraiczne -definicja Mnożenie i dzielenie sum algebraicznych przez jednomian Mnożenie sum algebraicznych Wzory skróconego mnożenia Przekształcanie wzorów(wyrażeń) Prawo Rozdzielności Grupowanie wyrazów

Wyrażenia algebraiczne Definicja Wyrażenia algebraiczne to wyrażenia,w których występują liczby,litery,znaki działań i nawiasy.Z wyrażeniami spotkałeś się nie raz, choćby używając wzorów na pole, obwód, rozwiązując równanie czy nierówność Przykłady : 4,y, 7y-4x, 5(x-9) Wyrażenie możemy nazwać sumą, iloczynem, ilorazem lub różnicą. Nazwa wyrażenia powstaje od ostatniego działania, które należy wykonać, pamiętając o kolejności działań: X+10 -> suma liczb x i 10 8(y+x) -> iloczyn liczby 8 i sumy y i x n-10 -> różnica liczb n i 10 (x-y):4 -> iloraz liczb x i y przez 4

Jednomiany Jednomian to takie wyrażenie algebraiczne, w którym występuje pojedyńcza liczba, litera lub ich iloczyn Jedynym działaniem występującym w jednomianie jest mnożenie (PAMIĘTAJ,że potęgowanie to skrócony zapis mnożenia) np. 5, 3x, y 10, -12a 7 y 15 Liczby 5,3,1,-12 stojące na początku jednomianu nazywamy współczynnikami liczbowymi Zasady porządkowania: 1Podnosimy jednomian do potęgi 2Ustalamy znak jednomianu 3Ustalamy współczynnik liczbowy nie zważając już na znak 4Ustalamy alfabetyczne ustawienie liter Przykłady -5x 7 (-10x 15 y 3 )y: 1.Nie ma 2. ‘+’ x 7 * x 15 = x 7+15 = x 22 y 3 *y=y 3+1 = y 4 Końcowy wynik -> 50x 22 y 4

Mnożenie sum algebraicznych przez jednomian a(b+c)=ab +ac Mnożenie i dzielenie sum algebraicznych przez jednomian Dzielenie sum algebraicznych przez jednomian Przy dzieleniu musimy zastosować prawo rozdzielności, porządkowanie jednomianu, ale również należy pamiętać o nawiasach w zapisie jednomianu, gdy ten zbudowany jest z więcej niż jednego czynnika. Przykłady : x 17 : x 5 =x 17-5 =x 12 x5:x3=xxxxx:xxx=x 2

Mnożenie sum algebraicznych (a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd Mnożenie sum algebraicznych przez wielomiany Przykład : (3ax+2)(a-x)= 3ax*a+3ax*(-x)+2*a +2*(-x)= 3a 2 x-3ax 2 +2a-2x a+b c+d

A) 5ax=y / : (5a) x=y:5a Dzielimy przez liczbę stojącą przy niewiadomej (5a) Pamiętaj, jednomian zapisujemy w nawiasach Podajemy zastrzeżenia a≠0 B) 3y:2xz=7 /* (2xz) 3y= 14xz / : (14z) x= 3y:14z Wzór istnieje jeśli x ≠0 i z ≠0 Po podaniu zastrzeżeń, możemy przekształcać wzór Jak przekształcić wzór? Należy najpierw wyznaczyć szukaną wielkość a następnie podstawiać dane wartości, przy wzorach musimy pamiętać o podaniu tzw. zastrzeżeń czyli jakich wartości nie może podać dana zmienna. Często wtedy spotykamy się ze zwrotem -o podaniu sensu liczbowego wyrażenia. Wszystkie wyrażenia zawierające zmienne, przez które dzielimy lub gdy znajdują się w mianowniku muszą być różne od 0. Wyznaczając niewiadomą,traktujemy resztę zmiennych jakby były dane.

Wzory skróconego mnożenia służą do szybkiego wykonywania niektórych działań, ale także zmiany sumy na iloczyn, rozwiązywania równań, nierówności, zadań tekstowych. Kwadrat sumy (a+b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 Kwadrat sumy dwóch dowolnych wyrażeń jest równy kwadratowi pierwszego wyrażenia plus podwojony iloczyn pierwszego wyrażenia przez drugie, plus kwadrat drugiego wyrażenia. Kwadrat różnicy (a-b) 2 = a 2 - 2ab + b 2 Kwadrat różnicy dwóch dowolnych wyrażeń jest równy kwadratowi pierwszego wyrażenia minus podwojony iloczyn pierwszego wyrażenia przez drugie, plus kwadrat drugiego wyrażenia. Iloczyn sumy przez różnicę (a+b)(a-b)= a 2 – b 2 Iloczyn sumy dwóch wyrażeń,przez ich różnicę jest równy różnicy kwadratów tych wyrazów.

Zasada: 1.Składniki zapisujemy w postaci iloczynu czynników 2.Współczynniki liczbowe rozkładamy na iloczyny 3.W każdym składniku podkreślamy jednakową liczbę identycznych czynników 4.Przed nawias wyłączamy podkreślone czynniki z jednego składnika 5.W nawiasie zostaje to co nie było podkreślone 6.Jeżeli w składniku nie zostaje nic co nie było by podkreślone, to w nawiasie piszemy 1. 7.Pamiętaj, wyłączamy największy wspólny czynnik. Przykłady : 4x 5 –6x 7 = 2*2 *x*x*x*x*x – 2*3*x*x*x*x*x*x*x= 2xxxxx(2- 3xx)= 2x 5 (2-3x 2 )

Wyrażenia 4a+4x+a 2 +ax nie można zamienić żadną z poprzednich metod, ale wyrazy można połączyć w pary, w których to dokonujemy zamiany na iloczyn. Dobieramy tak pary,aby w każdej otrzymać identyczny czynnik np. 4a+4x+a 2 +ax= (4a+ 4x)+ (a 2 + ax)= 4(a+x) + a(a+x)= (a+x)(4+a) Z taką postacią sumy mieliśmy już do czynienia przy wyłączaniu wspólnego czynnika przed nawias. Można też pogrupować wyrażenie inaczej…. 4a+ 4x+ a 2 + ax=(4a + a 2 )+ (4x+ax)= a(4+a) + x(4+x)= (4 +a)(a+x) Otrzymane postacie iloczynowe są identyczne. Najważniejsze przy grupowaniu jest tak połączyć wyrazy w pary, aby jeden z czynników (suma lub różnica), był jednakowy. Metody można łączyć np.: -wpierw wyłączyć czynnik przed nawias, następnie zastosować grupowanie lub wzory skróconego mnożenia,np. 20a = 5(2a-3)(2a+3) 12-12y 3 +3y 6 = 3(4-4y 3 +y 6 )= 3(2-y 3 ) 2 20a 2 -4ay-5a 3 + a 2 y= a(20a –4y-5a 2 +ay) = =a[20a - 5a 2 ) + (-4y +ay)]= =a[5a(4-a)- y(4-a)]= =a[(4-a)(5a-y)]= a(4-a)(5a-y)