Ekonometria stosowana Autokorelacja Piotr Ciżkowicz Katedra Międzynarodowych Studiów Porównawczych

Plan Czym się zajmiemy: 1.Co to jest autokorelacja 2.Konsekwencje autokorelacji 3.Przyczyny występowania autokorelacji 4.Testowanie autokorelacji 5.Metody radzenia sobie z autokorelacją

Co to jest autokorelacja składnika losowego (1) ►Składniki losowe z różnych okresów nie są niezależne, lecz wykazują się niezerową korelacją tzn. składnik losowy u t z okresu t jest skorelowany ze składnikami losowymi u t -1 u t-2 … oraz u t+1 u t+2… ►Korelacja między u t a u t-k nazywa się autokorelacją rzędu k i określa ją współczynnik autokorelacji postaci:

Co to jest autokorelacja składnika losowego (2) ►Autokorelacja I rzędu, czyli proces AR(1) (przy czym e nie podlegają autokorelacji, mają stałą wariancję i zerową wartość oczekiwaną) ►Autokorelacja II rzędu, czyli proces AR(2) ►Autokorelacja wyższych rzędów - analogicznie

Konsekwencje autokorelacji składnika losowego (1) ►Analizujemy model regresji, w którym stosujemy k zmiennych objaśniających (wyraz wolny stanowi jedną ze zmiennych) postaci… ►…lub w postaci macierzowej

Konsekwencje autokorelacji składnika losowego (2) ►Estymator MNK ma postać… ►Macierz wariancji i kowariancji estymatora przy założeniu… ►ma postać….

Konsekwencje autokorelacji składnika losowego (3) ►W przypadku występowania autokorelacji składnika losowego założenie … ►.. nie jest prawdziwe, gdyż … ►… zaś macierz wariancji i kowariancji estymatora MNK ma postać…

Konsekwencje autokorelacji składnika losowego (4) ►W szczególności macierz może mieć postać… … co zachodzi, gdy korelacja między składnikami losowymi ze wszystkich okresów jest taka sama (zależność czysto teoretyczna, niewystępująca raczej w praktyce)

Konsekwencje autokorelacji składnika losowego (5) ►Oznacza to, że : ► estymator MNK pozostaje estymatorem nieobciążonym, bo nadal zachodzi… ►estymator MNK przestaje być najefektywniejszy ►estymator wariancji składnika losowego jest obciążony, przy czym kierunek obciążenia zależy od kierunku autokorelacji; przy dodatniej autokorelacji (najczęstszej) wariancja jest niedoszacowana ►to oznacza, że niedoszacowane są średnie błędy estymatorów parametrów (przeszacowane statystyki t ) oraz przeszacowany jest współczynnik determinacji

1.Błędna struktura funkcyjna modelu np. Brak uwzględnienia zjawiska sezonowości Błędna postać założonej relacji między zmienną objaśnianą i zmiennymi objaśniającymi Przyczyny występowania autokorelacji (1)

2.Nieodpowiednia struktura dynamiczna modelu tzn. w modelu nie została uwzględniona (a powinna) opóźniona zmienna objaśniana jako zmienna objaśniająca lub opóźniona zmienna objaśniająca np. model… Przyczyny występowania autokorelacji (2) … można zapisać jako… … co jest równoważne… … przy założeniu, że

3.Pominięcie w specyfikacji istotnej zmiennej (przykład na laboratoriach) 4.Przekształcenia jakim poddawane są dane (interpolacja, wygładzanie, agregacja itp.) Przyczyny występowania autokorelacji (3)

Testowanie autokorelacji (1) ►Test Durbina - Watsona ►Test ten bazuje na estymacji współczynnika autokorelacji I rzędu, gdyż jest równoważny… ►… a to wyrażenie jest równe w przybliżeniu (dla dużych prób)…

Testowanie autokorelacji (2) ►Interpretacja wyników testu: ►0<d < d L : odrzucamy hipotezę zerową o braku atuokorelacji na rzecz hipotezy o autokorelacji dodatniej ►d L <d<d U : obszar niekonkluzywności ►d U <d<4-d U : brak podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej o braku autokorelacji ►4-d U <d<4-d L : obszar niekonkluzywności ►4- d U < d < 4: odrzucamy hipotezę zerową o braku atuokorelacji na rzecz hipotezy o autokorelacji ujemnej

Testowanie autokorelacji (3) ►Uwaga 1: Podane przybliżenie jest prawdziwe dla dużych prób, bo dla współczynnika autokorelacji I rzędu równego 0 wartość oczekiwana d wynosi ►Uwaga 2: Test DW można stosować ►do badania autokorelacji I rzędu ►gdy w modelu występuje wyraz wolny ►gdy w moelu nie występuje opóźniona zmienna objaśniana jako zmienna objaśniająca

Testowanie autokorelacji (4) ►Uwaga 1: Podane przybliżenie jest prawdziwe dla dużych prób, bo dla współczynnika autokorelacji I rzędu równego 0 wartość oczekiwana d wynosi ►Uwaga 2: Test DW można stosować ►do badania autokorelacji I rzędu ►gdy w modelu występuje wyraz wolny ►gdy w moelu nie występuje opóźniona zmienna objaśniana jako zmienna objaśniająca

Testowanie autokorelacji (5) ►Uwaga 3: Istnieje wiele tablic testu DW dla różnych specyfikacji, w tym wyższych rzędów autokorelacji związanych z testowaniem w przypadku danych sezonowych (kwartalnych – rząd 4; miesięcznych - rząd 12) np. ►Uwaga 4: Odrzucenie hipotezy zerowej o braku autokorelacji w teście DW wcale nie musi wskazywać na autokorelację 1 rzędu (!!!!) lecz np. na ►pominięcie istotnej zmiennej w modelu ►składnik losowy opisany procesem MA (średniej ruchomej)a ►autokorelację 2 rzędu

Testowanie autokorelacji (6) ►W przypadku testowania autokorelacji wyższych rzędów można stosować test Breuscha-Godfreya oparty na zasadzie mnożników Lagrange’a. ►Dla równania postaci…. … gdzie składnik losowy jest opisany procesem… … testujemy hipotezę postaci…

Testowanie autokorelacji (7) ►Postępowanie składa się z trzech kroków: ►I: szacujemy model dla zmiennej objaśniającej bez zakładania postaci procesu dla składnika losowego ►II: na podstawie otrzymanych reszt szacujemy równanie… ►III : obliczamy standardową statystykę F i weryfikujemy hipotezę zerową postaci … korzystając z tego, że przy jej prawdziwości statystyka p*F ma rozkład z p stopniami swobody

Testowanie autokorelacji (8) ►Przykład: dla danych kwartalnych możemy testować występowanie autokorelacji 4 rzędu postaci: ►W tym celu po oszacowaniu równania wyjściowego szacujemy równanie dla reszt postaci …i weryfikujemy hipotezę zerową postaci

Testowanie autokorelacji (9) ►Uwaga 1: Test LM jest testem dla dużych prób (n>30). Należy pamiętać, że każde dodatkowe opóźnienia zmniejsza liczebność próby w równaniu reszt, a więc i precyzję testu ►Uwaga 2: W teście LM nie jest ważna postać procesu generującego składnik losowy, lecz maksymalny rząd opóźnienia. Dla każdego z poniższych przypadków… …weryfikujemy tę samą hipotezę zerową postaci ►Uwaga 3: Alternatywna postać równania testującego opiera się na koncepcji testu dodanych zmiennych

Postępowanie w przypadku autokorelacji (1) ►Sprawdzenie, czy w modelu nie pominięto istotnej zmiennej (test dodanej zmiennej) ►Sprawdzenie, czy model ma poprawną postać funkcyjną i stabilne w czasie oszacowania parametrów (test RESEST, CUSUMQ, test Chowa) ►Sprawdzenie, czy model ma poprawnie wyspecyfikowaną strukturę dynamiczną np. dla modelu postaci …zweryfikować hipotezę za pomocą testu Walda, ilorazu wiarygodności lub LM

Postępowanie w przypadku autokorelacji (2) ►Sprawdzenie, czy w modelu nie występuje trend deterministyczny postaci np...lub trend stochastyczny postaci… ►Zastosowanie błędów standardowych odpornych na autokorelację i heteroskedastyczność (HAC) ►Zastosownie metod estymacji uwzględniających autokorelację opartych na Uogólnionej Metodzie Najmniejszych Kwadratów (np. metoda Cochrane’a – Orcutta lub metoda Hildreth – Lu)

Heteroscedasticity-and-autocorellation- consistent standard errors (błędy HAC lub błędy Neweya-Westa) ►Podejście HC jest szczególnym przypadkiem estymacji błędów HAC postaci: gdzie ►Dla w(j)=0 otrzymujemy błędy HC. Przy autokorelacji najczęściej stosuje się wagi Bartletta postaci ►Intuicyjnie oddają one fakt, że zazwyczaj autokorelacja maleje wraz z rzędem opóźnienia j.

Dziękuję za uwagę