PREZENTACJA MULTIMEDIALNA Z MATEMATYKI POJĘCIE FUNKCJI Wykonała: mgr Małgorzata Krowicka Politechnika Częstochowska

Pojęcie funkcji

N O T A B E N E Zatem miłej zabawy! Słowo FUNKCJA pochodzi od łac. wyrazu FUNGI –odgrywać, przedstawiać, a ten z kolei od rdzenia FUNG – oznaczającego zabawę Zatem miłej zabawy!

1. Teoria 2. Ćwiczenia

Skąd się wzięło pojęcie - FUNKCJA? Funkcja to najważniejsze pojęcie współczesnej matematyki. W języku funkcji formułuje się prawa przyrody, a także wiele praw ekonomii. Pojęcie FUNKCJI narodziło się w średniowieczu w XIII – XIV w. Jego autorami są filozofowie przyrody z Paryża i Oksfordu, próbujący zrozumieć zagadkę ruchu: ”jak to się dzieje, że wystrzelona strzała porusza się, choć jej nikt nie pcha?” Wprowadzenie pojęcia funkcji to najważniejsze dokonanie w dziejach średniowiecznej matematyki.

PRZEDSTAWIANIE FUNCJI POJĘCIE FUNKCJI PRZEDSTAWIANIE FUNCJI WŁASNOŚCI FUNKCJI ĆWICZENIA

jednego elementu zbioru Y POJĘCIE FUNKCJI Zbiór X Zbiór Y f Funkcja f jest to przyporządkowanie każdemu elementowi zbioru X dokładnie jednego elementu zbioru Y

Zbiór X nazywamy dziedziną funkcji Jego elementy- argumentami funkcji

Zbiór Y nazywamy przeciwdziedziną funkcji Jego elementy- wartościami funkcji Funkcję oznaczamy ; f: X Y lub y=f(x)

PRZEDSTAWIANIE FUNCJI grafy tabela wykres wzór opis słowny

4,5,6- wartości funkcji = zbiór wartości funkcji Grafy Zbiór X Zbiór Y f: X Y 4 5 6 7 1 2 3 4 przeciwdziedzina dziedzina 1,2,3,4- argumenty funkcji 4,5,6- wartości funkcji = zbiór wartości funkcji

Tabela dziedzina X 1 2 3 4 Y 6 8 przeciwdziedzina 1,2,3,4- argumenty funkcji 2,4,6,8- wartości funkcji

Wykres 1 2 3 -1 -2 -3 X Y Argumenty-(x) Wartości- y Wykres funkcji to zbiór punktów płaszczyzny postaci (x,f(x)), gdzie x-jest argumentem, a f(x)- odpowiednią wartością , zatem y=f(x)

Wzory f(x)=2x f(x)= x+3 D:R f(x) = D: R\{0} Dla funkcji określonej wzorem przyjmujemy, że jeśli dziedzina nie jest podana, to dziedzinę tej funkcji tworzą wszystkie liczby, dla których wzór ma sens. f(x)=2x f(x)= x+3 D:R f(x) = D: R\{0}

Opis słowny przyporządkowujemy jej liczbę przeciwną.” „Każdej liczbie ze zbioru X={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}, przyporządkowujemy jej liczbę przeciwną.” Zatem przeciedziedziną jest: Y={-1,-2,-3,-4,-5,-6,-7,-8,-9,-10}

a teraz... Krótkie utrwalenie !

Najważniejsze pojęcia funkcja przyporządkowanie zbiór X dziedzina zbiór Y przeciwdziedzina dziedzina zawiera argumenty przeciwdziedzina zawiera wartości

Każdy argument musi mieć swoją wartość! I co jeszcze? Każdy argument musi mieć swoją wartość! Ha, ha ... To nie jest takie trudne!!!

PRZYPORZĄDKOWANIE - PRZYKŁADY Nie jest funkcją, bo 1 ma dwie wartości 2 3 4 5 6 7 3 4 5 2 6 10 Jest funkcją Nie jest funkcją, bo 2 nie ma wartości 1 2 3 4 5 Nie jest funkcją, bo 1 ma dwie wartości

PRZYPORZĄDKOWANIE- PRZYKŁADY x -3 3 -8 10 y -1 5 -6 2 12 Jest funkcją x 7 8 12 23 y 3 5 9 10 Nie jest funkcją, bo 7 ma dwie wartości

PRZYPORZĄDKOWANIE- PRZYKŁADY 3 Wartości y 2 1 X -2 -1 1 2 3 Y Argumenty-(x) 3 Nie jest funkcją, bo x=1 ma dwie wartości. 2 Wartości y 1 -2 -1 1 2 X Argumenty-(x) Jest funkcją

Własności funkcji MONOTONICZNOŚĆ FUNKCJI MIEJSCE ZEROWE FUNKCJI

MONOTONICZNOŚĆ FUNKCJI Funkcje rosnące, malejące, nierosnące i niemalejące nazywamy funkcjami monotonicznymi Funkcja rosnąca Funkcja malejąca Funkcja stała

FUNKCJA ROSNĄCA Funkcja, która rośnie w całej dziedzinie to funkcja

Jest to funkcja rosnąca X Y f 1 2 3 4 4 5 6 7 f(1) =4 f(2) =5 f(3) =6 f(4) =7 dziedzina przeciwdziedzina Argumenty-1,2,3,4- rosną Wartości- 4,5,6,7-rosną Jest to funkcja rosnąca

Jest to funkcja rosnąca Argumenty - rosną f(10) =15 X 10 20 30 40 Y 15 25 35 45 f(20) = 25 f(30) = 35 f(40) = 45 Wartości - rosną Jest to funkcja rosnąca

Jest to funkcja rosnąca Y X 1 2 3 4 5 -1 -2 f(-1) = -1 Wartości - rosną Wartości-oś Y f(1) = 1 f(2) = 2 f(3) = 3 dziedzina-oś X argumenty -rosną Jest to funkcja rosnąca

FUNKCJA MALEJĄCA Funkcja, która maleje w całej dziedzinie nazywamy funkcją malejącą

Argumenty-1,2,3,4- rosną Funkcja malejąca Wartości-10,9,8,7-maleją X 10 9 8 7 Y f(1)=10 f(2)=9 f(3)=8 f(4)=7 dziedzina przeciwdziedzina Argumenty-1,2,3,4- rosną Funkcja malejąca Wartości-10,9,8,7-maleją

f(1)=15 Argumenty- rosną f(2)=10 X 1 2 3 4 Y 15 10 5 f(3)=5 f(4)=1 Wartości- maleją Funkcja malejąca

Jest to funkcja malejąca Y Wartości- maleją 2 1 1 2 3 4 -3 -2 -1 X -1 f(-2)= 2 Argumenty-rosną f(-1)= 1 f(0)= 0 Jest to funkcja malejąca f(1)= -1

Funkcja stała Funkcja, która w całej dziedzinie przyjmuje tylko jedną wartość to funkcja stała

X Y f(1)=2 f(2)=2 f(3)=2 f(4)=2 Funkcja stała dziedzina przeciwdziedzina Argumenty- 1,2,3,4- rosną Wartości- 2-stała Funkcja stała

f(4)=1 f(3)=1 f(2)=1 f(1)=1 Funkcja stała Argumenty -maleją f(4)=1 X 4 3 2 1 Y f(3)=1 f(2)=1 f(1)=1 Wartość - stała Funkcja stała

f(-2)=1 f(-1)=1 f(0)=1 f(1)=1 f(2)=1 f(3)=1 FUNKCJA STAŁA X Y f(-1)=1 Wartość-stała f(0)=1 f(1)=1 f(2)=1 f(3)=1 Argumenty-(x) FUNKCJA STAŁA

Funkcja STAŁA nie jest monotoniczna. UWAGA !!! Funkcja STAŁA nie jest monotoniczna.

MIEJSCE ZEROWE FUNKCJI Każdy argument, dla którego funkcja przyjmuje wartość 0, nazywamy: miejscem zerowym funkcji.

2 X Y 2 X Y 1 4 5 6 10 1 Funkcja posiada 4 dwa miejsca zerowe 5 dla 10 2 X Y 1 4 5 6 2 X Y Funkcja posiada dwa miejsca zerowe dla x=4 i x=5 Funkcja nie posiada miejsc zerowych

X 2 4 6 Y 1 5 Funkcja ma dwa miejsca zerowe dla x=2 i x=6 X 2 4 6 Y 1 3 5 7 Funkcja nie posiada miejsc zerowych

X Y Funkcja ma dwa miejsca zerowe dla x=-3 i x=2 1 2 3 -1 -2 -3 X Y Argumenty-(x) Wartości y Funkcja ma dwa miejsca zerowe dla x=-3 i x=2

Ćwiczenia Czy dane przyporządkowanie jest funkcją? Czy funkcja jest monotoniczna? Czy funkcja ma miejsca zerowe?

Czy dane przyporządkowanie jest funkcją? 1 2 3 -1 -2 -3 X Y 2 4 6 8 -5 -2 7 tak tak nie nie X 2 4 6 Y 1 5 7 tak nie

1 2 3 -1 -2 -3 X Y tak nie x -2 -3 -4 -5 y 1 2 - 3 tak nie

Czy funkcja jest monotoniczna? 1 2 3 4 X 10 9 8 7 Y tak-rosnąca X 2 4 6 Y 1 5 tak-malejąca nie tak-rosnąca nie tak-malejąca

Y X tak-rosnąca tak-malejąca nie tak-rosnąca tak-malejąca nie 3 2 1 X 1 2 3 -3 -2 -1 tak-rosnąca tak-malejąca 1 2 3 4 4 5 6 7 nie tak-rosnąca tak-malejąca nie

Wskaż miejsce zerowe funkcji -3 -2 -1 2 1 2 -1 x=0,2 x=-3,-2 Nie ma x -2 -1 1 2 y 9 -6 3 -3 x=0 Nie ma x=1

Nie ma x -7 6 -5 y 7 -6 5 -4 Nie ma Y X x=0,3 x=1 x=-7,-5 x=0 3 2 1 -3 -2 -1 1 2 3 X x=0,3 x=1 Nie ma x -7 6 -5 y 7 -6 5 -4 x=-7,-5 x=0 Nie ma

zostawia w twym umyśle ścieżkę, którą w razie potrzeby „ To co musiałeś odkryć samodzielnie, zostawia w twym umyśle ścieżkę, którą w razie potrzeby możesz pójść jeszcze raz”   Georg Christoph Lichtenberg

Dziękuję za uwagę 