Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Analiza portfeli dwu- oraz trzy-akcyjnych. Portfel dwóch akcji bez możliwości krótkiej sprzedaży W - wartość portfela   W = a P 1 + b P 2   P 1 -

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "Analiza portfeli dwu- oraz trzy-akcyjnych. Portfel dwóch akcji bez możliwości krótkiej sprzedaży W - wartość portfela   W = a P 1 + b P 2   P 1 -"— Zapis prezentacji:

1 Analiza portfeli dwu- oraz trzy-akcyjnych

2 Portfel dwóch akcji bez możliwości krótkiej sprzedaży W - wartość portfela   W = a P 1 + b P 2   P 1 - cena akcji typu A, P 2 – cena akcji typu B   a- liczba akcji A, b - liczba akcji B   a P 1 - wartość akcji A w portfelu   b P 2 - wartość akcji B w portfelu   a P 1 / W – udział akcji A w portfelu, ozn. α   b P 2 / W – udział akcji B w portfelu, ozn. β   α + β = 1, α, β – nieujemne

3 Portfel dwóch akcji bez możliwości krótkiej sprzedaży   W dalszej części rozważań portfel dwóch akcji przy braku krótkiej sprzedaży będziemy identyfikować z parą nieujemnych liczb (α, β) sumujących się do jedynki, oznaczających udziały poszczególnych akcji   Portfel dwóch akcji z możliwością krótkiej sprzedaży identyfikujemy z parą liczb (α, β) sumujących się do jedynki

4 Stopa zwrotu z portfela dwóch akcji przy braku krótkiej sprzedaży R A – okresowa stopa zwrotu z akcji A R B – okresowa stopa zwrotu z akcji B Stwierdzenie. Jeżeli α, β oznaczają udziały akcji A i B w portfelu, to okresowa stopa zwrotu z portfela - R P jest równa R P = α R A + β R B Dowód: (przy oznaczeniach z poprzedniego slajdu) P 1 (1+ R A ), P 2 (1+ R B ) - ceny końcowe akcji A, B Przyrost wartości portfela w okresie bazowym: [a P 1 (1+ R A )+ b P 2 (1+ R B )] – (a P 1 + b P 2 )= a P 1 R A +b P 2 R B stopa zwrotu portfela R P = (a P 1 R A +b P 2 R B ) / W = (a P 1 / W) R A + (b P 2 / W) R B = α R A + β R B

5 Stopa zwrotu z portfela trzech akcji (Brak krótkiej sprzedaży ) R A – okresowa stopa zwrotu z akcji A R B – okresowa stopa zwrotu z akcji B R C – okresowa stopa zwrotu z akcji C Stwierdzenie. Jeżeli α, β, γ oznaczają udziały akcji odpowiednio A, B i C w portfelu (α+ β+ γ = 1, oraz α, β, γ są nieujemne), to okresowa stopa zwrotu z portfela - R P jest równa R P = α R A + β R B + γ R C Dowód przebiega analogicznie do przypadku portfela dwóch akcji

6 Krótka sprzedaż akcji Możliwość krótkiej sprzedaży, to możliwość sprzedaży akcji pożyczonych od odpowiedniej instytucji, np. biura maklerskiego. W ustalonym momencie w przyszłości akcje należy zwrócić. Zatem korzystający z takiej możliwości musi odkupić akcje w tej samej liczbie i przekazać pożyczkodawcy. Krótkiej sprzedaży dokonuje się w przypadku przewidywania spadku cen akcji. Inwestor zyskuje na spadku cen akcji Zysk inwestora jest różnicą miedzy wartością sprzedanych na początku akcji a kwotą za którą musi później odkupić akcje

7 Krótka sprzedaż akcji Przykład. Cena początkowa akcji – 100 zł. Wartość pożyczonych akcji zł

8 Portfel z możliwością krótkiej sprzedaży Przy przyjętych oznaczeniach, wartość portfela dwóch akcji W = a P 1 + b P 2 lub W = α W + β W Gdzie α + β = 1, oraz α, β > 0 Sprzedajemy akcje B. Za otrzymaną kwotę kupujemy akcje A. (Portfel ma teraz w składzie 100% akcji A) Dokonujemy krótkiej sprzedaży b akcji spółki B, zaś otrzymane pieniądze inwestujemy w akcje spółki A Wartość nowego portfela nie zmieniła się, jest równa W, można ją teraz zapisać jako W = α’ W + β’ W gdzie β’ 1, (α’ + β’ = 1)

9 Portfel z możliwością krótkiej sprzedaży Przykład. Inwestor dysponuje kwotą zł, cena akcji firmy A wynosi 100 zł, firmy B - 50 zł. Inwestor kupuje za cała kwotę 200 akcji firmy A, dokonuje krótkiej sprzedaży 80 akcji firmy B, za uzyskane pieniądze (4000 zł) dokupuje 40 akcji firmy A. Wartość jego portfela wynosi W = zł = 240  100 zł + (- 80)  50 zł lub inaczej W = [(240  100 zł) / W]  W +{[(- 80)  50 zł] / W}  W = =1,2  W + (-0,2)  W

10 Stopa zwrotu portfela z możliwością krótkiej sprzedaży W – wartość portfela a- liczba akcji A w portfelu, b - liczba akcji B w krótkiej sprzedaży W = a P 1 + ( - b) P 2 = a P 1 - b P 2 P 1 ( 1+ R A ), P 2 ( 1+ R B ), - ceny końcowe akcji A, B Przyrost wartości portfela w okresie bazowym: [ a P 1 ( 1+ R A ) - b P 2 ( 1+ R B ) ] – ( a P 1 - b P 2 ) = = a P 1 + aP 1 R A - b P 2 - b P 2 R B – a P 1 + b P 2 = = a P 1 R A – b P 2 R B stopa zwrotu dla portfela R P = ( aP 1 R A – b P 2 R B ) / W = ( a P 1 / W) R A + (- bP 2 / W) R B = α R A + β R B β < 0, α + β = 1, gdzie α, β – udziały w portfelu

11 Portfel dwóch akcji z możliwością krótkiej sprzedaży   Portfel dwóch akcji z możliwością krótkiej sprzedaży identyfikujemy z parą liczb rzeczywistych (α, β) sumujących się do jedynki

12 Stopa zwrotu portfela dwóch akcji z możliwością krótkiej sprzedaży Przykład 1. Niech R A = 30%, R B = 10% Portfel może mieć ujemną stopę zwrotu (!!! ), może mieć stopę większą od większej ze stóp: R A, R B

13 Stopa zwrotu portfela dwóch akcji z możliwością krótkiej sprzedaży Przykład 2. Niech R A = 30%, R B = -10%

14 Stopa zwrotu portfela dwóch akcji z możliwością krótkiej sprzedaży Przykład 3. Niech R A = - 30%, R B = -10% Stopa portfela może być dodatnia

15 Stopa zwrotu jako zmienna losowa Oczekiwana wartość stopy zwrotu   R A – stopa zwrotu z akcji A   R B – stopa zwrotu z akcji B   R P – stopa zwrotu z portfela Traktujemy powyższe stopy jako zmienne losowe   R P = α R A + β R B R P jest zmienną losową, będącą kombinacją liniową zmiennych losowych R A,, R B   E(R A ) – oczekiwana stopa zwrotu z akcji A   E(R B ) – oczekiwana stopa zwrotu z akcji B   E(R P ) – oczekiwana stopa zwrotu z portfela   E(R P ) = α E(R A ) + β E(R B )

16 Wariancja, odchylenie std. stopy zwrotu portfela dwóch akcji Var R P = α 2 Var R A + β 2 Var R B + 2 α β Cov( R A, R B ) Var R P – wariancja stopy zwrotu portfela Cov( R A, R B ) – kowariancja stóp zwrotu akcji A, B σ P = √ Var R P σ P - odchylenie standardowe stopy zwrotu portfela

17 Zbiór możliwości inwestycyjnych (opportunity set) DEF. Zbiorem możliwości inwestycyjnych portfela dwóch akcji przy braku krótkiej sprzedaży, nazywamy zbiór wszystkich punktów w układzie współrzędnych : oś OX – ryzyko (odchyl. std. stopy zwrotu), oś OY– oczekiwana stopa zwrotu, które można uzyskać dla wszystkich nieujemnych par {( α, β): α + β = 1, 0  α, β } (będących portfelami bez krótkiej sprzedaży)

18 Zbiór możliwości inwestycyjnych portfela dwóch akcji o zadanych parametrach bez krótkiej sprzedaży akcja A akcja B Średnia stopa zwrotu 14,25 % 62,72 % Odchylenie standard. 25,25 % 37,99 %

19 Pełna korelacja dodatnia stóp zwrotu  = 1 Var R P = α 2 Var R A + β 2 Var R B + 2 α βCov( R A, R B ) = = α 2 Var R A + β 2 Var R B + 2 α β σ A σ B Cor ( R A, R B ) Jeżeli Cor ( R A, R B ) = 1, to Var R P = α 2 Var R A + β 2 Var R B + 2 α β σ A σ B Var R P = α 2 ( σ A ) 2 + β 2 (σ B ) α β σ A σ B = (α σ A + β σ B ) 2 czyli (σ P ) 2 = (α σ A + β σ B ) 2, stąd σ P = α σ A + β σ B, o ile α, β – nieujemne Ponieważ R P = α R A + β R B, zatem portfele stanowią punkty odcinka o końcach (σ A, R A ), (σ B, R B )

20 Zbiór możliwości inwestycyjnych portfela dwóch akcji przy pełnej korelacji dodatniej

21 Pełna korelacja ujemna  = - 1 Var R P = α 2 Var R A + β 2 Var R B + 2 α β σ A σ B Cor ( R A, R B ) Jeżeli Cor ( R A, R B ) = - 1, to Var R P = α 2 Var R A + β 2 Var R B - 2 α β σ A σ B = α 2 ( σ A ) 2 + β 2 (σ B ) α β σ A σ B = (α σ A - β σ B ) 2. (σ P ) 2 = (α σ A - β σ B ) 2, stąd σ P = α σ A - β σ B, o ile α σ A ≥ β σ B σ P = β σ B - α σ A, o ile α σ A < β σ B Jeżeli α σ A = β σ B to σ P = 0. Można pokazać, ze portfele stanowią punkty łamanej [σ A, R A ],[0, R A σ B /(σ A + σ B ) + R B σ A /(σ A + σ B )], [σ B, R B ]

22 Zbiór możliwości inwestycyjnych portfela dwóch akcji przy pełnej korelacji ujemnej

23 Przypadki  =-1,  =1 z możliwością krótkiej sprzedaży

24 Pełna korelacja ujemna Portfel zerowego ryzyka Jeżeli  ( R A, R B ) = - 1, to Var R P = (σ P ) 2 = (α σ A - β σ B ) 2, stąd σ P = 0, gdy α σ A = β σ B, czyli α σ A = (1- α) σ B α = σ B /(σ A + σ B ) zaś β = σ A /(σ A + σ B ) Portfel o powyższych udziałach jest portfelem zerowego ryzyka. Ma on stopę zwrotu równą E(R P ) = E(R A ) σ B /(σ A + σ B )+ E(R B ) σ A /(σ A + σ B )

25  ( R A, R B ) = 0. Portfel minimalnego ryzyka Var R P = (σ P ) 2 = α 2 Var R A + β 2 Var R B = α 2 (σ A ) 2 + β 2 (σ B ) 2 = (1- β) 2 (σ A ) 2 + β 2 (σ B ) 2 Pochodna otrzymanego wyrażenia względem β wynosi -2 (1-β ) (σ A ) β (σ B ) 2 zeruje się, gdy -(1-β ) (σ A ) 2 + β (σ B ) 2 = 0 (β - 1 ) (σ A ) 2 + β (σ B ) 2 = 0 Czyli dla β 0 = (σ A ) 2 /[(σ A ) 2 + (σ B ) 2 ] Jako rosnąca funkcja liniowa zmiennej β zmienia znak z „–” na „+”, zatem dla β 0 wariancja ma wartość minimalną.

26  ( R A, R B ) = 0. Portfel minimalnego ryzyka Minimalna wariancja wynosi (1- β 0 ) 2 (σ A ) 2 + (β 0 ) 2 (σ B ) 2 czyli [σ B 2 /(σ A 2 + σ B 2 )] 2 σ A 2 + [σ A 2 /(σ A 2 + σ B 2 )] 2 σ B 2 = σ B 4 σ A 2 /(σ A 2 + σ B 2 ) 2 + σ A 4 σ B 2 /(σ A 2 + σ B 2 ) 2 = (σ B 4 σ A 2 +σ A 4 σ B 2 )/(σ A 2 + σ B 2 ) 2 = σ A 2 σ B 2 (σ B 2 +σ A 2 )/(σ A 2 + σ B 2 ) 2 Odchyl. Std. σ A σ B /[(σ A ) 2 + (σ B ) 2 ] 0,5 zaś stopa zwrotu odpow. temu odchyleniu to E(R P )=E(R A )σ B 2 /(σ A 2 + σ B 2 )+E(R B )σ A 2 /(σ A 2 +σ B 2 )

27 Zbiór możliwości inwestycyjnych dla portfela dwóch akcji (zerowa korelacja)

28 Zbiór możliwości inwestycyjnych dla portfela dwóch akcji, przy możliwości krótkiej sprzedaży akcji Stopa zwrotu akcji A –16%, B - 12%

29 Przypadek -1<  <1.   TW. Niech -1<  <1. Portfel minimalnego ryzyka (przy możliwości krótkiej sprzedaży) jest osiągany dla udziału spółki B wynoszącym β 0 = ( σ A 2 -  σ A σ B ) /(σ A 2 + σ B  σ A σ B )   Uwaga. Jeśli krótka sprzedaż nie jest możliwa to udział spółki B w portfelu minimalnego ryzyka wynosi 0, gdy β 0 < 0   β 0, gdy 0  β 0  1   1, gdy 1 < β 0

30 Ilustracja twierdzenia. Wykresy zależności wariancji od parametru s (czyli β z poprzednich rozważań). Minimum uzyskiwane jest dla s 0 (β 0 ) Pogrubiona linia oznacza portfele bez krótkiej sprzedaży

31 Przypadek 0  β 0  1 (lewa strona) Przypadek β 0 < 0 (prawa strona)

32

33 Zbiór możliwości inwestycyjnych dla portfela dwóch akcji, przy różnych współczynnikach korelacji, bez możliwości krótkiej sprzedaży

34 Zbiór możliwości inwestycyjnych dla portfela dwóch akcji z możliwością krótkiej sprzedaży, przy różnych współczynnikach korelacji

35 Korelacja graniczna  = σ A / σ B   TW. Niech σ A  σ B. Wówczas możliwe są trzy przypadki:   Jeśli -1   < σ A / σ B, to istnieje portfel bez krótkiej sprzedaży taki, że σ P < σ A (linie 4 i 5 na poprz. slajdzie)   Jeśli  = σ A / σ B, to dla każdego portfela P mamy σ A  σ P (linia 3 )   Jeśli σ A / σ B <   1, to istnieje portfel z krótką sprzedażą taki, że σ P < σ A, ale dla każdego portfela bez krótkiej sprzedaży σ A  σ P (linia 1 i 2)

36 Portfel 3 akcji, stopa zwrotu R A, R B, R C – stopy zwrotu z akcji A, B, C R P – stopa zwrotu z portfela   R P = α R A + β R B + γ R C gdzie α, β, γ – udziały akcji A, B, C w portfelu E(R A ), E(R B ), E(R C ), oczekiwane stopy zwrotu z akcji oczekiwana stopa zwrotu z portfela E(R P )   E(R P ) = α E(R A ) + β E(R B ) + γ E(R C )

37 Portfel 3 akcji, wariancja Var R P = α 2 Var R A +β 2 Var R B + γ 2 Var R C + +2αβ Cov(R A,R B )+ 2α γ Cov(R A,R C )+ + 2β γ Cov(R C,R B ) Var R P – wariancja portfela σ P = √ Var R P σ P - odchylenie standardowe portfela

38 Zbiór możliwości inwestycyjnych dla portfeli dwóch akcji, tworzonych z akcji 3 spółek

39 Zbiór możliwości inwestycyjnych portfela 3 akcji (losowa konstrukcja)

40 Statystyki 3 akcji Współczynniki korelacji akcjaABC A1,000,30 B 1,000,15 C0,30 0,151,00 tab. 2 akcjaABC średni zwrot16%12%15% odchyl. Std.25%22%25% wariancja0,060,050,06

41 Zbiór możliwości inwestycyjnych portfela 3 akcji (konstrukcja losowa i udziałowa)

42 Zbiór możliwości inwestycyjnych dla portfela 3 akcji

43 Zbiór możliwości inwestycyjnych dla portfela 3 akcji (możliwość krótkiej sprzedaży)

44 Udziały akcji nr 2 w portfelu – oś X Udziały akcji nr 3 w portfelu – oś Y Trójkąt - portfel bez krótkiej sprzedaży

45 Zbiór możliwości inwestycyjnych dla portfela 3 akcji (możliwość krótkiej sprzedaży)

46 Portfele i możliwości inwestycyjne Łamanej z lewego układu odpowiada krzywa w prawym układzie Trójkątowi odpowiada zacieniona część obszaru


Pobierz ppt "Analiza portfeli dwu- oraz trzy-akcyjnych. Portfel dwóch akcji bez możliwości krótkiej sprzedaży W - wartość portfela   W = a P 1 + b P 2   P 1 -"

Podobne prezentacje


Reklamy Google