Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Publikacja jest współfinansowana przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego Prezentacja jest dystrybuowana bezpłatnie Projekt.

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "Publikacja jest współfinansowana przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego Prezentacja jest dystrybuowana bezpłatnie Projekt."— Zapis prezentacji:

1 Publikacja jest współfinansowana przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego Prezentacja jest dystrybuowana bezpłatnie Projekt Z FIZYKĄ, MATEMATYKĄ I PRZEDSIĘBIORCZOŚCIĄ ZDOBYWAMY ŚWIAT !!! jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego Program Operacyjny Kapitał Ludzki 2007-2013 CZŁOWIEK – NAJLEPSZA INWESTYCJA

2 DANE INFORMACYJNE Nazwa szkoły: KATOLICKIE GIMNAZJUM IM. ŚW. STANISŁAWA KOSTKI ID grupy: 98/75_MF_G2 Opiekun: KATARZYNA ZAKRZEWSKA Kompetencja: MATEMATYCZNO - FIZYCZNA Temat projektowy: NIEDZIESIĄTKOWE SYSTEMY LICZENIA Semestr/rok szkolny: V/2011-2012

3 NIEDZIESIĄTKOWE SYSTEMY LICZENIA

4 Niedziesiątkowych systemów liczenia nie ma na żadnym programie matematyki i to na żadnym etapie edukacyjnym. A szkoda, bo w dobie szybkiego rozwoju techniki, każdy wykształcony człowiek powinien mieć świadomość, w jakiej postaci są zapisywane dane.

5 Wszyscy razem postanowiliśmy się zająć konkretnymi niedziesiątkowymi systemami liczbowymi oraz działaniami,zamianą, zastosowaniem w dzisiejszych czasach i historią związaną z tymi systemami liczbowymi. Spośród wielu systemów wybraliśmy trzy : Systemem dwójkowy Systemem dwunastkowy Systemem szesnastkowy Zajmowaliśmy się również konkretnymi zagadnieniami z historii m.in.: Mnożeniem hinduskim Dodawaniem i mnożeniem na abakusie Dodawanie w systemie babilońskim

6 Już nasi praprzodkowie musieli zwrócić uwagę na liczbę dwa: mamy dwie ręce, dwie nogi, dwoje oczu - to mogło być podstawą systemu dwójkowego. System dwójkowy znany był w Egipcie, a Egipcjanie wiedzieli, że dwa znaki wystarczą do zapisu dowolnej liczby. Systemu dwójkowego używał John Napier w XVI wieku, przy czym 0 i 1 zapisywał jako a i b John Napier (1550-1617)

7 Systemu dwunastkowego używano już w starożytnym Rzymie. Jeden as dzielił się na dwanaście uncji. Natomiast monety o mniejszych nominałach był całkowitymi ilorazami liczby 12 (jeden semis to dwie uncje, jeden quadrans to trzy uncje, jeden triens to cztery uncje) Również w dawnej Polsce z powodzeniem wykorzystywano system dwunastkowy, świadczą o tym przestarzałe już dziś słowa : Czasza (12 garncy )Baryła ( 24 garncy ) Łokieć (24 cale ) Połsztuczek ( 6 łokci płótna ) Płosa (12 zagonów ziemi )

8 W 1863 zaproponowano nowe cyfry oraz standard zapisu i pomiaru czasu (zegar) oraz lokalizacji (kompas) w systemie szesnastkowym. Projekty zegara i kompasu

9 W systemie dwójkowym (inaczej zwanym binarnym) korzysta się tylko z dwóch znaków 1 oraz 0. W systemie dziesiętnym W systemie dwójkowym 11 210 311 4100 5101 6110 7111 81000 91001 101010

10 Zamiana liczby w systemie dziesiętnym na liczbę w systemie dwójkowym przebiega poprzez wyznaczanie reszt w wyniku kolejnych dzieleń liczby przez 2. Weźmy na przykład liczbę 30: 30: 2 = 15 reszty 0 15: 2 = 7 reszty 1 7: 2 = 3 reszty 1 3: 2 = 1 reszty 1 1 : 2 = 0 reszty 1 30 = 11110

11 Zamianę z systemu dwójkowego na inny można wykonać poprzez zapisanie liczby jako sumy potęg liczby 2 pomnożonych przez wartość cyfry w systemie, na który przekształcamy. Przykładowo przy zamianie liczby na system dziesiętny: 11110 = 12 + 12³ + 12² + 12¹ + 02 = 16 + 8 + 4 + 2 + 0 = 30

12 Dwunastkowy system liczbowy, w którym podstawą pozycji są kolejne potęgi liczby 12. Do zapisu liczb potrzebne jest dwanaście cyfr. Poza cyframi dziesiętnymi od 0 do 9 używa się pierwszych dwóch liter alfabetu łacińskiego: A (10) i B (11).

13 By zamienić system dziesiątkowy na system dwunastkowy należy wykonać dzielenie z resztą. Dzielimy daną liczbę przez 12 tyle razy aż wyjdzie nam 0. Reszty z każdego mnożenia (czytane od dołu) dadzą nam wynik 1630 : 12 = 135 reszta A (10) 135 : 12 = 11 reszta 3 11 : 12 = 0 reszta B(11) 1630 (X) = B3A (XII )

14 By zamienić liczbę z systemu dwunastkowego na system dziesiętny należy pomnożyć każdy składnik liczby przez kolejne potęgi 12 (zaczynając od jedności). Po wymnożeniu trzeba dodać wszystkie powstałe iloczyny. B3A (XII) = 10·12 0 + 3·12 1 + 11·12 2 = 10 + 36 + 1584 = 1630 (X)

15 W systemie szesnastkowym używa się pierwszych 10 cyfr systemu dziesiętnego, a następnie pierwszych sześciu liter alfabetu łacińskiego.

16 Zamiany liczby w systemie dziesiętnym na system szesnastkowy można dokonać poprzez wielokrotne dzielenie przez 16 i spisywanie reszt z dzielenia. Przy ilorazie równym zero należy spisać ostatnią resztę i odczytać ciąg utworzony z reszt zaczynając od ostatniej, kończąc na pierwszej. 268 ÷ 16 = 16 Reszty 16 ÷ 16 = 1 1 ÷ 16 = 0 C (12) 0 1

17 Zamienianie liczby z szesnastkowego systemu na dziesiątkowy polega na mnożeniu każdego składnika przez kolejne potęgi liczby 16 i zsumowaniu go na końcu.

18

19

20 6211111 + 50 + 11001 = 112 = 010011 11111

21 AB1 +6B2 2 + 1 : 12 = 0 reszta 3 11 + 11 : 12 = 1 reszta 10 1 + 10 + 6 : 12 = 1 reszta 5 1: 12 = 0 reszta 1 15A3

22 BB28 FD2 19E8 11 Proces dodawania występuje podobnie jak w systemie dziesiętnym, gdzie resztę przenosi się do następnej kolumny (tu wynosi ona szesnaście). Dodawanie w systemie szesnastkowym Dla porównania dodawanie w systemie dziesiątkowym 3 3 6 5 7 7 4 62 35 97 2DF = 735 8BB2 = 35762 8E91 = 36497

23

24 ODEJMOWANIE Z POŻYCZENIEM JEDYNKI 27111 -22-10110 =5= 10 1 1 0o 0 10 100 16 +15-1111 == 1010 11010 1 1010 10 0000 0 0001 11 1

25 AB1 - 6B2 3BB 1 – 2 11 – 11 10 - 6 13 10 25 21 9 23 : 12 = 1 reszta 11 1 + 10 : 12 = 0 reszta 11 3 : 12 = 0 reszta 3

26 8BB2 8E9 Odejmowanie, podobnie jak w systemie dziesiętnym, dokonuje się począwszy od prawej kolumny. Z jedną małą zmianą, że tu całość przy pożyczaniu jest równa szesnaście. 816 +1 F 8 16 + 8 D D D 2 13 3 6 5 479 762 Odejmowanie w systemie szesnastkowym Dla sprawdzenia odejmowanie w systemie dziesiątkowym 735 8E91 = 36497 8BB2 = 35762 2DF = 735

27

28 *01 000 101 A oto cała tabliczka mnożenia w systemie dwójkowym.

29 1101 · 1011 -0 1011 1 0 1 1 111 0 0 0 00 + 111 1 1 11 0001= 13 · 11 = 143

30 23456789AB 2468A10121416181A 3691013161920232629 48101418202428303438 5A131821262B34394247 610162026303640465056 71219242B364148535A65 814202834404854606874 916233039465360697683 A18263442505A68768492 B1A2938475665748392A1

31 AB1 x B By pomnożyć przez siebie dwie liczby w systemie dwunastkowym należy skorzystać z tabliczki mnożenia systemu dwunastkowego. Zasady mnożenia pozostają te same co w dziesiątkowym, czyli liczba dziesiątek przechodzi dalej. B x 1 = B B x B = A1 ( 1 zostaje A przechodzi) 1 B x A = 92 + A (11) = A1 ( 1 zostaje A przechodzi) 1 = A (10) A11B ?

32 123456789ABCDEF 1123456789ABCDEF 22468ACE10121416181A1C1e 3369CF1215181b1e2124272A2d 448C1014181c2024282c3034383c 55AF14191e23282d32373C41464b 66C12181e242a30363c42484E545a 77E151c232a31383f464d545B6269 881018202830384042505860687078 99121b242d363f42515a636C757E87 AA141e28323c46505a646e78828C96 BB16212c37424d58636e79848F9AA5 CC1824303c4854606c7884909CA8B4 DD1a2734414e5b6875828f9CA9B6C3 EE1c2a38465462707e8c9aA8B6C4D2 Ff1e2d3c4b5a69788796 A5A5B4C3D2E1

33 Mnożenie w systemie szesnastkowym jest tak samo proste je w systemie dziesiętnym. Po prostu przenosimy całości do następnej kolumny 456 × A A × 6 = 3C A × 5+3=32+3=35 A × 4+3=28+3=2B 3 przenosimy dalej gdyż jest cyfrą całości 2B5C

34

35 - = - 1 0 1 1 1 1Wynik to 10 reszty 1 1 1 1 0 00 0 0 0

36 - = - = - = 1 100 0 00 10 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 00 0 1010 : 11 = 11 reszty 1

37 Cyfr które używamy obecnie to 1,2,3,4,5,6,7,8,9 i 0. Mówimy na nie cyfry arabskie, chociaż 0 arabowie zaczerpnęli od matematyków hinduskich. W większości kalendarzy nie ma roku zerowego. Rok przed 1 rokiem naszej ery nazywany jest 1 rokiem przed naszą erą. Już w trzecim tysiącleciu p.n.e. używano w Egipcie hieroglifów do oznaczania jednostek, dziesiątek i tak dalej aż do 10 000. Innych cyfr używano w Babilonii, jeszcze innych w starożytnej Grecji i Rzymie. Zero powstało później od innych liczb, ponieważ ludziom żyjącym wtedy trudno było uznać ją za liczbę.

38

39 Wynik Czynnik 462x67=? Mnożenie hinduskie jest to mnożenie podobne do mnożenia z kreską z tą różnicą, że w mnożeniu hinduskim nie trzeba przenosić cyfr w pamięci.

40

41 Najstarszym znanym dokumentem, zawierającym zapisy liczb w Egipcie jest pomnik pochodzący z początku I dynastii, wystawiony dla uczczenia zwycięstwa; odczytane na nim, hieroglify podają liczby: 120 000 wziętych jeńców, 400 000 zdobytych sztuk bydła rogatego oraz 1 422 000 zdobytych kóz.

42 1- | 10.000– 10- 100.000- 100– 1.000.000- 1.000- - 10.000.000-

43 || 562= || 439= ||||||||| 439= ||||||||| 290= 290= 1247= ||||||| 1247= |||||||

44 Sposób zapisu liczb w Grecji pochodzi z Miletu. Polegał on na oznaczaniu liczb za pomocą cyfr alfabetu greckiego. Wyjątek stanowiły liczby 6, 90, 900. Gdyż były to liczby semickie. Następne dziewięć liter oznaczało pełne dziesiątki. Następne pełne setki. Natomiast do oznaczenia tysięcy przed każdą liczbę stawiano przecinek np.,α= 1000,β= 2000, γ= 3000 itd. 123456789 αβγ δε Ϝ ξη θ

45 Rzymianie początkowo zapisywali liczby za pomocą pionowych kresek, później używali liter. W końcu wszedł w użycie do dziś powszechnie znany system rzymski. Główne znaki: 1=I 5=V 10=X 500=L 100=C 500=D 1000=M. Pomimo skomplikowanego zapisu liczb Rzymianie potrafili sprawnie wykonać działania, ponieważ wykonując choćby tak proste działania, jak dodawanie i odejmowanie liczb całkowitych, najczęściej nie zapisywali rachunków. Jak więc liczyli? Liczyli, używając pierwszej na świecie maszyny do liczenia…

46 Abakus była to początkowo tablica, na której znajdowały się w jednakowych odstępach równoległe rysy. Na tablicach tych, za pomocą kamyków wykonywano rachunki w układzie dziesiątkowym.

47 57 5 JEDNOŚCI ZAPIS LICZBY 57 IOZNACZENIE KOLUMNII IIIIV V 110 100 1.00 0 10.00 0 VI 100.00 0

48 3089 ZAPIS LICZBY JEDNOŚCI 5 980 3 110 100 1.00 0 III IIIIV VVI

49 Tak to jest 32.400.121 (trzydzieści dwa miliony czterysta tysięcy sto dwadzieścia jeden)

50 Na czym polegało dodawanie i odejmowanie na abakusie.Łatwo można sobie wyobrazić, gdyż jest podobne do stosowanego obecnie. 57 1 3089 1101001.00 0 IIIIIIIVV Odczytanie wyniku powinno być proste BRAWO 3 6 4

51 I II III IVVVIVII Kolorem czerwonym zaznaczono numery kolumn. Jest to niesłychanie ważne.

52 Do przedstawienia na przykładzie posłużą nam znane już wcześnie liczby – 57 i 3089. Dla przypomnienia pokażę ponownie slajd 45 i 46 aby zwrócić uwagę na numery kolumn, w których umieszczono kamyki. Mnożenie rozpoczynano od jednostek najwyższych: obliczamy iloczyn 3 * 5 = 15 i tu nasuwa się problem: w której kolumnie umieścić 15 i dalsze częściowe iloczyny? Rozstrzygnięcie znał już Archimedes – częściowy iloczyn umieszczamy w kolumnie, której numer otrzymujemy, sumując numery kolumn, w których znajdują się czynniki i odejmując jeden. Proste, prawda?

53 I II IIIIV V VI 57 IIIIIIIVVVI 3089 Ponieważ 3 znajduje się w kolumnie IV, a 5 w kolumnie II, więc iloczyn 15 umieścić należy w kolumnie opatrzonej numerem 4+2-1=5, tzn. w piątej. Lecz 15 = 5 + 10, a więc 5 umieszczamy w kolumnie piątej, a 10 umieszczamy w kolumnie wyższego rzędu. Dalej postępujemy podobnie. Kolejne działania oznaczamy różnymi znakami.

54 I II III IVVVIVII 3*5=15 4+2-1=5 Kolejne iloczyny Numery kolumny Oznaczenie 1 10 100 1000 100000 1000 0 (Φ)(Φ) (Φ)(Φ) ((Φ)) c c X X I I Wartość Symbol

55 I II III IVVVIVII 3*7=21 4+1-1=4 Kolejne iloczyny Numery kolumny Oznaczenie 1 10 100 1000 100000 1000 0 (Φ)(Φ) (Φ)(Φ) ((Φ)) c c X X I I Wartość Symbol

56 I II III IVVVIVII 0*57=0 Kolejne iloczyny Numery kolumny Oznaczenie 1 10 100 1000 100000 1000 0 (Φ)(Φ) (Φ)(Φ) ((Φ)) c c X X I I Wartość Symbol

57 I II III IVVVIVII 8*5=40 2+2-1=3 Kolejne iloczyny Numery kolumny Oznaczenie 1 10 100 1000 100000 1000 0 (Φ)(Φ) (Φ)(Φ) ((Φ)) c c X X I I Wartość Symbol

58 I II III IVVVIVII 8*7=56 2+1-1=2 Kolejne iloczyny Numery kolumny Oznaczenie 1 10 100 1000 100000 1000 0 (Φ)(Φ) (Φ)(Φ) ((Φ)) c c X X I I Wartość Symbol

59 I II III IVVVIVII 9*5=45 1+2-1=2 Kolejne iloczyny Numery kolumny Oznaczenie 1 10 100 1000 100000 1000 0 (Φ)(Φ) (Φ)(Φ) ((Φ)) c c X X I I Wartość Symbol

60 I II III IVVVIVII 9*7=63 1+1-1=1 Kolejne iloczyny Numery kolumny Oznaczenie 1 10 100 1000 100000 1000 0 (Φ)(Φ) (Φ)(Φ) ((Φ)) c c X X I I Wartość Symbol

61 I II III IVVVIVII (Φ)(Φ)((Φ)) c X I 1 I Aby otrzymać ostateczny wynik mnożenia musimy dodać symbole oznaczające wyniki częściowych iloczynów. Należy przypomnieć, że Rzymianie wykonywali działania w systemie dziesiątkowym.

62 I II III IVVVIVII (Φ)(Φ)((Φ)) c X I Teraz wystarczy spisać wartości z kamyków w tabeli dolnej cały czas pamiętając, że górne mają wartość 5 a dolne jednostkowe. (1) (5+2) (5+1) (o) (5+2) (3) I II III IVVVI 17607 3

63

64 Liczby babiloński są właściwie kombinacjami dwóch znaków : jedynki i dziesiątki. Za pomocą tych znaków zapisywano takie liczby jak tysiąc, także każdą inną liczbę Pierwszy symbol zera zapoczątkowali Babilończycy. Do tego używali oni znaku podwójnej pochyłej jedynki ( )

65 Liczby zapisywano przy pomocy odpowiedniej kombinacji znaków jedynki i dziesiątki.

66 Zapis babiloński jest dość nie dokładny, gdyż jedną cyfrę systemu dziesiątkowego można zapisać na kilka sposobów, a z tego mogą rodzić się błędy. Liczbę 30 można zapisać tak 10+10+10 albo tak 3×10 Natomiast liczbę 53 zapiszemy tak 50 + 3

67 4 × 100 + 20 + 8 2 × 1000 + 3 × 100 +10 + 6

68 PODSUMOWANIE Dzięki pracy przy tym projekcie poznaliśmy algorytm, który pozwolił nam zrozumieć zasadę zamiany liczb również w innych systemach liczbowych.

69 PODSUMOWANIE Nad realizacją projektu pracowała cała nasza grupa oraz trzech młodszych kolegów z klasy II, którzy byli bardzo zainteresowani tematem.

70 BIBLIOGRAFIA Czasopismo: Matematyka w szkole Internet S. Kowal : Przez rozrywkę do wiedzy Własne przemyślenia i opracowania.

71 Publikacja jest współfinansowana przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego Prezentacja jest dystrybuowana bezpłatnie Projekt Z FIZYKĄ, MATEMATYKĄ I PRZEDSIĘBIORCZOŚCIĄ ZDOBYWAMY ŚWIAT !!! jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego Program Operacyjny Kapitał Ludzki 2007-2013 CZŁOWIEK – NAJLEPSZA INWESTYCJA


Pobierz ppt "Publikacja jest współfinansowana przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego Prezentacja jest dystrybuowana bezpłatnie Projekt."

Podobne prezentacje


Reklamy Google