Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Projekt AS KOMPETENCJI jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego Program Operacyjny Kapitał Ludzki.

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "Projekt AS KOMPETENCJI jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego Program Operacyjny Kapitał Ludzki."— Zapis prezentacji:

1 Projekt AS KOMPETENCJI jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego Program Operacyjny Kapitał Ludzki CZŁOWIEK – NAJLEPSZA INWESTYCJA Publikacja jest współfinansowana przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego Prezentacja jest dystrybuowana bezpłatnie

2 DANE INFORMACYJNE Nazwa szkoły: ZESPÓŁ SZKÓŁ PONADGIMNAZJALNYCH ID grupy: 97/53_MF_G2 Kompetencja: MATEMATYCZNO-FIZYCZNA Temat projektowy: KOMBINATORYKA W RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA Semestr/rok szkolny: SEMESTR II/2010/2011

3 KOMBINATORYKA W RACHUNKU PRAWDOPODOBIENSTWA Cele jakie postawiliśmy sobie w tym temacie: Znalezienie i zaprezentowanie podstawowych definicji i twierdzeń w kombinatoryce wraz z przykładami, wzorami i dowodami. Pokazanie zastosowania poszczególnych metod kombinatorycznych w rachunku prawdopodobieństwa. Stworzenie prezentacji multimedialnej stanowiącej pomoc dydaktyczną dla nauczyciela przy wprowadzaniu treści z kombinatoryki i rachunku prawdopodobieństwa podczas lekcji matematyki.

4 SPIS TREŚCI 1. Zasada mnożenia Zasada mnożenia 2. Wariacje z powtórzeniami Wariacje z powtórzeniami 3. Wariacje bez powtórzeń Wariacje bez powtórzeń 4. Permutacje Permutacje 5. Kombinacje Kombinacje 6. Prawdopodobieństwo klasyczne Prawdopodobieństwo klasyczne

5 ELEMENTY KOMBINATORYKI Dwa znaki budują dwa domy, trzy budują sześć domów, cztery budują dwadzieścia cztery domy; pięć buduje sto dwadzieścia domów. Od tego wyjdź i rozważaj dalej to, czego usta nie mogą wymówić i ucho nie może usłyszeć. Sefer Jecira – Księga Stworzenia Jak widać, elementy kombinatoryki znane były już jakieś 1800 lat temu.

6 1. ZASADA MNOŻENIA Przykład 1.1 Ile jest różnych tablic rejestracyjnych, jeżeli każda z nich zawiera trzy litery alfabetu łacińskiego i pięć cyfr? Wszystkie tablice można otrzymać tak: Pierwszą literę wybieramy na 26 sposobów, drugą i trzecią też na 26 sposobów. Część literową można zatem wybrać na 26 3 =17576 sposobów. Podobnie stwierdzamy, że możliwych układów cyfr jest W rezultacie mamy możliwych tablic rejestracyjnych. 26 · 26 · 26 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 =

7 Z tego typu rozumowaniem spotykamy się w prawie każdym zadaniu kombinatorycznym. Opiera się ono na następującym twierdzeniu. Twierdzenie 1.1 (Zasada mnożenia). Jeśli pewną czynność wykonuje się w k – etapach, przy czym: etap 1 można wykonać na n 1 sposobów, etap 2 na n 2 sposobów, …, wreszcie k-ty etap na n k sposobów, to liczba N sposobów, jakimi można wykonać tę czynność wyraża się wzorem: N=n 1 · n 2 · … · n k 1. ZASADA MNOŻENIA

8 Możliwe wyniki to: VII IIIIIIVVVII VIIIIXXXIXII Przykład 1.2 Rzucamy jedną kostką do gry i monetą. Ile jest możliwych wyników tego doświadczenia? Jest ich 12.

9 1. ZASADA MNOŻENIA Przykład 1.2 Rzucamy jedną kostką do gry i monetą. Ile jest możliwych wyników tego doświadczenia? Jednak nie zawsze jesteśmy w stanie wypisać wszystkie możliwości, wówczas warto skorzystać z zasady mnożenia. 6 możliwych wyników w rzucie kostką, 2 możliwe wyniki w rzucie monetą, zatem wszystkich możliwych wyników tego doświadczenia jest

10 1. ZASADA MNOŻENIA Przykład 1.3 Ile jest możliwych wyników doświadczenia polegającego na trzykrotnym rzucie monetą? Poniższe drzewko jest ilustracją graficzną tego doświadczenia możliwe wyniki w drugim rzucie. 2 możliwe wyniki w trzecim rzucie. 2 możliwe wyniki w pierwszym rzucie.

11 1. ZASADA MNOŻENIA Przykład 1.3 Ile jest możliwych wyników doświadczenia polegającego na trzykrotnym rzucie monetą? Korzystając z zasady mnożenia mamy: 2 możliwe wyniki w pierwszym rzucie. 2 możliwe wyniki w trzecim rzucie. 2 możliwe wyniki w drugim rzucie.

12 1. ZASADA MNOŻENIA Korzystając z zasady mnożenia łatwo policzyć, że: możliwych wyników doświadczenia polegającego na pięciokrotnym rzucie monetą jest możliwych wyników doświadczenia polegającego na trzykrotnym rzucie kostką do gry jest Po 6 możliwych wyników w każdym rzucie.

13 2. WARIACJE Z POWTÓRZENIAMI Przykład 2.1 Ile jest kodów stworzonych z trzech liter wybranych spośród następujących: A, B, C, D, E, przy czym litery mogą się powtarzać? Mamy do dyspozycji 5 liter: ______ ______ ______ 1 litera 2 litera 3 litera Wyboru pierwszej litery możemy dokonać na 5 sposobów. Niech to będzie litera D. Ponieważ litery mogą się powtarzać, to wyboru drugiej litery możemy dokonać również na 5 sposobów i ponownie możemy wybrać literę D. Wyboru trzeciej litery możemy dokonać również na 5 sposobów. Niech to będzie litera B. sposobów Zatem wszystkich takich trzyliterowych kodów jest…

14 2. WARIACJE Z POWTÓRZENIAMI Przykład 2.2 Ile jest wszystkich liczb czterocyfrowych, w których zapisie mogą występować tylko cyfry: 1, 2, 3, 4, przy czym cyfry mogą się powtarzać? Ponieważ cyfry mogą się powtarzać, to na każdym etapie wyboru, mamy do dyspozycji wszystkie cztery cyfry.

15 2. WARIACJE Z POWTÓRZENIAMI Definicja 2.1 K-elementową wariacją z powtórzeniami zbioru Y nazywamy każdą funkcję f: {1,2,…,k} Y Definicja 2.2 K-elementową wariacją z powtórzeniami zbioru Y nazywamy każdy k-wyrazowy ciąg, w którym wyrazy mogą się powtarzać, utworzony z elementów zbioru Y. Każda funkcja f określona na zbiorze {1,2,…,k} wyznacza jednoznacznie ciąg o wyrazach f(i), dla 1 i k i odwrotnie, każdy k- wyrazowy ciąg elementów zbioru Y wyznacza funkcję f:{1,2,…,k}Y. Zamiast o funkcjach można więc mówić o ciągach, zatem powyższą definicję możemy zapisać następująco:

16 2. WARIACJE Z POWTÓRZENIAMI Liczbę k-elementowych wariacji z powtórzeniami zbioru n- elementowego będziemy oznaczać symbolem Opisane w przykładzie 2.1 ciągi liter tworzące kody i w przykładzie 2.2 ciągi cyfr tworzące liczby, to przykłady wariacji z powtórzeniami. Ćwiczenie 2.1 Ile jest wszystkich dwuelementowych wariacji z powtórzeniami zbioru dziesięcioelementowego?

17 2. WARIACJE Z POWTÓRZENIAMI Ćwiczenie 2.2 Ile jest wszystkich dziesięcioelementowych wariacji z powtórzeniami zbioru dwuelementowego? Ćwiczenie 2.3 Na ile sposobów 6 osób może wysiąść z windy, która zatrzymuje się na 9 piętrach? Ćwiczenie 2.4 Do 3 szuflad wrzucamy 8 kul. Na ile sposobów można rozmieścić te kule (kule i szuflady rozróżniamy)?

18 Twierdzenie 2.1 Dowód. Przypomnijmy, że k-elementowe wariacje z powtórzeniami to k- wyrazowe ciągi o wyrazach z n-elementowego zbioru Y. Pierwszy wyraz ciągu możemy wybrać spośród n elementów zbioru Y. Wyboru każdego następnego wyrazu ciągu możemy dokonać również na n sposobów, gdyż wyrazy mogą się powtarzać. Zatem korzystając z zasady mnożenia (tw. 1.1), mamy: 2. WARIACJE Z POWTÓRZENIAMI k razy

19 3. WARIACJE BEZ POWTÓRZEŃ Przykład 3.1 Ile jest kodów stworzonych z trzech liter wybranych spośród następujących: A, B, C, D, E, F, G, przy czym litery nie mogą się powtarzać? ______ ______ ______ 1 litera 2 litera 3 litera Mamy do dyspozycji 7 liter: Wyboru pierwszej litery możemy dokonać na 7 sposobów. Wyboru drugiej litery możemy dokonać na 6 sposobów. Wyboru trzeciej litery możemy dokonać na 5 sposobów. Zatem wszystkich takich trzyliterowych kodów jest… sposobów

20 3. WARIACJE BEZ POWTÓRZEŃ Przykład 3.2 Czteroliterowych kodów, utworzonych z 26 liter alfabetu, w których żadna litera się nie powtarza, jest… Na początku mamy do dyspozycji 26 liter. Jedna litera jest już wybrana, więc pozostało nam ich 25. Wyboru trzeciej litery możemy dokonać na 24 sposoby. A czwartej już na 23 sposoby.

21 3. WARIACJE BEZ POWTÓRZEŃ Opisane w przykładzie 3.1 i 3.2 ciągi liter tworzące kody to przykłady wariacji bez powtórzeń. Definicja 3.1 K-elementową wariacją bez powtórzeń n- elementowego zbioru Y, gdzie 0kn, nazywamy każdą funkcję różnowartościową f: {1,2,…,k} Y. Definicja 3.2 K-elementową wariacją bez powtórzeń n- elementowego zbioru Y, gdzie 0kn, nazywamy każdy k- wyrazowy ciąg, utworzony z różnych elementów zbioru Y. Mówiąc o ciągach powyższą definicję możemy zapisać następująco:

22 3. WARIACJE BEZ POWTÓRZEŃ Liczbę k-elementowych wariacji bez powtórzeń zbioru n- elementowego będziemy oznaczać symbolem Ćwiczenie 3.1 Ile jest liczb trzycyfrowych, w których zapisie nie występuje cyfra zero i cyfry się nie powtarzają?

23 Twierdzenie 3.1 Dowód. Mamy tu do czynienia z k-elementowymi ciągami o różnych wyrazach z n-elementowego zbioru Y. Oczywiście. Łatwo zauważyć, że Istotnie, jeżeli wybierzemy już k-elementowy ciąg o różnych wyrazach, to następny element możemy wybrać spośród pozostałych n-k elementów ze zbioru Y, a zatem na n-k sposobów. 3. WARIACJE BEZ POWTÓRZEŃ

24 Twierdzenie 3.1 Dowód. Dlatego 3. WARIACJE BEZ POWTÓRZEŃ

25 Ćwiczenie 3.2 Oblicz:

26 4. PERMUTACJE Przykład 4.1 Na ile sposobów można ustawić na półce trzy różne książki? Oznaczmy książki numerami: 1, 2, 3. Możliwe sposoby to: Trzy książki możemy ustawić na 6 sposobów. IIIIIIIVVVI

27 4. PERMUTACJE Przykład 4.2 Na ile sposobów można ustawić na półce cztery różne książki? Podobnie jak w przykładzie 2.1 (tylko mniej obrazkowo ) oznaczamy książki numerami: 1, 2, 3, 4 i wypisujemy wszystkie możliwe ustawienia: Cztery książki możemy ustawić na 24 sposoby

28 Definicja 4.1 Permutacją n-elementowego zbioru Y nazywamy każdą funkcję f, odwzorowującą zbiór {1,2,…,n} na zbiór Y Definicja 4.2 Permutacją n-elementowego zbioru Y nazywamy każdy n-wyrazowy ciąg utworzony ze wszystkich elementów tego zbioru. 4. PERMUTACJE Mówiąc o ciągach powyższą definicję możemy zapisać następująco:

29 4. PERMUTACJE Podsumowując, w przykładzie 4.1 podaliśmy wszystkie trzywyrazowe ciągi, jakie można utworzyć, przestawiając liczby: 1, 2, 3. Są to permutacje 3-elementowego zbioru Y={1,2,3}. W przykładzie 4.2 podaliśmy wszystkie czterowyrazowe ciągi, jakie można utworzyć, przestawiając liczby: 1, 2, 3, 4. Są to permutacje 4-elementowego zbioru Y={1,2,3,4}. Liczbę permutacji zbioru n-elementowego będziemy oznaczać symbolem

30 4. PERMUTACJE Twierdzenie 4.1 Definicja 4.3 Dla n>1 symbol n! (czyt. n silnia) oznacza iloczyn kolejnych liczb naturalnych od 1 do n: n!=1·2·3·…·n Przyjmujemy również, że 0!=1 i 1!=1.

31 4. PERMUTACJE Twierdzenie 4.1 Dowód. Zauważmy, że permutacje zbioru n-elementowego to szczególny przypadek wariacji bez powtórzeń, mianowicie n-elementowych wariacji bez powtórzeń zbioru n-elementowego. Zatem:

32 4. PERMUTACJE Ćwiczenie 4.1 Pięciu przyjaciół wybrało się do kina. Na ile sposobów mogą usiąść na pięciu miejscach? Ćwiczenie 4.3 Na ile sposobów można ustawić pięć dziewcząt i czterech chłopców w kolejce, jeśli dziewczęta stoją na początku kolejki? Ćwiczenie 4.2 Na ile sposobów można umieścić siedmiu więźniów w siedmiu izolatkach?

33 5. KOMBINACJE Przykład 5.1 Ile partii szachów rozegrano wśród pięciu zawodników, jeśli każdy uczestnik rozegrał jedną partię z każdym z pozostałych? Oznaczmy uczestników numerami:

34 5. KOMBINACJE Rozegrane partie to: Przykład 5.1 Ile partii szachów rozegrano wśród pięciu zawodników, jeśli każdy uczestnik rozegrał jedną partię z każdym z pozostałych? Drugi grał już z 1 zawodnikiem, więc zagra partię z 3, 4 i 5 graczem. Pierwszy zawodnik zagra partię z 2, 3, 4 i 5 graczem. Trzeci gracz grał już z 2 i 3 zawodnikiem, więc zagra jeszcze z 4 i 5. Czwartemu pozostało zagrać jeszcze z 5 zawodnikiem. Łącznie rozegrano 10 partii szachów.

35 5. KOMBINACJE mianowicie: Każdy taki podzbiór nazywamy dwuelementową kombinacją zbioru pięcioelementowego. Rozegranych partii jest tyle samo co dwuelementowych podzbiorów zbioru

36 5. KOMBINACJE Przypomnijmy, że w przykładzie 5.1 takie dwie partie: to ta sama partia (kombinacja). Oznacza to, że przy podawaniu elementów kombinacji nie jest ważna kolejność, w jakiej są one wymieniane. Definicja. K-elementową kombinacją n-elementowego zbioru Y, gdzie 0kn, nazywamy każdy k-elementowy podzbiór zbioru Y.

37 5. KOMBINACJE Liczbę k-elementowych kombinacji zbioru n-elementowego będziemy oznaczać symbolem Twierdzenie 5.1

38 5. KOMBINACJE Twierdzenie 5.1 Dowód. Każdą k-elementową kombinację (podzbiór) można permutować na k! sposobów. Każdy powstały w ten sposób ciąg będzie k-elementową wariacją bez powtórzeń.

39 5. KOMBINACJE Twierdzenie 5.1 Dowód. Zatem: czyli skąd otrzymujemy:

40 5. KOMBINACJE Liczbę k-elementowych kombinacji zbioru n-elementowego oznacza się także za pomocą symbolu (czyt. n nad k), zwanym symbolem Newtona. Podsumowując

41 5. KOMBINACJE Ćwiczenie 5.1 Spotkało się dziesięcioro przyjaciół i każdy z każdym przywitał się uściskiem dłoni. Ile było powitań? Ćwiczenie 5.2 Ile otrzymamy prostych, jeśli poprowadzimy prostą przez każde dwa wierzchołki sześciokąta?

42 6. PRAWDOPODOBIEŃSTWO KLASYCZNE Mamy już za sobą poznanie różnych doświadczeń losowych. Poszczególne wyniki tych doświadczeń nazywamy zdarzeniami elementarnymi, a ich zbiór – przestrzenią zdarzeń elementarnych. Aby tradycji stało się zadość, przestrzeń zdarzeń elementarnych będziemy oznaczać przez wielką grecką literę a pojedyncze zdarzenia elementarne – małą literą

43 6. PRAWDOPODOBIEŃSTWO KLASYCZNE Definicja 6.1 Zdarzeniem losowym nazywamy dowolny podzbiór przestrzeni zdarzeń elementarnych Zdarzenia losowe będziemy oznaczać wielkimi literami: A, B, C itd. Elementy zdarzenia losowego nazywamy wynikami sprzyjającymi temu zdarzeniu. Aby lepiej zrozumieć powyższe pojęcia, przeanalizujmy prosty przykład.

44 6. PRAWDOPODOBIEŃSTWO KLASYCZNE Przykład 6.1 Rzucamy raz kostką do gry. Rozważmy zdarzenie losowe A – wyrzucono parzystą liczbę oczek. - zdarzenia elementarne - przestrzeń zdarzeń elementarnych

45 6. PRAWDOPODOBIEŃSTWO KLASYCZNE Przykład 6.1 Rzucamy raz kostką do gry. Rozważmy zdarzenie losowe A – wyrzucono parzystą liczbę oczek. Zatem Zdarzenia sprzyjające zdarzeniu A to:

46 6. PRAWDOPODOBIEŃSTWO KLASYCZNE Definicja 6.2 Jeżeli jest niepustym i skończonym zbiorem, to prawdopodobieństwem zdarzenia losowego nazywamy liczbę: gdzie - ilość zdarzeń elementarnych w przestrzeni (liczba elementów zbioru ) - ilość wyników sprzyjających zdarzeniu A (liczba elementów zbioru A)

47 6. PRAWDOPODOBIEŃSTWO KLASYCZNE Przykład 6.2 Windą zatrzymującą się na 6 piętrach jadą 4 osoby. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że każda osoba wysiądzie na innym piętrze. - 4-elementowe wariacje z powtórzeniami zbioru 6- elementowego - 4-elementowe wariacje bez powtórzeń zbioru 6- elementowego (każda osoba wysiądzie na innym piętrze)

48 6. PRAWDOPODOBIEŃSTWO KLASYCZNE Przykład 6.2 Windą zatrzymującą się na 6 piętrach jadą 4 osoby. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że każda osoba wysiądzie na innym piętrze. zatem Skoro: oraz Prawdopodobieństwo tego, że każda osoba wysiądzie na innym piętrze wynosi

49 6. PRAWDOPODOBIEŃSTWO KLASYCZNE Przykład 6.3 Z talii 52 kart losujemy bez zwracania trzy karty. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wylosujemy trzy asy. Doświadczenie polega na wylosowaniu trzech spośród 52 kart. Nie liczy się kolejność i karty się nie powtarzają, zatem: - dwuelementowe kombinacje zbioru 52 - elementowego

50 6. PRAWDOPODOBIEŃSTWO KLASYCZNE Przykład 6.3 Z talii 52 kart losujemy bez zwracania trzy karty. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wylosujemy trzy asy. Zdarzenie A polega na wylosowaniu dwóch asów. W talii są cztery asy, więc - dwuelementowe kombinacje zbioru czteroelementowego (dowolne dwa asy z czterech możliwych)

51 6. PRAWDOPODOBIEŃSTWO KLASYCZNE Przykład 6.3 Z talii 52 kart losujemy bez zwracania trzy karty. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wylosujemy trzy asy. zatem Skoro: oraz Prawdopodobieństwo wylosowania trzech asów wynosi

52 6. PRAWDOPODOBIEŃSTWO KLASYCZNE Przykład 6.4 Do biegu przystąpiło sześciu zawodników z numerami od 1 do 6. Jakie jest prawdopodobieństwo, że pierwsze miejsce zajmie zawodnik z numerem 3? Za wynik biegu uważamy kolejność przybycia zawodników na metę, zatem: - permutacje zbioru 6-elementowego - permutacje zbioru 5-elementowego (pierwszy przybiega zawodnik z numerem 3, a reszta w dowolnej kolejności)

53 6. PRAWDOPODOBIEŃSTWO KLASYCZNE Przykład 6.4 Do biegu przystąpiło sześciu zawodników z numerami od 1 do 6. Jakie jest prawdopodobieństwo, że pierwsze miejsce zajmie zawodnik z numerem 3? zatem Skoro: oraz Prawdopodobieństwo, że pierwsze miejsce zajmie zawodnik z numerem 3 wynosi

54 BIBLIOGRAFIA Wykaz najważniejszych źródeł, z których korzystaliśmy tworząc niniejszą prezentację: 1) J. Jakubowski, R. Sztencel, Rachunek prawdopodobieństwa dla (prawie) każdego, wyd. I, Script, Warszawa ) W. Krysicki, J. Bartos, W. Dyczka, K. Królikowska, M. Wasilewski, Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna w zadaniach, cz.I Rachunek prawdopodonieństwa, wyd.IX, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa ) W. Babiański, L. Chańko, J. Czarnowska, J. Wesołowska, Matematyka – kształcenie w zakresie podstawowym i rozszerzonym, Podręcznik dla liceum ogólnokształcącego, liceum profilowanego i technikum, Nowa Era, wyd.VI, Warszawa 2009.

55 PODSUMOWANIE Kombinatoryka, jako dział matematyki, urzekła nas swoją wielką odmiennością, niekończącą się ilością przykładów z życia codziennego i ciekawym sposobem myślenia. W niniejszej prezentacji nie byliśmy w stanie umieścić wszystkich przerobionych przez nas przykładów podczas zajęć projektowych, jednak mamy nadzieję, że jest ich wystarczająco i się wszystkim podobały.

56 PREZENTACJĘ DLA PAŃSTWA PRZYGOTOWALI: 1. Oliwia Grudziecka 2. Martyna Jakubowska 3. Joanna Opałka 4. Agata Pawłowska 5. Magdalena Socha 6. Daniela Świadek 7. Monika Wałkiewicz 8. Małgorzata Wyciślak 9. Magdalena Żurawska 10. Denis Özer

57 Dziękujemy za uwagę!

58 Projekt AS KOMPETENCJI jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego Program Operacyjny Kapitał Ludzki CZŁOWIEK – NAJLEPSZA INWESTYCJA Publikacja jest współfinansowana przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego Prezentacja jest dystrybuowana bezpłatnie


Pobierz ppt "Projekt AS KOMPETENCJI jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego Program Operacyjny Kapitał Ludzki."

Podobne prezentacje


Reklamy Google