Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Projekt AS KOMPETENCJI jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego Program Operacyjny Kapitał Ludzki.

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "Projekt AS KOMPETENCJI jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego Program Operacyjny Kapitał Ludzki."— Zapis prezentacji:

1 Projekt AS KOMPETENCJI jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego Program Operacyjny Kapitał Ludzki CZŁOWIEK – NAJLEPSZA INWESTYCJA Publikacja jest współfinansowana przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego Prezentacja jest dystrybuowana bezpłatnie

2 DANE INFORMACYJNE Nazwa szkoły: IX Liceum Ogólnokształcące w Poznaniu ID grupy:97/44_mf_g1 Kompetencja: matematyczno - fizyczna Temat projektowy: Kombinatoryka w rachunku prawdopodobieństwa. Semestr/rok szkolny: V / 2011/2012

3 SPIS TREŚCI ombinatoryki 1. Elementy kombinatoryki 2. Symbol n! 3. Permutacje 4. Wariacje bez powtórzeń 5. Wariacje z powtórzeniami 6. Kombinacje 7. Klasyczna definicja prawdopodobieństwa 8. Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa 9. Własności prawododobieństwa 10. Bibliografia SPIS TREŚCI

4 ELEMENTY KOMBINATORYKI Kombinatoryką nazywamy dziedzinę matematyki, której zadaniem jest obliczanie ilości zbiorów, w jakie można łączyć w określony sposób przedmioty (elementy) należące do danego zbioru skończonego. Powstała dzięki grom hazardowym, a swój rozwój zawdzięcza między innymi rachunkowi prawdopodobieństwa. Kombinatoryka posługuje się terminologią nie występującą w innych działach matematyki, stąd pozorna jej odrębność.

5 SYMBOL n! Symbol n! (czytaj: n silnia) oznacza liczbę 1, gdy n=0 lub n=1, natomiast gdy n2, oznacza iloczyn wszystkich liczb naturalnych od 1 do n włącznie. np.

6 Zadanie. Rozwiąż równanie : Rozwiązanie: Rozwiązaniem równania jest liczba 5.

7 PERMUTACJE Permutacją zbioru n – elementowego nazywamy każdy n - wyrazowy ciąg utworzony z wszystkich elementów tego zbioru. Liczba permutacji zbioru złożonego z n różnych elementów wyraża się wzorem: Dwie permutacje tego samego zbioru elementów różnią się między sobą kolejnością elementów.

8 PERMUTACJE - ZADANIA Zad.1. Ile różnych permutacji można utworzyć z elementów zbioru {a,b,c}? Rozwiązanie: Z trzech liter można utworzyć sześć różnych ciągów: (a,b,c), (b,a,c), (c,a,b), (a,c,b), (b,c,a), (c,b,a). Zatem: Zad.2. Na ile sposobów można ustawić w kolejce do kasy biletowej 6 osób? Rozwiązanie: Tworzymy sześciowyrazowe ciągi, czyli otrzymujemy permutacji. Zad.3. Ile wyrazów dziesięcioliterowych (mających sens lub nie) można utworzyć z wyrazu MATEMATYKA? Rozwiązanie: Tworzymy ciągi dziesięciowyrazowe, przy czym litera M występuje 2 razy, A – 3 razy, T - 2 razy zatem liczba różnych permutacji wynosi:

9 SYMBOL NEWTONA Symbolem Newtona (czytamy n po k) nazywamy wyrażenie: np.:

10 WARTO ZAPAMIĘTAĆ, ŻE:

11 Zadanie: Rozwiąż równanie: Rozwiązanie: kolejne liczby naturalne

12 KOMBINACJE Kombinacją k-elementową zbioru n-elementowego nazywamy każdy podzbiór k–elementowy tego zbioru, gdzie 0kn. Liczba różnych kombinacji k-elementowych spośród n elementów wyraża się wzorem:

13 KOMBINACJE - ZADANIA Zad.1. Na ile sposobów można wybrać trzy osobową delegację spośród 10 osób? Rozwiązanie: Tworzymy 3 elementowe podzbiory zbioru 10 elementowego zatem: Zad.2. W pudełku jest 50 długopisów, w tym 8 wadliwych. Na ile sposobów można wyjąć z pudełka 4 długopisy, tak aby wśród nich były co najmniej 3 wadliwe? Rozwiązanie:

14 WARIACJE BEZ POWTÓRZEŃ Ciąg k-wyrazowy, którego wszystkie wyrazy są różne i należą do n–elementowego zbioru Z (0kn), nazywamy k-elementową wariacją bez powtórzeń n-elementowego zbioru. Liczba wszystkich k-elementowych wariacji bez powtórzeń zbioru n-elementowego wyraża się wzorem:

15 WARIACJE BEZ POWTÓRZEŃ - ZADANIA Zad. 1. Ile jest możliwości posadzenia 6 osób na 10 krzesłach ustawionych w rzędzie? Rozwiązanie: Zad.2. Ile jest liczb pięciocyfrowych o niepowtarzających się cyfrach? Rozwiązanie:

16 WARIACJE Z POWTÓRZENIAMI Każdy k-wyrazowy ciąg o wyrazach należących do n – elementowego zbioru Z nazywamy k – elementową wariacją z powtórzeniami n-elementowego zbioru. Liczba wszystkich k-elementowych wariacji z powtórzeniami zbioru n-elementowego wyraża się wzorem:

17 WARIACJE Z POWTÓRZENIAMI - ZADANIA Zad.1. Rzucamy 3 razy sześcienną kostką do gry. Liczbę wyrzuconych oczek zapisujemy jako kolejną cyfrę liczby trzycyfrowej. Ile można otrzymać takich licz? Rozwiązanie: tworzymy 3 wyrazowe ciągi wybierając wyrazy z 6-elementowego zbioru, zatem: Zad.2. Ile jest możliwych wyników w rzucie 3 monetami? Rozwiązanie: tworzymy 3 wyrazowe ciągi z elementów zbioru {O,R}, zatem:

18 DOŚWIADCZENIE LOSOWE, ZDARZENIE LOSOWE Doświadczeniem losowym nazywamy takie doświadczenie, które może być powtarzane dowolnie wiele razy w warunkach identycznych i którego wynik nie daje się przewidzieć jednoznacznie. Wynik doświadczenia nazywamy zdarzeniem losowym, np.: - wypadnięcie orła w rzucie monetą, - uzyskanie parzystej liczby oczek przy rzucie kostką do gry, - wytypowanie dokładnie 5 liczb przy losowaniu w Lotto

19 ZBIÓR ZDARZEŃ ELEMENTARNYCH Zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych w danym doświadczeniu lodowym nazywamy przestrzenią zdarzeń elementarnych i oznaczamy. Np. Doświadczenie polega na rzucie symetryczną kostką do gry. Zbiór zdarzeń elementarnych ={1,2,3,4,5,6} Liczba zdarzeń elementarnych wynosi:

20 ZDARZENIE LOSOWE JAKO PODZBIÓR ZBIORU ZDARZEŃ ELEMENTARNYCH O zdarzeniach elementarnych, które są elementami ustalonego zdarzenia mówimy, sprzyjają zdarzeniu A. Zdarzenie nazywamy pewnym, jeżeli zbiorem zdarzeń sprzyjających jest zbiór, np. wyrzucenie liczby oczek mniejszej od 7 w rzucie kostką do gry Zdarzenie nazywamy niemożliwym, jeżeli zbiorem zdarzeń sprzyjających jest zbiór pusty, np. wyrzucenie liczby oczek większej od 6 w rzucie kostką do gry

21 AKSJOMATYCZNA DEFINICJA PRAWDOPODOBIEŃSTWA Jeżeli każdemu zdarzeniu jest przyporządkowana dokładnie jedna liczba P(A) taka, że: Dla każdej pary wykluczających się zdarzeń zachodzi 3. to mówimy, że w zbiorze określone jest prawdopodobieństwo, a liczbę P(A) nazywamy prawdopodobieństwem zdarzenia A.

22 KLASYCZNA DEFINICJA PRAWDOPODOBIEŃSTWA Jeżeli jest skończonym zbiorem zdarzeń elementarnych jednakowo prawdopodobnych A, to prawdopodobieństwem zdarzenia A nazywamy liczbę:

23 WŁASNOŚCI PRAWDOPODOBIEŃSTWA Niech będzie danym zbiorem zdarzeń elementarnych, zaś P prawdopodobieństwem określonym w zbiorze i A,B. Wówczas: a) P( )=0 b) Jeżeli A B, to P(A)P(B), c) Dla każdego A zachodzi nierówność P(A)1, d) P(A)+P(A)=1 e) P(A B)=P(A)+P(B)-P(A B)

24 PRZYKŁADY OBLICZANIA PRAWDOPODOBIEŃSTW Zad.1. Z talii 52 kart wyciągamy losowo jedną. Jakie jest prawdopodobieństwo, że będzie to: a) As b) Trefl lub walet? Rozwiązanie:

25 PRZYKŁADY - C.D. Zad.2. Rzucamy dwukrotnie symetryczna monetą. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania: a) Dokładnie jednego orła, b) Co najwyżej jednego orła. Rozwiązanie: ={( O,O), (O,R), (R,O), (R,R)},

26 PRZYKŁADY – C.D. Zad. 3. Z urny zawierającej 3 kule białe i 4 czarne losujemy kolejno 2 kule (bez zwracania). Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania kul różnokolorowych. Rozwiązania (metoda drzewa) bc bbc c

27 BIBLIOGRAFIA Zbiór zadań z rachunku prawdopodobieństwa, S.Słowikowski Matematyka dla klasy III liceum i technikum, R. Kalina, T. Szymański Encyklopedia Szkolna Matematyka

28 Dziękujemy za uwagę!


Pobierz ppt "Projekt AS KOMPETENCJI jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego Program Operacyjny Kapitał Ludzki."

Podobne prezentacje


Reklamy Google