Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

ELEMENTY MECHANIKI KWANTOWEJ Paweł Sankowski MSN Toruń 2006 UNIWERSYTET MIKOŁAJA KOPERNIKA Pracownia Dydaktyki Fizyki Tylko do użytku dydaktycznego. Copyright.

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "ELEMENTY MECHANIKI KWANTOWEJ Paweł Sankowski MSN Toruń 2006 UNIWERSYTET MIKOŁAJA KOPERNIKA Pracownia Dydaktyki Fizyki Tylko do użytku dydaktycznego. Copyright."— Zapis prezentacji:

1 ELEMENTY MECHANIKI KWANTOWEJ Paweł Sankowski MSN Toruń 2006 UNIWERSYTET MIKOŁAJA KOPERNIKA Pracownia Dydaktyki Fizyki Tylko do użytku dydaktycznego. Copyright Paweł Sankowski

2 SPIS TREŚCI 1. Po co się uczyć fizyki kwantowej? 2. Narodziny i rozwój teorii kwantów 2.1. Hipoteza Plancka 2.2. Zjawisko fotoelektryczne zewnętrzne 2.3. Fale deBrogliea 2.4. Zasada nieoznaczoności Heisenberga 3. Postulaty mechaniki kwantowej 4. Atom wodoru – opis kwantowy 5. Zakończenie 6. Bibliografia Copyright Paweł Sankowski

3 1. Po co się uczyć fizyki kwantowej? Wielki sukces fizyki kwantowej wiąże się z prawidłowym opisem następujących zjawisk: dyfrakcja, interferencja światła i strumieni cząstek (podstawa optyki kwantowej, elektrodynamiki kwantowej); szczegóły atomowej budowy materii, zwłaszcza struktury elektronowej pierwiastków (podstawa chemii kwantowej, fizyki ciała stałego); zjawiska rozpraszania i zderzeń w skali atomowej i subatomowej (podstawa fizyki jądrowej, fizyki cząstek elementarnych, kwantowej teorii pola, elektrodynamiki kwantowej, chromodynamiki kwantowej, standardowego modelu oddziaływań fundamentalnych); mikroskopowego opisu zjawisk transportu (przewodnictwo prądu w metalach i półprzewodnikach); zjawisk kolektywnych w skali makroskopowej (nadciekłość, nadprzewodnictwo, kondensacja Bosego-Einsteina, magnetyzm) Copyright Paweł Sankowski

4 2. Narodziny i rozwój teorii kwantów Fizyka kwantowa narodziła się w raz z pojęciem kwantu jako elementarnej porcji pewnej wielkości fizycznej. Jako pierwszy istnienie kwantu energii zapostulował Planck. W następnych latach ruszyła lawina kolejnych odkryć: Planck - promieniowanie ciała doskonale czarnego Planck - promieniowanie ciała doskonale czarnegoPlanck - promieniowanie ciała doskonale czarnego Einstein - zjawisko fotoelektryczne Einstein - zjawisko fotoelektryczne Einstein - zjawisko fotoelektryczneEinstein - zjawisko fotoelektryczne Bohr - kwantowa teoria widm Bohr - kwantowa teoria widm Bohr - kwantowa teoria widmBohr - kwantowa teoria widm Compton - rozpraszanie fotonów na elektronach Compton - rozpraszanie fotonów na elektronach Compton - rozpraszanie fotonów na elektronachCompton - rozpraszanie fotonów na elektronach Pauli - zakaz Pauliego Pauli - zakaz Pauliego Pauli - zakaz PauliegoPauli - zakaz Pauliego de Broglie - fale materii de Broglie - fale materii de Broglie - fale materiide Broglie - fale materii Schrodinger - równanie falowe Schrodinger - równanie falowe Schrodinger - równanie faloweSchrodinger - równanie falowe Heisenberg - zasada nieoznaczoności Heisenberg - zasada nieoznaczoności Heisenberg - zasada nieoznaczonościHeisenberg - zasada nieoznaczoności Davisson i Germer - własności falowe elektronu Davisson i Germer - własności falowe elektronu Davisson i Germer - własności falowe elektronuDavisson i Germer - własności falowe elektronu Born - interpretacja funkcji falowej Born - interpretacja funkcji falowej Born - interpretacja funkcji falowejBorn - interpretacja funkcji falowej Copyright Paweł Sankowski

5 2.1. Hipoteza Plancka Planck starał się odnaleźć zależność pomiędzy temperaturą ciała doskonale czarnego, a gęstością energii jego promieniowania. Prowadził w tym celu zarówno doświadczenia, jak i wyliczenia teoretyczne. Klasyczny wzór Rayleigh-Jeansa zgadzał się z doświadczeniem tylko dla dużych długości fali, natomiast dla małych odbiegał znacznie od danych doświadczalnych. Niezgodność ta nosi nazwę katastrofy w nadfiolecie. Otrzymanie wzoru zgodnego z wynikami doświadczeń wymagało wprowadzenia rewolucyjnego założenia, że energia emitowana bądź pochłaniana przez ciało jest skwantowana tzn. rozchodzi się w postaci porcji, paczek. Oznaczało to w praktyce, że energia jest wielkością nieciągłą i może się zmieniać tylko o ustalony skok. Wielkość tego skoku Planck wyznaczył matematycznie, wprowadzając nową stałą przyrody - h, nazwana stałą Plancka. Wielkość stałej Plancka jest mała i wynosi Planck starał się odnaleźć zależność pomiędzy temperaturą ciała doskonale czarnego, a gęstością energii jego promieniowania. Prowadził w tym celu zarówno doświadczenia, jak i wyliczenia teoretyczne. Klasyczny wzór Rayleigh-Jeansa zgadzał się z doświadczeniem tylko dla dużych długości fali, natomiast dla małych odbiegał znacznie od danych doświadczalnych. Niezgodność ta nosi nazwę katastrofy w nadfiolecie. Otrzymanie wzoru zgodnego z wynikami doświadczeń wymagało wprowadzenia rewolucyjnego założenia, że energia emitowana bądź pochłaniana przez ciało jest skwantowana tzn. rozchodzi się w postaci porcji, paczek. Oznaczało to w praktyce, że energia jest wielkością nieciągłą i może się zmieniać tylko o ustalony skok. Wielkość tego skoku Planck wyznaczył matematycznie, wprowadzając nową stałą przyrody - h, nazwana stałą Plancka. Wielkość stałej Plancka jest mała i wynosi h =6, Js. h =6, Js. Copyright Paweł Sankowski

6 2.2. Zjawisko fotoelektryczne zewnętrzne Zjawisko fotoelektryczne zostało odkryte w 1887 roku przez Heinrich Hertz, jednak nikt wówczas nie potrafił wyjaśnić tego zjawiska. W wyniku prowadzonych eksperymentów fizycy zaobserwowali, że pod wpływem działania światła na fotokatodę w skonstruowanym przez nich obwodzie pojawia się prąd elektryczny. Wnioskowali, że jest to efekt wybijania elektronów z materiału katody i stwierdzili, że dzieje się tak na skutek przekazania przez falę świetlną energii kinetycznej elektronom w materiale katody. Jednak sama natura zjawiska nadal wydawała się dość niejasna. W 1905 roku Albert Einstein założył (podobnie jak wcześniej Planck), że światło rozchodzi się w postaci elementarnych kwantów o energii takiej, jaka wynika ze wzoru Plancka. Te kwanty nazwał fotonami i przypisał im własności cząstek takie jak energię i pęd, przy czym założył, że masa spoczynkowa fotonu jest równa zeru. Matematyczna interpretacja zjawiska przez Einsteina wygląda następująco: Copyright Paweł Sankowski

7 W zjawisku fotoelektrycznym energia kinetyczna wybitych elektronów zależy wyłącznie od częstotliwości padającego promieniowania, natomiast ilość wybitych elektronów od natężenia padającego promieniowania. Pojedynczy elektron jest w stanie zaabsorbować jeden foton. Jeżeli energia tego fotonu jest mniejsza od pracy wyjścia to elektron nie opuści metalu. Jeśli jest większa to elektron opuści metal z pewną energią kinetyczną. Copyright Paweł Sankowski

8 2.3. Fale deBrogliea W 1925 roku francuski uczony Louis de Broglie wysunął niezwykle kontrowersyjną jak na owe czasy hipotezę, która cząstkom przypisywała własności falowe. O ile Planck 23 lata wcześniej swoją koncepcję przypisującą falom własności cząstek oparł na wynikach licznych obserwacji i doświadczeń, o tyle hipoteza de Broglie'a miała charakter czysto teoretyczny. Wyszedł on bowiem z założenia, że przyroda jest zadziwiająco symetryczna, wszechświat składa się wyłącznie ze światła i z materii, jeżeli światło ma dwoistą falowo-cząstkową naturę, być może materia też ma taką naturę. De Broglie założył, że długość przewidzianych fal materii jest określana tym samym związkiem który odnosi się do światła, wiążącym długość fali świetlnej (własność falową) z pędem fotonów (własnością cząstkową). Już rok później pojawiły się pierwsze pomysły na zbadanie falowych własności materii. Długość fali de Brogliea przedstawia równanie: Copyright Paweł Sankowski

9 Potwierdzeniem tego faktu było doświadczenie Davissona i Germera wykonane w 1927 roku, w którym przez układ dwóch szczelin przepuszczano pojedyncze elektrony w wyniku czego otrzymano obraz interferencyjny. Potwierdzeniem tego faktu było doświadczenie Davissona i Germera wykonane w 1927 roku, w którym przez układ dwóch szczelin przepuszczano pojedyncze elektrony w wyniku czego otrzymano obraz interferencyjny. Copyright Paweł Sankowski

10 2.4. Zasada nieoznaczoności Heisenberga Werner Heisenberg jako pierwszy sformułował problem dokładności obserwacji. W świecie makroskopowym sam fakt obserwowania nie zakłóca ruchu cząstek (ponieważ mają odpowiednio dużą masę w porównaniu ze stałą Plancka), o tyle w odniesieniu do elektronów sam fakt obserwacji wprowadza istotne zakłócenie trajektorii badanej cząstki. Dzieje się tak dlatego, ponieważ żeby dokonać obserwacji musimy "odbić" od elektronu światło, zaś każdy uderzający w elektron foton znacznie zakłóca jego rzeczywisty ruch. Heisenberg w 1925 roku ogłosił, że jeśli uda nam się dokładnie określić pęd cząstki, wówczas nic nie będziemy wiedzieć o jej rzeczywistym położeniu i vice versa. Im dokładniejszy pomiar jednej wielkości, tym bardziej "rozmyty" pomiar drugiej. Dwa lata później hipotetyczne stwierdzenie Heisenberga znalazło matematyczne potwierdzenie w ogłoszonej przez niego zasadzie nieoznaczoności, w której powiązał on pęd i położenie cząstek ze stałą Plancka, ukazując głęboki sens tej ostatniej, jako stałej określającej nasze możliwości pomiarowe. Matematyczna postać zasady nieoznaczoności Haisenberga ma postać: Copyright Paweł Sankowski

11 Przykładowo jeżeli mamy cząstkę swobodna poruszającą się w jednym wymiarze, to ponieważ nie działa na nią żadna siła jej pęd jest stały. Wówczas Założenie to wymaga aby Założenie to wymaga aby Położenie cząstki jest wobec tego nieokreślone. Copyright Paweł Sankowski

12 3. Postulaty mechaniki kwantowej Postulat 1 (o funkcji falowej) Stan układu kwantowo-mechanicznego o f stopniach swobody określa funkcja falowa ( nazywana też funkcją stanu ) taka, że oznacza prawdopodobieństwo, że w chwili czasu t wartości współrzędnych zawarte są w przedziałach od q1 do q1+dq1,…, od qf do qf+dqf. Copyright Paweł Sankowski

13 Postulat 2 (o operatorach) Każdej zmiennej dynamicznej A przyporządkowujemy pewien operator. Operatory tworzy się za pomocą reguł Jordana. Copyright Paweł Sankowski

14 Postulat 3 (o równaniu Schrődingera) Funkcja falowa spełnia równanie Schrődingera zależne od czasu gdzie jest operatorem energii całkowitej danego układu zwanym operatorem Hamiltona, hamiltonianem. Copyright Paweł Sankowski

15 Postulat 4 (o zagadnieniu własnym) Wynikiem pomiaru zmiennej dynamicznej A mogą być tylko wartości własne odpowiadającego jej operatora : Jeżeli hamiltonian nie zależy od czasu to funkcje falowe opisują stany stacjonarne czyli takie, w których gęstość prawdopodobieństwa nie zależy od czasu. Funkcje falowe odpowiadające stanom stacjonarnym spełniają równanie Schrődingera niezależne od czasu: Copyright Paweł Sankowski

16 Postulat 5 (o wartości średniej) Jeśli układ kwantowo-mechaniczny znajduje się w stanie opisywanym funkcją falową, (która nie jest funkcją własną operatora przyporządkowanego zmiennej dynamicznej A) to średnia wartość zmiennej A w tym stanie wynosi: W przypadku obliczania wartości średniej lub prawdopodobieństwa funkcje muszą być unormowane. Copyright Paweł Sankowski

17 4. Atom wodoru – opis kwantowy Do opisu układów kwantowo-mechanicznych wprowadza się układ jednostek atomowych, w których najważniejsze stałe wynoszą 1 j.at. Wielkość fizycznaWartość Jednostki SIJednostki atomowe Masam e = 9,109* kg m e = 1 j.at. Ładuneke = 1,602*10-19 Ce = 1 j.at. Stała Planckaħ = 1,055* Jsħ = 1 j.at. Długośća o = 5,292* m a o = 1 j.at. = 1 bohr EnergiaI o = 2,18* JI o = 0,5 j. at. = 0,5 hartree Copyright Paweł Sankowski

18 Atom wodoru traktujemy jako nieruchome jądro (proton) i poruszający się wokół niego elektron. Operator energii potencjalnej i kinetycznej wynoszą: Równanie Schrődingera niezależne od czasu opisujące elektron ma postać: Explicite, Copyright Paweł Sankowski

19 Żeby rozwiązać to równanie należy przejść to współrzędnych sferycznych. Można udowodnić, że równanie ma rozwiązanie o żądanych własnościach w następujących przypadkach: E > 0 – gdy elektron przelatuje w pobliżu jądra i oddala się do nieskończoności, E < 0 – odpowiada elektronowi związanemu z jądrem. Energia związanego elektronu wyraża się następująco: Copyright Paweł Sankowski

20 Funkcje własne równania Schrődingera zawierają trzy parametry Parametr n nazywamy główną liczbą kwantową, równy jest numerowi poziomu energii. Parametry l i m są to poboczna i magnetyczna liczby kwantowe, określające moduł momentu pędu i jego rzut na pewien kierunek z. Rozwiązania równania można otrzymać tylko dla następujących wartości liczb kwantowych: n = 1,2,3…główna liczba kwantowa l = 0,1,..,(n-1)poboczna liczba kwantowa m = -l, -l+1,…, l-1, lmagnetyczna liczba kwantowa Copyright Paweł Sankowski

21 Funkcja falowa dla stanu podstawowego atomu wodoru wygląda następująco: gdzie: jest promieniem pierwszej orbity Bohra. Copyright Paweł Sankowski

22 Kwadrat modułu funkcji falowej określa prawdopodobieństwo znalezienia elektronu przypadającym na jednostkę objętości. We współrzędnych sferycznych łatwo pokazać, że: Opisywanie prawdopodobieństwa wykrycie elektronu jest prostsze, jeśli zamiast objętościowej gęstości prawdopodobieństwa rozważymy radialną gęstość prawdopodobieństwa Prad(r): Copyright Paweł Sankowski

23 Wykres pokazuje wyraźnie, że elektron może znajdywać się w różnej odległości wokół jądra z różnym prawdopodobieństwem. Największe prawdopodobieństwo wykrycia elektronu znajduje się w odległości 1 bohra. Natomiast rozkład gęstości prawdopodobieństwa przedstawia następujący rysunek, który może pomóc w wyobrażeniu sobie chmury elektronowej atomu. Rozkład gęstości prawdopodobieństwa stanu 1s (n=1,l=0,m=0) Rozkład gęstości prawdopodobieństwa stanu 1s (n=1,l=0,m=0) Copyright Paweł Sankowski

24 Rozkład gęstości prawdopodobieństwa stanu 2s (n=2,l=0,m=0) Copyright Paweł Sankowski

25 Rozkład gęstości prawdopodobieństwa stanu 2po, 2p1, 2p-1 Copyright Paweł Sankowski

26 W przypadku wzrostu głównej liczbie kwantowej przewidywania fizyki kwantowej gładko przechodzą w przewidywania fizyki klasycznej. Dla atomu wodoru o głównej liczbie kwantowej n=45 radialna gęstość prawdopodobieństwa widoczna na rysunku 8 sugeruje istnienie orbity elektronu w sensie klasycznym. Rozkład radialnej gęstości prawdopodobieństwa dla n=45 i l=44. Copyright Paweł Sankowski

27 5. Podsumowanie Fizyka kwantowa pokazuje nam obraz świata zupełnie inny od tego, do którego przywykliśmy. Mikroświatem rządzą nowe prawa. Przyroda ukrywa przed nami swoją naturę i pozwala jedynie na probabilistyczny opis zjawisk. przed nami swoją naturę i pozwala jedynie na probabilistyczny opis zjawisk. Pomimo ograniczeń na możliwości pomiaru fizyka kwantowa świetnie sobie radzi z opisem prostych układów jak atom wodoru czy proste cząsteczki. Opis kwantowy wymyka się nam jednak w przypadku obiektów bardziej złożonych. Fizycy muszą sięgać po przybliżenia i metody numeryczne w celu obliczenia Fizycy muszą sięgać po przybliżenia i metody numeryczne w celu obliczenia większych struktur. Okazuje się, że im bardziej złożony staje się obiekt tym trudności obliczeniowe rosną wykładniczo. Problemem staje się szybkość obliczeniowa komputerów. Typowe obliczenia kwantowe przeprowadza obliczeniowa komputerów. Typowe obliczenia kwantowe przeprowadza się obecnie na coraz lepszym sprzęcie a i tak czas takich obliczeń sięga w tygodnie. Pomimo tych wielu problemów fizyka kwantowa rozwija się dalej i daje nam nowe pojęcie na otaczającą nas rzeczywistość. Nikt nie rozumie teorii kwantowej. Richard Feynman Copyright Paweł Sankowski

28 ATOM PO JAPOŃSKU Copyright Paweł Sankowski

29 POWIERZCHNIA KRZEMU Copyright Paweł Sankowski

30 UKŁADANKI I STRUKTURY ATOMÓWE Copyright Paweł Sankowski

31 UKŁADANKI I STRUKTURY ATOMÓWE Copyright Paweł Sankowski

32 UKŁADANKI I STRUKTURY ATOMÓWE Copyright Paweł Sankowski

33 UKŁADANKI I STRUKTURY ATOMÓWE Copyright Paweł Sankowski

34 UKŁADANKI I STRUKTURY ATOMÓWE Copyright Paweł Sankowski

35 UKŁADANKI I STRUKTURY ATOMÓWE Copyright Paweł Sankowski

36 KONIEC Tylko do użytku dydaktycznego. Copyright Paweł Sankowski


Pobierz ppt "ELEMENTY MECHANIKI KWANTOWEJ Paweł Sankowski MSN Toruń 2006 UNIWERSYTET MIKOŁAJA KOPERNIKA Pracownia Dydaktyki Fizyki Tylko do użytku dydaktycznego. Copyright."

Podobne prezentacje


Reklamy Google