Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Wykład 5: Wprowadzenie do MES. Przykłady Leszek CHODOR dr inż. bud, inż.arch. Literatura: [1] Timoschenko S. Goodier A.J.N., Theory of.

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "Wykład 5: Wprowadzenie do MES. Przykłady Leszek CHODOR dr inż. bud, inż.arch. Literatura: [1] Timoschenko S. Goodier A.J.N., Theory of."— Zapis prezentacji:

1 Wykład 5: Wprowadzenie do MES. Przykłady Leszek CHODOR dr inż. bud, inż.arch. Literatura: [1] Timoschenko S. Goodier A.J.N., Theory of Elasticity Mc Graw –Hill, 2 nd, Oxford, 1951 [2] Piechnik S., Wytrzymałość materiałów dla wydziałów budowlanych,, PWN, Warszaw-Kraków, 1980 [3] Rakowski G., Macierzowa analiza konstrukcji, PWN, Warszawa, 1979 [4] Bower A., Linear Elasticity,, Lecture Notes, Division of Engineering Brown University Spring 2005, [5] Lebedev L.P., Cloud M.J., Tensor Analysis with Applications in Mechanics, World Scientific, 2010 [6] Chodor L., publikacje własne - różne. [7] Strony www [dostępne luty-kwiecień 2011] - różne Politechnika Świętokrzyska KM,KM i MK, Leszek CHODOR Teoria sprężystości i plastyczności 1

2 Politechnika Świętokrzyska KM,KM i MK, Leszek CHODOR Teoria sprężystości i plastyczności 2 Wprowadzenie do MES Kanononiczne równanie metody Ritza (33) jest też fundamentalnym równaniem MES

3 Wprowadzenie do MES Politechnika Świętokrzyska KM,KM i MK, Leszek CHODOR Teoria sprężystości i plastyczności 3

4 Wprowadzenie do MES Politechnika Świętokrzyska KM,KM i MK, Leszek CHODOR Teoria sprężystości i plastyczności 4

5 Wprowadzenie do MES Politechnika Świętokrzyska KM,KM i MK, Leszek CHODOR Teoria sprężystości i plastyczności 5

6 Wprowadzenie do MES Politechnika Świętokrzyska KM,KM i MK, Leszek CHODOR Teoria sprężystości i plastyczności 6

7 Wprowadzenie do MES Politechnika Świętokrzyska KM,KM i MK, Leszek CHODOR Teoria sprężystości i plastyczności 7

8 Wprowadzenie do MES Politechnika Świętokrzyska KM,KM i MK, Leszek CHODOR Teoria sprężystości i plastyczności 8

9 Przykład belki na sprężystym podłożu Zadanie 1 (pomocnicze) Okre ś li ć funkcje kształtu elementu (e) pr ę ta prostego bez uwzgl ę dnienia wpływu przemieszcze ń poziomych na k ą ty obrotu i ugi ę cia elementu Pole przemieszcze ń u(x) wewn ą trz elementu sko ń czonego, zgodnie z fundamentalnym zało ż eniem metody elementów sko ń czonych przyjmuje si ę w postaci: (49) Gdzie – [N] macierz kształtu elementu, Politechnika Świętokrzyska KM,KM i MK, Leszek CHODOR Teoria sprężystości i plastyczności 9

10 Przykład belki na sprężystym podłożu (50) Politechnika Świętokrzyska KM,KM i MK, Leszek CHODOR Teoria sprężystości i plastyczności 10

11 Przykład belki na sprężystym podłożu (50) Przemieszczenia pokazane na Rys.1. można uzyskać z rozwiązania równania różniczkowego linii ugięcia przy braku obciążenia na pręcie: Ogólne rozwiązanie tego równania jest funkcją: Stałe całkowania wyznaczymy z warunków brzegowych: Otrzymujemy stąd równanie macierzowe: Politechnika Świętokrzyska KM,KM i MK, Leszek CHODOR Teoria sprężystości i plastyczności 11

12 Podstawiając wartości stanu uzyskamy kolejne wyrazy macierzy [N] Na przykład dla :. Pozostałe wyrazy znajdziemy analogicznie. Przykład belki na sprężystym podłożu (51) Stąd [C] Politechnika Świętokrzyska KM,KM i MK, Leszek CHODOR Teoria sprężystości i plastyczności 12

13 Przykład belki na sprężystym podłożu (52) Zadanie 2 (pomocnicze) Obliczyć macierz sztywności dla elementu pręta z poprzedniego zadania. Wprowadźmy pojęcia uogólnionych naprężeń oraz odkształceń, które występują na poziomie przekroju pręta. Za naprężenia uogólnione przyjmiemy siły przekrojowe, natomiast odkształcenia uogólnione odpowiadają wielkościom, których iloczyn z naprężeniami określa pracę wewnętrzną. W przypadku zginania z rozciąganiem naprężenia uogólnione, to momenty zginające M i siły osiowe N. Natomiast odkształcenia uogólnione, to krzywizna w i wydłużenie względne u. Znane zależności stanowią związki fizyczne. Znak (+) wystąpił wobec przyjętego układu współrzędnych. Związki te zapisaliśmy w zwartej formie spójnej z definicjami przyjętymi przy rozwiązaniu ZBTS metodą Ritza: Politechnika Świętokrzyska KM,KM i MK, Leszek CHODOR Teoria sprężystości i plastyczności 13

14 Przykład belki na sprężystym podłożu (51) skąd otrzymujemy wyrażenia na podstawowe macierze metody: macierz Hookea i macierz operatorów różniczkowania wektor naprężeń i przemieszczeń, Macierz zgodności geometrycznej [B] obliczymy z definicji (53) (54) Politechnika Świętokrzyska KM,KM i MK, Leszek CHODOR Teoria sprężystości i plastyczności 14

15 Przykład belki na sprężystym podłożu (51), Macierz sztywności elementu (e) otrzymamy z definicji. (55) (56) Macierz sztywności określa siły przywęzłowe w funkcji przemieszczeń węzłów. Zależności te są znane w mechanice budowli pod nazwą wzorów transformacyjn ych dla elementu sztywno- sztywnego Politechnika Świętokrzyska KM,KM i MK, Leszek CHODOR Teoria sprężystości i plastyczności 15

16 a przemieszczeniami węzłowymi. Macierz sztywności można określić, znając zależność pomiędzy siłami węzłowymi Przykład belki na sprężystym podłożu (57), Zadanie 3 (pomocnicze) Obliczyć macierz sztywności dla prostoliniowego, jednorodnego elementu, obciążonego ściskającą siłą osiową. Ogólne równanie różniczkowe dla jednego elementu skończonego ma postać Rys.2 Pręt ściskany siłą P Zależności te dla zadanego zagadnienia (Rys.2), określimy poprzez rozwiązania równania różniczkowego pręta ściskanego bez obciążenia pomiędzy węzłami Politechnika Świętokrzyska KM,KM i MK, Leszek CHODOR Teoria sprężystości i plastyczności 16

17 Przykład belki na sprężystym podłożu (57a), Po wprowadzeniu zmiennych Politechnika Świętokrzyska KM,KM i MK, Leszek CHODOR Teoria sprężystości i plastyczności 17

18 Przykład belki na sprężystym podłożu (58), Ponieważ itd.... Politechnika Świętokrzyska KM,KM i MK, Leszek CHODOR Teoria sprężystości i plastyczności 18

19 Przykład belki na sprężystym podłożu (59), Szczególnie użyteczne formuły znajdziemy dla gdzie: krytyczne obciążenie eulerowskie Politechnika Świętokrzyska KM,KM i MK, Leszek CHODOR Teoria sprężystości i plastyczności 19

20 Przykład belki na sprężystym podłożu (60), Linearyzacja funkcji Liniowa Macierz sztywności Macierz geometryczna 1 rzędu (quasiliniowa) Politechnika Świętokrzyska KM,KM i MK, Leszek CHODOR Teoria sprężystości i plastyczności 20

21 Przykład belki na sprężystym podłożu (61), Ostatecznie w celu uwzględnienia związku obciążeń podłużnych od przemieszczeń poziomych węzłów, uzupełnimy macierz sztywności o uzyskane wyniki i otrzymamy Macirz sztywności pręta zginanego i ściskanego Politechnika Świętokrzyska KM,KM i MK, Leszek CHODOR Teoria sprężystości i plastyczności 21

22 Przykład belki na sprężystym podłożu Obciążenie międzywęzłowe wyznaczymy z definicji, Zadanie 4 (pomocnicze) Obliczyć obciążenie węzłowe, gdy na pręt prosty (ogólnie na krawędź elementu) elementu), działa obciążenie ciągłe pomiędzy węzłami. obciążonego ściskającą siłą osiową. Rys.3. Obciążenie międzywęzłowe p(x) gdzie zgodnie z Rys.3., a macierz kształtu (zadanie pomocnicze1 - wynosi Politechnika Świętokrzyska KM,KM i MK, Leszek CHODOR Teoria sprężystości i plastyczności 22

23 Z definicji dla mamy: Przykład belki na sprężystym podłożu, (62) Analogicznie można znaleźć obciążenie węzłowe przy innych postaciach obciążenia między węzłami, np. dla (63) Politechnika Świętokrzyska KM,KM i MK, Leszek CHODOR Teoria sprężystości i plastyczności 23

24 Przykład belki na sprężystym podłożu, (63) Zadanie 5 (pomocnicze) Określić wektor równoważników węzłowych dla elementu belki spoczywającej na sprężystym podłożu Winklera ze współczynnikiem sprężystości podłoża Z definicji sprężystego podłoża winklerowskiego, znamy jego odpór: Ponieważ Dla belki zginanej mamy Politechnika Świętokrzyska KM,KM i MK, Leszek CHODOR Teoria sprężystości i plastyczności 24

25 Przykład belki na sprężystym podłożu, Po wykonaniu przypisanych działań i po obliczeniu całki oznaczonej (w granicach od 0do l), mamy: (64) Politechnika Świętokrzyska KM,KM i MK, Leszek CHODOR Teoria sprężystości i plastyczności 25

26 Przykład liczbowy 1, Zadanie 6 (przykład liczbowy) Znależć ugięcie i kat obrotu końca wspornika metodą MES. Politechnika Świętokrzyska KM,KM i MK, Leszek CHODOR Teoria sprężystości i plastyczności 26

27 Przykład liczbowy 1, po rozpisaniu układ kanoniczny przyjmie postać: Warunki brzegowe: uwzględniamy przez odpowiednią modyfikację równania kanonicznego Politechnika Świętokrzyska KM,KM i MK, Leszek CHODOR Teoria sprężystości i plastyczności 27

28 Przykład liczbowy 1, w rezultacie modyfikacji: Rozwiązanie tego układu równań daje: Uwaga: dla stałej sprężystości podpory K=oo otrzymamy rozwiązanie dla wspornika idealnie utwierdzonego, dldla K=0 ustrój jest mechanizmem. Świadczy o tym fakt, = że wyznacznik układu=0 i równanie kanoniczne staje się nieoznaczone Politechnika Świętokrzyska KM,KM i MK, Leszek CHODOR Teoria sprężystości i plastyczności 28

29 Przykład liczbowy 2, Zadanie 7 (przykład liczbowy) Metoda MES obliczyć siłę krytyczną belki-słupa Macierz sztywności układu 1-no elementowego złożona z macierzy liniowej i geometrycznej Politechnika Świętokrzyska KM,KM i MK, Leszek CHODOR Teoria sprężystości i plastyczności 29

30 Przykład liczbowy 2, Warunki brzegowe: w1=f1=0.uwzględniamy poprzez modyfikację macierzy sztywności, czyli: wykreślenie wierszy i kolumn odpowiadających odebranym stopniom swobody. Z kryterium stateczności Det[k]=0, mamy Ścisłe rozwiązanie tego zagadnienia, to:. Politechnika Świętokrzyska KM,KM i MK, Leszek CHODOR Teoria sprężystości i plastyczności 30

31 , Przykład tarczy Płaski stan naprężenia Płaski stan odkształcenia. Płaski stan naprężenie to taki, w którym składowe tensora naprężenia są niezerowe tylko w dwóch kierunkach na płaszczyźnie. Taki stan naprężenia nazywamy stanem tarczowym, choć od razu należy podkreślić, że towarzyszy mu przestrzenny stan odkształceń Politechnika Świętokrzyska KM,KM i MK, Leszek CHODOR Teoria sprężystości i plastyczności 31

32 , Załóżmy, że przemieszczenia wewnątrz elementu są liniową funkcją przemieszczeń węzłowych, co można zapisać w postaci: Przykład tarczy Funkcja kształtu dla elementu tarczy Politechnika Świętokrzyska KM,KM i MK, Leszek CHODOR Teoria sprężystości i plastyczności 32

33 , Macierz węzłowych funkcji kształtu wyznaczymy z formuły MES Przykład tarczy Stąd po uwzględnieniu |u| uzyskamy wyrażenie na funkcję kształtu elementu [N] Politechnika Świętokrzyska KM,KM i MK, Leszek CHODOR Teoria sprężystości i plastyczności 33

34 , Przykład tarczy Formuła ta rozważanego przypadku przyjmie dla węzłów i,j,k: Ponieważ (podwojone pole trójkąta) Politechnika Świętokrzyska KM,KM i MK, Leszek CHODOR Teoria sprężystości i plastyczności 34

35 , Przykład tarczy Formuła ta rozważanego przypadku przyjmie dla węzłów i,j,k: Ponieważ (podwojone pole trójkąta) Politechnika Świętokrzyska KM,KM i MK, Leszek CHODOR Teoria sprężystości i plastyczności 35

36 , Przykład tarczy Stąd funkcja kształtu:,, Politechnika Świętokrzyska KM,KM i MK, Leszek CHODOR Teoria sprężystości i plastyczności 36

37 , Przykład tarczy Funkcję kształtu można zapisać w postaci macierzowej:,, Politechnika Świętokrzyska KM,KM i MK, Leszek CHODOR Teoria sprężystości i plastyczności 37

38 , Przykład tarczy,, Macierz odkształceń i naprężeń dla elementu tarczy Politechnika Świętokrzyska KM,KM i MK, Leszek CHODOR Teoria sprężystości i plastyczności 38

39 , Przykład tarczy,, Macierz zgodności geometrycznej Macierz naprężeń Macierz Hookea d;lla płąskiego stanu naprężeń Politechnika Świętokrzyska KM,KM i MK, Leszek CHODOR Teoria sprężystości i plastyczności 39

40 , Przykład tarczy Macierz sztywności elementu tarczy t- grubość elementu tarczowego, a -pole powierzchni elementu Politechnika Świętokrzyska KM,KM i MK, Leszek CHODOR Teoria sprężystości i plastyczności 40

41 , Przykład tarczy Wektor sił węzłowych od sił objętościowych P Wektor sił węzłowych od sił powierzchniowych Obciążenie (V,H) skupione w punkcie możemy zapisać w postaci gdzie operator Diraca Politechnika Świętokrzyska KM,KM i MK, Leszek CHODOR Teoria sprężystości i plastyczności 41

42 , Tarcza –przykład liczbowy Politechnika Świętokrzyska KM,KM i MK, Leszek CHODOR Teoria sprężystości i plastyczności 42

43 , Tarcza –przykład liczbowy Macierz sztywności elementu typu A węzeł 1(=i): węzeł 2=j): węzeł 3=k): Zmienne pomocnicze, Politechnika Świętokrzyska KM,KM i MK, Leszek CHODOR Teoria sprężystości i plastyczności 43

44 , Tarcza –przykład liczbowy Macierz sztywności elementu typu A Politechnika Świętokrzyska KM,KM i MK, Leszek CHODOR Teoria sprężystości i plastyczności 44

45 , Tarcza –przykład liczbowy Macierz sztywności elementu typu B węzeł 1(=i): węzeł 2=j): węzeł 3=k): Politechnika Świętokrzyska KM,KM i MK, Leszek CHODOR Teoria sprężystości i plastyczności 45

46 , Tarcza –przykład liczbowy Macierz sztywności układu Politechnika Świętokrzyska KM,KM i MK, Leszek CHODOR Teoria sprężystości i plastyczności 46

47 , Tarcza –przykład liczbowy Macierz sztywności układu Politechnika Świętokrzyska KM,KM i MK, Leszek CHODOR Teoria sprężystości i plastyczności 47

48 , Tarcza –przykład liczbowy Politechnika Świętokrzyska KM,KM i MK, Leszek CHODOR Teoria sprężystości i plastyczności 48

49 , Tarcza –przykład liczbowy Modyfikacja macierzy sztywności Modyfikację dokonamy przez wykreślenie z macierzy sztywności [K] wierszy i kolumn odpowiadających tym stopniom swobody, a także na usunięciu z wektora równoważników węzłowych wykreśla się elementy odpowiadające usuniętym stopniom z macierzy sztywności. W ten sposób eliminuje się z rozwiązania znane równania- w tym przypadku mamy osiem takich równań. Siły węzłowe Przemieszczenia węzłowe W wyniku rozwiązania tego liniowego układu 24. równań, otrzymano Politechnika Świętokrzyska KM,KM i MK, Leszek CHODOR Teoria sprężystości i plastyczności 49

50 , Tarcza –przykład liczbowy Rozwiązanie równania kanonicznego = Politechnika Świętokrzyska KM,KM i MK, Leszek CHODOR Teoria sprężystości i plastyczności 50

51 , Tarcza –przykład liczbowy Wyznaczenie reakcji = Równania usunięte w trakcie modyfikacji macierzy [K] stanowią podstawę do wyznaczenia reakcji, np. Równanie 25 Wyznaczenie odkształceń Dla elementu (1)mamy: Politechnika Świętokrzyska KM,KM i MK, Leszek CHODOR Teoria sprężystości i plastyczności 51

52 , Przykład płyty Zgięciowy płaski stan naprężenia Płyta jest to układ ograniczony dwoma płaszczyznami o małej krzywiźnie. Odległość między powierzchniami ograniczającymi to grubość płyty t. Obciążenie jest prostopadłe do płaszczyzny środkowej powoduje jej zakrzywienie. Rozpatrywać będziemy płyty cienkie i o stałej grubości (nie wszystkie płyty muszą mieć stałą grubość). Płyty są cienkie jeśli jeden wymiar (grubość) jest znacznie mniejszy od dwóch pozostałych t

53 , Analizę płyt przeprowadzimy przy następujących założeniach Z1 Kirchoffa: płaszczyzn środkowa nie doznaje żadnych wydłużeń ani odkształceń postaciowych,- punkty płyty położone na normalnej do płaszczyzny środkowej pozostają na niej również po odkształceniu,(odcinek prostopadły do nieodkształconej powierzchni środkowej pozostaje prostoliniowy, niewydłużony i prostopadły do powierzchni środkowej) Z2 o małych przemieszczeniach, Z3 Jedynym niezależnym przemieszczeniem jest w=u3, czyli płyta znajduje się w stanie zgięciowym Z4 Naprężenie – płyta pracuje w płaskim stanie naprężenia Przykład płyty Politechnika Świętokrzyska KM,KM i MK, Leszek CHODOR Teoria sprężystości i plastyczności 53

54 , Przykład płyty Siły płytowe, przemieszczenia, odkształcenia Politechnika Świętokrzyska KM,KM i MK, Leszek CHODOR Teoria sprężystości i plastyczności 54

55 , Przykład płyty Naprężenia Macierz Hookea dotyczy płaskiego stanu naprężeń i izotropowych płyt. Politechnika Świętokrzyska KM,KM i MK, Leszek CHODOR Teoria sprężystości i plastyczności 55

56 , Przykład płyty Współrzędne powierzchniowe (naturalne) Współrzędne naturalne pozwalają: opisać położenie punktu w obszarze elementu za pomocą wielkości bezwymiarowych z przedziału, przy czym 1 występuje tylko w węzłach elementu. 2. geometria elementu odniesiona jest do wielkości lokalnych związanych z węzłami, niezależnie od ich orientacji położenia w przestrzeni, 3. stosowanie współrzędnych naturalnych pozwala na proste oblcizanie całek niezależnie od kształtu elementu. Dla elementu trójkątnego przyjmiemy na mocy definicji Politechnika Świętokrzyska KM,KM i MK, Leszek CHODOR Teoria sprężystości i plastyczności 56

57 , Przykład płyty Współrzędne powierzchniowe czynią zadość warunkom :, Operator różniczkowania po współrzędnych naturalnych Formuła całkowania po polu trójkąta Politechnika Świętokrzyska KM,KM i MK, Leszek CHODOR Teoria sprężystości i plastyczności 57


Pobierz ppt "Wykład 5: Wprowadzenie do MES. Przykłady Leszek CHODOR dr inż. bud, inż.arch. Literatura: [1] Timoschenko S. Goodier A.J.N., Theory of."

Podobne prezentacje


Reklamy Google