Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Odwzorowanie logistyczne Rozwiązanie deterministyczne jest uważane za chaotyczne, jeśli dwa rozwiązania, które początkowo różnią się niewiele, rozchodzą.

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "Odwzorowanie logistyczne Rozwiązanie deterministyczne jest uważane za chaotyczne, jeśli dwa rozwiązania, które początkowo różnią się niewiele, rozchodzą."— Zapis prezentacji:

1 Odwzorowanie logistyczne Rozwiązanie deterministyczne jest uważane za chaotyczne, jeśli dwa rozwiązania, które początkowo różnią się niewiele, rozchodzą się eksponencjalnie z rozwojem czasu. Przykładem rozwiązania chaotycznego jest rozwiązanie odwzorowania logistycznego: Odwzorowanie to ma istotnie różne typy zachowań zależnie od wartości a. Jest ono prostą reprezentacją dynamiki populacji jakiegoś gatunku. x n to ilość osobników w roku n, a średnie tempo reprodukcji. W zależności od zachowania rozwiązań w otoczeniu punktów stałych x s = 0 i x s = 1 - 1/a dany punkt będzie stabilny lub nie. Rozwiązania są zbieżne do stabilnych punktów stałych (odwzorowanie będzie ewoluować do tych punktów) i rozbieżne względem niestabilnych. Dla a=3 zachodzi bifurkacja. Oba punkty stałe są niestabilne i iteracje zbiegają się do cyklu granicznego oscylującego miedzy x s1 i x s2. Wartości x s1 i x s2 obliczane są z wzoru: x s2 = a x s1 (1- x s1 ) x s1 = a x s2 (1- x s2 )

2 Rzut podwajania okresu bifurkacji zachodzi dla ciągu a k, który aproksymacyjne spełnia zależność Feigenbauma: a k = F -k gdzie F = jest stałą Feigenbauma. Ta zależność wskazuje na fraktalne - niezmiennicze ze względu na skalę, zachowanie dla ciągu podwajania okresu bifurkacji. Wartości ciągu podwajania okresu mogą być użyte do przewidzenia zachowania chaotycznego w a . Dla wartości a > a  wchodzi się w rejon w którym okresowe i nieokresowe atraktory są naprzemienne. Dla atraktorów aperiodycznych występuje chaos. Zachowanie chaotyczne może być opisane ilościowo w terminologii wykładnika potęgowego Lyapunowa. Jest on miarą prędkości z jaką rozbiegają się trajektorie w przestrzeni fazowej. Dla odwzorowania logistycznego wykładnik Lyapunowa wynosi Wykładnik Lyapunowa spada do zera w każdym rzucie bifurkacji.

3 Przykład Dla a = 4 iteracje odwzorowania logistycznego: x n+1 = 4x n (1-x n )dla x  [0,1] można wyrazić analitycznie obierając x 0 = sin 2  ( 0<  <1 ) Z podstawienia otrzymujemy: x 1 = 4sin 2  (1 - sin 2  ) = sin 2 2  W n-tej iteracji: x n = sin 2 2 n  Przyjmując, że  nie jest liczbą całkowitą wartości x n zmieniają się losowo i otrzymuje się w pełni chaotyczne zachowanie. dx n =2sin(2 n  )cos(2 n  ) 2 n  d  dx 0 =2sin(  )cos(  )  d  Stąd: wykładnik Lyapunowa dla tego specyficznego przypadku jest 1 - iteracja jest w pełni chaotyczna.

4 Krytyczne samouzgodnienie - SOC (Self-organized criticality) Cechą charakterystyczną zmian fazowych jest katastroficzna (nieciągła) zmiana parametrów makroskopowych przy ciągłych zmianach zmiennych stanu systemu. W układach posiadających zjawisko punktu krytycznego można zaobserwować wewnętrzne zorganizowanie stanu krytycznego tzw. krytyczne samouzgodnienie. Układ jest w stanie SOC jeśli utrzymuje się w pobliżu punktu krytycznego a wytrącony z tego stanu powraca do stanu granicznej stabilności. W stanie krytycznym nie ma naturalnej skali długości - stosuje się statystyka fraktalna. Najprostszym przykładem modelu krytycznego samouzgodnienia jest stożek piasku na okrągłym stole. Rozkład częstość - rozmiary osuwisk jest rozkładem fraktalnym. Średnio liczba dodawanych ziaren piasku równoważy się z liczbą tych, które się ześlizgną ze zboczy na stół, lecz aktualna liczba ziaren na stole ciągłe fluktuuje.

5 SOC - model automatu komórkowego Model automatu komórkowego składa się z siatki n kwadratowych kostek. Do siatki dodawane i usuwane są cząstki zgodnie z regułą: Cząsteczki dodawane są losowo do jednej z kostek: każda z nich jest ponumerowana i stosowany jest generator liczb losowych by określić do której kostki ma zostać dodana cząstka. Jest to model statystyczny. Gdy kostka ma cztery cząstki są one redystrybuowane do czterech kostek sąsiednich. Gdy brak kostki sąsiedniej cząstka jest usuwana (redystrbucja cząstek z kostki na brzegu usuwa jedną, kostka narożna powoduje odrzucenie dwu cząstek). Gdy po redystrybucji któraś inna kostka ma cztery lub więcej cząstek jest ona niestabilna i prowadzi do dalszych redystrybucji. Zjawiska wielokrotne pojawiają się powszechnie w dużej siatce. Układ jest w stanie granicznie stabilnym. Średnio liczba cząstek dodanych jest równa liczbie odrzuconych. Jest to model najbliższego sąsiedztwa - w każdym kroku kostka oddziałuje tylko najbliższymi sąsiadami.

6 SOC - model automatu komórkowego Zachowanie układu może być scharakteryzowane przez statystyczny rozkład częstość - rozmiar zjawisk. Rozmiar zjawiska wielokrotnego można określić ilościowo w różny sposób. Jedną z miar może być ilość kostek niestabilnych w zjawisku wielokrotnym, inną ilość cząstek utraconych z sieci podczas tego zjawiska. Gdy cząstki są dodawane do sieci początkowo nie są z niej usuwane - dominują drobne redystrybucje. W końcu układ jest w stanie quasi-równowagi; średnio liczba cząstek traconych z sieci jest równa liczbie cząstek dodawanych a rozkład częstość - rozmiar jest fraktalny. W modelu automatu komórkowego statystyka jest fraktalna jedynie w stanie krytycznego samouzgodnienia.

7 Automat komórkowy –cellular automata Zachowanie takiego modelu prześledzić można na przykładzie sieci 3x3. Dziewięć kostek jest ponumerowane z lewej do prawej i z góry w dół. Po jakimś czasie działania automatu ustalił się stan z rys. Dalszy rozwój modelu zgodnie z regułą. Redystrybucja zachodzi w kolejnych krokach. Pod siatką po lewej proszę podać kumulatywną liczbę kostek poddanych redystrybucji. Jeśli kostka w danym zjawisku wielokrotnym redystrybuowana jest wielokrotnie zliczana jest tylko raz. Po prawej podać kumulatywną liczbę cząstek straconych z sieci. Gdy po redystrybucji istnieje kilka kostek o czterech lub więcej cząstkach, cząstka redystrybuowana jest wybierana losowo i nie ma to znaczącego wpływu na statystyczny efekt zjawiska. Prosty model ilustruje pracę automatu, aby móc wnioskować statystycznie musi się rozważać większe siatki. Jedną z miar rozmiarów zdarzenia jest liczba kostek, które stały się niestabilne. Rezultaty dla proszę przedstawić na rysunku w skali dwulogarytmicznej: ilość zdarzeń N, w których brała udział określona liczba n kostek, w funkcji liczby n kostek. Wyznaczyć nachylenie prostej w skali log-log. Ponieważ liczba kostek jest równoważna z obszarem wymiar fraktalny D = podwojonemej wartości tangensa kąta nachylenia.

8 Rozkład częstość - rozmiar zdarzeń związanych z krytycznym samouzgodnieniem jest podobny do rozkładu trzęsień w strefach aktywnych tektonicznie. Predykcja trzęsień nie jest możliwa w sensie deterministycznym, jedynie probabilistycznym. Zachowanie stożka piasku czy automatu komórkowego można porównać do sejsmiczności. W strefie aktywnej wzrost naprężenia, spowodowany przez względne przemieszczenia płyt, jest analogiczny do dodania cząstek do sieci czy ziaren piasku do stożka. Zdarzenia wielokrotne są analogiem do trzęsień w których zgromadzone naprężenia są redystrybuowane a część jest tracona. Zachowanie układu może być scharakteryzowane przez statystyczny rozkład częstość - rozmiar zjawisk. Istnieją prace modelujące sejsmiczność skorupy poprzez automaty komórkowe o niezmienniczym ze względu na skalowanie rozkładzie rozmiarów komórek, co ma modelować niezmienniczy ze względu na skalowanie rozkład rozmiarów uskoków. Redystrybucja jest równoważna charakterystycznemu trzęsieniu na uskoku. Redystrybucja z małych komórek (wstrząs uprzedni) może wyzwolić niestabilność w dużej komórce (wstrząs główny). Redystrybucja z dużej komórki zawsze wyzwala wiele niestabilności w małych (wstrząsy następcze). Wiele prac powstało dla badań statystyki rzeczywistych przypadków częstość - rozmiar lawin i w pewnych przypadkach znaleziono statystykę fraktalną. Chaotyczne zachowanie analogowych układów nisko-wymiarowych oznacza, że naturalne układy również będą zachowywać się chaotycznie. Oddziaływanie między uskokami prowadzące do fraktalnej statystyki częstotliwość - magnituda jest przykładem deterministycznego chaosu.


Pobierz ppt "Odwzorowanie logistyczne Rozwiązanie deterministyczne jest uważane za chaotyczne, jeśli dwa rozwiązania, które początkowo różnią się niewiele, rozchodzą."

Podobne prezentacje


Reklamy Google