Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Zagadnienie własne W większości zastosowań w chemii i fizyce rozważamy macierze rzeczywiste symetryczne. W takim przypadku macierz znormalizowanych wektorów.

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "Zagadnienie własne W większości zastosowań w chemii i fizyce rozważamy macierze rzeczywiste symetryczne. W takim przypadku macierz znormalizowanych wektorów."— Zapis prezentacji:

1 Zagadnienie własne W większości zastosowań w chemii i fizyce rozważamy macierze rzeczywiste symetryczne. W takim przypadku macierz znormalizowanych wektorów własnych jest ortonormalna, tj. V -1 =V T Macierz wektorów własnych V=(v 1,v 2,...,v n ) przekształca zatem macierz A do postaci diagonalnej:

2 Twierdzenie Gershgorina o wartościach własnych Wartości własne dowolnej macierzy (rzeczywistej lub zespolonej) leżą w zbiorze będącym sumą mnogościową kół scentrowanych na odpowiednich elementach diagonalnych i o promieniach równych sumie elementów pozadiagonalnych.

3 Metody numerycznego rozwiązywania zagadnienia własnego 1.Metoda potęgowa (iteracji wektorów): można ją stosować dla znajdowania wartości własnej o największym module i odpowiadającego jej wektora własnego. 2.Znajdowanie wielomianu charakterystycznego a następnie jego zer (metoda Kryłowa). 3.Metoda Jacobiego (znajdowanie zarówno wartości jak i wektorów własnych macierzy symetrycznych; droga i ma raczej znaczenie historyczne). 4.Metoda rozkładu LR. 5.Metody rozkładu QR. a)Metoda Householdera; b)Metoda Givensa; c)Metoda ortogonalizacji Schmidta. Metody QR i LR umożliwiają znalezienie albo tylko samych wartości własnych albo wartości i wektorów własnych. Ich zastosowanie jest zwykle poprzedzone są sprowadzeniem macierzy do postaci Hessenberga.

4 Metoda potęgowa (iteracji wektorów) 1.Wybieramy przybliżenie początkowe wektora własnego odpowiadającego wartości własnej o największym module. 2.Kolejne przybliżenie wektora własnego obliczamy z wzoru: 3.Jeżeli x i (p+1) /x i (p) różnią się o mniej niż zadana dokładność dla każdego i, kończymy iterację. Wtedy x (p) jest szukanym wektorem własnym a wielkość jest przybliżeniem wartości własnej o największym module. W ten sposób można też znaleźć kolejne wartości i wektory własne. Po znalezieniu pierwszego wektora własnego tworzymy wektor do niego ortogonalny i prowadzimy ortogonalizując za każdym razem otrzymany wektor do pierwszego wektora własnego. Przykładowo, dla drugiego wektora własnego:

5 Dowód zbieżności metody iteracji potęgowej dla największej co do modułu wartości własnej Wektor x (0) można zapisać jako kombinację liniową wektorów własnych: Ponieważ x (p) otrzymuje się z x (0) przez p-krotne lewostronne mnożenie przez A oraz Av i = v i mamy: Jeżeli  jest wartością własną największą co do modułu to mamy:

6 Metoda Jacobiego Macierz symetryczną A sprowadzamy do postaci diagonalnej przy pomocy iterowania transformacji jej dwuwymiarowych “klatek” macierzami obrotów, które zerują pozadiagonalne elementy “klatek”. k-ta kolumnal-ta kolumna k-ty wiersz l-ty wiesz

7

8 Do transformacji najlepiej wybrać taką parę indeksów k i l, że odpowiedni element pozadiagonalny macierzy A (p) ma największy modł. Iteracja Jacobiego kończy się gdy wszystkie elementy pozadiagonalne macierzy A (p) są mniejsze co do modułu niż zadana dokładność. Metoda Jacobiego daje również macierz wektorów własnych, która jest iloczynem kolejnych (ortonornalnych) macierzy S

9 Metoda LR (przekształcenie podobieństwa) Ciąg macierzy A (p) dąży do w ogólności do macierzy trójkątnej górnej a jeżeli macierz A jest symetryczna to do macierzy diagonalnej, której elementami diagonalnymi są wartości własne macierzy A. Do przekształcenia LR wykorzystujemy algorytm eliminacji Gaussa.

10 Metoda QR (macierze Q są ortonormalne)

11 Przekształcenie macierzy do postaci Hessenberga Jeżeli A jest macierzą symetryczną to macierz Hessenberga B ma postać trójdiagonalną. Macierz B jest podobna do macierzy A, zatem ma te same wartości własne co macierz A, natomiast jej wektory y własne są związane z wektorami własnymi macierzy A zależnością y=C -1 x. Kolejne iloczyny R (p) Q (p) w procedurze iteracyjnej mają postać Hessenberga co powoduje znaczną oszczędność rachunków. Oszczędność jest jeszcze większa w przypadku gdy A jest macierzą symetryczną.

12 Metoda Givensa Macierz A przekształcamy przy pomocy ioczynu elementarnych macierzy Givensa. Macierz G (j) jest konstruowana w taki sposób aby dla danego wektora z=[z 1,z 2,…,z k ] T zachodziło Gz=  ||z||[1,0,…,0] T. j-ta kolumna i-ty wiersz

13

14 Macierz G (1) =G 1 (2) G 1 (3) …G 1 (n) sprowadza pierwszą kolumnę macierzy A do postaci  (1) ||a 1 (2) ||[1,0,…,0] T. Kolejne przekształcenie macierzy A (2) =G (1) A macierzą G (2) =G2 (1) G 2 (2) …G 2 (n-1) zeruje wszystkie elementy drugiej kolumny macierz A (2) oprócz pierwszych dwóch, itp.

15 Metoda Householdera


Pobierz ppt "Zagadnienie własne W większości zastosowań w chemii i fizyce rozważamy macierze rzeczywiste symetryczne. W takim przypadku macierz znormalizowanych wektorów."

Podobne prezentacje


Reklamy Google